Метод средних величин и показателей вариации

Средние величины – это обобщающие показатели, в которых находит выражение действие общих условий, закономерность изучаемого явления.

Например, выбор инвестиционной стратегии должен начинаться с анализа среднегодовой доходности фондов за ряд последних лет. Целесообразно сравнивать доходность фондов, имеющих разную степень риска.

В большинстве случаев данные концентрируются вокруг некоей центральной точки. Таким образом, для описания любого набора данных, достаточно указать некое типичное значение. Эту величину называют средним значением.

Вариация – количественное изменение величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которое обусловлено перекрещивающимся влиянием действия различных факторов.

Такие показатели вариации как дисперсия и среднее квадратическое (стандартное) отклонение позволяют оценить разброс данных вокруг среднего значения, т.е. сколько элементов выборки меньше среднего, а сколько – больше. Дисперсия обладает ценными математическими свойствами. Однако ее величина представляет собой квадрат единицы измерения (квадратный %, квадратный доллар и т.д.). Поэтому естественной оценкой дисперсии является стандартное отклонение, которое выражается в обычных единицах измерения - %, доллары…

Стандартное отклонение позволяет оценить величину колебания индивидуальных значений вокруг среднего. Практически во всех ситуациях наблюдаемые величины лежат в интервале плюс-минус одно стандартное отклонение от среднего значения. Поэтому, зная среднее арифметическое и среднее квадратическое (стандартное) отклонение можно определить интервал, которому принадлежит основная масса данных.

Определяются три вида дисперсии:

- общая дисперсия ,

- межгрупповая дисперсия ,

- средняя внутригрупповых дисперсий .

 

Общая дисперсия характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий в данной совокупности:

где - общая средняя для всей изучаемой совокупности.

 

Межгрупповая дисперсия отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием признака фактора, положенного в основу группировки,

Где:

- средняя по отдельным группам;

- средняя общая;

- численность отдельных групп.

Средняя внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе. Это вариация результативного признака, которая возникает под влиянием всех остальных факторов, кроме группировочного.

где - дисперсия в каждой группе.

Большую практическую значимость имеет правило сложения дисперсий:

.

Коэффициент детерминации h² находят по формуле:

.

Он характеризует долю вариации группировочного признака в общем объеме вариации или на сколько процентов уровень результативного признака определяется группировочным признаком.

 

Выборочный метод

Практические исследования не всегда имеют дело с данными сплошного наблюдения. Из всех видов не сплошного наблюдения главным является выборочное наблюдение, т. к. только выборка позволяет распространить данные, полученные по части совокупности, на всю совокупность.

Под выборочным понимается метод статистического исследования, при котором обобщающие показатели изучаемой совокупности (генеральной совокупности) устанавливаются по некоторой её части (выборочной совокупности или просто выборке) на основе положений случайного отбора.

В проведении ряда исследований выборочный метод является единственно возможным, например, при контроле качества продукции (товара), если проверка производится с уничтожением или разложением на составные части обследуемых образцов.

Выборочный метод использует два основных вида обобщающих показателей:

- относительную величину альтернативного (качественного) признака.

Она характеризует долю (удельный вес) единиц в статистической совокупности, которые отличаются от других единиц только наличием изучаемого признака (доля нестандартных изделий во всей партии товара);

- среднюю величину количественного признака.

Это обобщающая характеристика варьирующего признака, который имеет различные значения у отдельных единиц статистической совокупности (средняя цена акции; средняя выработка; средняя оплата труда).

Определим следующие величины для генеральной совокупности:

- доля единиц с изучаемым признаком (генеральная доля) Р;

- средняя величина варьирующего признака (генеральная средняя) .

И для выборки:

- доля изучаемого признака (выборочная доля или частота) w;

- средняя величина в выборке (выборочная средняя).

Тогда основная задача выборочного обследования состоит в том, чтобы на основе характеристик w и из выборки получить достоверные суждения о Р и в генеральной совокупности. Их расхождения измеряются средней ошибкой выборки m.

При изучении доли альтернативного признака показатели в генеральной совокупности соотносятся следующим образом:

,

При изучении средней величины:

.

Величина коэффициента доверия t зависит от доверительной вероятности и определяется по специальным таблицам, исчисленным применительно к случаю нормально распределенной совокупности (таблицы интегральной функции Лапласа).