Типовые задачи с решениями. Задача 1.Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями А=2 млн

Задача 1. Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями А=2 млн. руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года без изменения срока ренты. Сложная процентная ставка составляет 20% годовых. Необходимо найти платеж отложенной ренты.

Решение

По формуле (11.4) при А₁ =2; t=2; r=0,2

А ₂=2∙(1+0,2)²

А ₂ =2,88

Отказ от немедленной выплаты ренты приводит к увеличению платежа до 2,88 млн.руб.

Задача 2. Рента с ежегодными платежами в 2 млн. руб. и сроком 5 лет откладывается на три года без изменения сумм выплат. Найти новый срок ренты при условии, что на поступающие платежи ежегодно начисляются сложные проценты по ставке 8% годовых.

Решение

В соответствии с (11.5) при n₁ =5; t=3; r=0,08; A=2

Отказ от немедленной выплаты ренты увеличивает ее срок до 6,689 года, т.е. на 1,689 года.

Пусть продолжительность новой ренты в целых годах равна 6. тогда приведенная стоимость новой ренты составит

Современная стоимость исходной ренты составит

Разность в сумме 0,6458 млн. руб. необходимо уплатить в начале действия контракта.

Задача 3. Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями А=2 млн. руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года с изменением срока ренты до 11 лет. Сложная процентная ставка составляет 20% годовых. Необходимо найти платеж отложенной ренты.

Решение

По формуле (11.6) при А₁ =2; t=2; r=0,2; n₁=8; n₂=11

 

Платеж отложенной ренты равен 2,5539 млн.руб.

Задача 4. Банк предлагает ренту постнумерандо на 15 лет с полугодовой выплатой 100 тыс. руб. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается постоянной, сложные проценты начисляются по полугодиям. По какой цене можно приобрести эту ренту, если выплаты будут осуществляться 1) через 3 года; 2) немедленно, а сложная процентная ставка равна 4% годовых?

Решение.

1) используем формулу (11.3), считая полугодие базовым периодом, при t=6

PV=100×FM2(2%,6)×FM4(2%,30)=100×0,888×22,3965=1988,809

Ренту можно приобрести за 1 988 809 руб.

2) используем формулу (11.3), считая полугодие базовым периодом при t=0

PV=100×FM4(2%, 30)=100×22,3965=2239,65

Ренту можно приобрести за 2239650 руб.

Задача 5. Три ренты постнумерандо - немедленные, годовые, заменяются одной отложенной на три года рентой постнумерандо. Согласно договоренности заменяющая рента имеет срок 10 лет, включая отсрочку. Характеристики заменяемых рент:

А₁ =100; А₂ =120; А₃ =300 (тыс. руб.); n₁=6; n₂=11; n₁=8 лет. Необходимо:

1) Определить платеж заменяющей ренты при использовании сложной ставки 20% годовых:

2) Определить срок заменяющей ренты при условии, что размер платежа равен 1500 тыс. руб.

Решение

Данные для определения приведенных стоимостей заменяемых рент занесем в таблицу:

№№ ренты	Платеж ренты	Срок ренты	FM4(r,n)	PV
			3,32551	332,551
			4,32706	519.472
			3.83716	1151,148
Итого				2002,946

 

1) Платеж заменяющей ренты находим из уравнения:

Платеж заменяющей ренты равен 960 189 руб.

Если бы заменяющая рента была бы немедленной, ее платеж находим из уравнения:

2) Определим современную стоимость заменяющей немедленной ренты:

PV=2002,946∙(1+0,2)³ =3461,091

Неизвестный срок ренты находим из формулы (10.4) (Занятие № 10):

при А=1500; r=20%; PV=3461,091

Установим срок заменяющей ренты 4 года. При этом приведенная стоимость ренты равна

PV=1500∙FM4(20%,4)=1500∙2,5887=3883,05

Излишек в сумме 3883,05-3461,091=421,959 компенсируем в начале финансовой операции.