Понятие о компьютерном математическом моделировании

 

Курс компьютерного математического моделирования рассматривает прикладные математические модели, в реализации которых используются компьютеры. Внутри информатики именно компьютерное математическое и компьютерное информационное моделирование могут рассматриваться как ее составные части. Таким образом, компьютерное математическое моделирование связано с информатикой технологически, т.е. использование компьютеров и соответствующих технологий обработки информации стало неотьемлемой и необходимой составляющей работы физика, инженера, экономиста, эколога и т.д.

Математическое моделирование как таковое отнюдь не всегда требует компьютерного оснащения. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для получения аналитических решений. Аналитические решения (представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Однако, возможности аналитических методов решения сложных математических задач очень ограниченны и, как правило эти методы гораздо сложнее численных. Поэтому при решении сложных математических задач используют численные методы, реализуемые на компьютерах. Моделирование здесь рассматривается под углом зрения компьютерных (информационных) технологий и включает численный эксперимент. Но, отметим, что понятия «аналитическое решение» и «компьютерное решение» отнюдь не противостоят друг другу, так как:

а) компьютеры при математическом моделировании все чаще используются не только для численных расчетов, но и для аналитических преобразований. Этому служат интегрированные математические пакеты: MatLab, MathCAD, Maple, Mathematica;

б) результат аналитического исследования математической модели часто выражен столь сложной формулой, что при взгляде на нее не складывается восприятия описываемого ею процесса. Поэтому эту формулу нужно протабулировать, представить графически, проиллюстрировать в динамике, иногда даже озвучить, т.е. провести «визуализацию» полученного аналитического результата. При этом компьютер – незаменимое техническое средство.

 

ЭТАПЫ И ЦЕЛИ КОМПЬЮТЕРНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

 

Рассмотрим процесс компьютерного математического моделирования, включающий численный эксперимент с моделью (рис.2).

I. Первый этап компьютерного математического моделирования – определение целей моделирования.

 

ЦЕЛИ КОМПЬЮТЕРНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Основные из них таковы:

1) модель нужна для того, чтобы понять как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание);

2) модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);

Модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

Поясним это на примерах.

1. Пусть объект исследования – взаимодействие потока жидкости или газа с телом, являющимся для этого потока препятствием. Опыт показывает, чтосила сопротивления потоку со стороны тела растет с ростом скорости потока, но при некоторой достаточно высокой скорости эта сила скачком уменьшается и в дальнейшем с увеличением скорости снова растет. Что же произошло, обусловив резкое уменьшение силы сопротивления? Математическое моделирование позволяет понять и получить четкий ответ: в момент скачкообразного уменьшения сопротивления вихри, образующиеся в потоке жидкости или газа позади обтекаемого тела, начинают отрываться от него и уноситься потоком.

2. Другая возможная цель моделирования – выработка концепции управления объектом. Какой режим полета самолета выбрать для того, чтобы полет был вполне безопасным и экономически наиболее выгодным? Как составить график выполнения сотен видов работ на строительстве большого объекта, чтобы оно закончилось в максимально короткий срок? Множество таких проблем систематически возникает перед экономистами, конструкторами, учеными.

3. Еще одна возможная цель моделирования – прогнозирование последствий тех или иных воздействий на объект. Оно может быть как относительно простым делом в несложных физических системах, так и чрезвычайно сложным – на грани выполнимости – в системах биолого - экономических, социальных. Если относительно легко ответить на вопрос об изменении режима распространения тепла в тонком стержне при изменениях в составляющем его сплаве, то несравненно труднее предсказать экологические и климатические последствия строительства крупной ГЭС. И здесь методы математического моделирования будут оказывать в будущем более значительную помощь.