, , - . , .
- - , , . , . , , , , , . , , .
, - , . (), , , , . ( - ) . .
1. (, ). 25 ( ), 100 ( ), - , . 70 . , 2 . , .
, , . . , , - .
, - . τ1 - ( ), , τ2 - . , τ1 = 4 τ2. , , ,
- , 100. ,
4 x + y ≤ 100 .
- :
|
|
x + y ≤ 70
1 (.), 2 (.). 1 = 2 a2.
S = 1 ∙ + a2 ∙ = 2 a2 ∙ + 2 ∙ = 2 ∙ ( 2 + ).
a2 - , f = 2 + .
, , :
(7.71)
,
(7.72)
. (, ) , (7.71) x . . 7.62 . (7.71) . - , f = 2 + = ( ). , f, , , .
. 7.62. ( 1)
f = 80. f, , - f. (10, 60) - .
, - (, ) .
4x + y = 100
+ = 70
, . , .
, .
2. . (, ) P1, P2,..., m, 1, a2, , m , . Q1, Q2,..., Qk ( k), b1, b2,..., bk - . , cij i Qj,. , :
a1 + a2 ++am = b1 + b2 ++bk (7.73)
,
1) Q1, Q2,..., Qk,
2) 1, 2,....,Pm;
3) .
xij ( ), i Qj. (m∙k) xij (i= 1, 2,..., m;j = 1,2,..., k).
7.10
Q1 | Q2 | Q3 | Qk | |||
P1 | x11 | x12 | x13 | x1k | a1 | |
2 | x21 | x22 | x23 | x2k | a2 | |
Pm | xm1 | xm2 | xm3 | xmk | am | |
b1 | b2 | b3 | bk |
|
|
(7.74)
(7.75)
i Qj cij, S
(7.76)
, : m+k (7.74) (7.75) c m∙k ( ∙k >> m+k) S. , S ().
, .
3. . - n F1, F2,..., Fn, . N1, N2,..., Nm. , γ1 N1, γ2 N2,..., γm Nm. . αij i - , j - . , , (. 7.11).
7.11
F1 | F2 | Fn | ||
N1 | α11 | α12 | α1n | |
N2 | α21 | α22 | α2n | |
Nm | αm1 | αm2 | αmn |
, , .. , η1 F1,..., ηn Fn. N1
, , ,
η1α11 + η2 α12 ++ ηn α1n ≥ γ1
.
η1αi1 + η2 αi2 ++ ηn αin ≥ γi (i = 1, 2, m)
. , (7.78) - . , . πi - 1 Fi. , ,
S = π1η1 + π2η2 + + πnηn. (7.79)
, : η1, , ηn (7.78), (7.79).
, . . . ,
1) ;
2) ;
3) ( ). , - , , . : .
:
(7.80)
f = c1x1 + c2x2 + + cnxn (7.81)
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, , xn ≥ 0
(7.80), f ( ) .
(7.80) , f - ( ). , . , ( ).
|
|
,
ai1x1 + ai2x2 + + ainxn ≥ bi
xn +1,
xn +1 = ai1x1 + ai2x2 + + ainxn - bi
, , xn + 1 ≥ 0 (7.84) (7.83). , , . .
.
.
-
. , , . - - , f ( ).
(7.81). (7.85) , r , ( - ):
x1, x2,..., xr - , { x1, x2,..., xr } , { xr+1, xr+2,..., xn } - . (7.86) (7.81),
f :
f = c0 + c'r +1 xr +1 + c'r +2 ++ 'nxn.
:
x1, 2,..., xr, .. . , f. , f . - .
1.
x1 3 x2 + 5 x3 x4 = 2
x1 + x2 + x3 + x4 = 4
f = 2 x3. 2 3.
, (3, 0, 0, 1). , f = 0. x2 x3. x2 . x3. x3 = 1 ( x1 ≥ 0), - . , x3 = 1, 2 (0, 0, 1, 3), f = -1 - . , ( , , x3, x4). :
. f x1, x2, , x1 = 0, x2 = 0.
, , min f = -1 x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 3.
|
|
- . - .
(7.90)
f
(7.91)
- , , , .
. 7.12.
7.12
-
- , . 7.12.
1. , (γ0 ). , ; (b1, b2,.... br, 0,..., 0) ; f = γ0. , .2.
2. , , , . , . , ( , ), . 3.
3. . , . , . . 4.
4. ( ). . . 5.
5. , . 4. , . , . 1.
, - -, , . - ( ): , . -, .
, (7.85), (7.86), bi ≥ 0 (i = 1, 2,..., r). -. .
- .
, . , :
1) , , -1;
2) , , , , -1.
, , . 3 - 5 -, , .
2.
, , . . a31. 8,654 , 8,704 . , x1 .
0,00000 0,00000 1,00000 | -5,87100 0,68512 -0,77756 | 6,54300 17,46384 0,97677 | -9,99600 8,57990 0,89808 | 7,61800 -3,19062 0,62769 | 0,86400 9,79929 1,11584 |
,
|
|
0,00000 0,00000 1,00000 | 0,00000 1,00000 0,00000 | 156,19554 25,49013 20,79687 | 63,52761 12,52318 10,63560 | -19,72328 -4,65701 -2,99341 | 84,83688 14,30299 12,24727 |
, , . x1, x2, x3. x4, 5 :
0,00000 0,00000 1,00000 | 0,00000 1,00000 0,00000 | 1,00000 0,00000 0,00000 | 0,40672 2,15588 2,17713 | -0,12627 -1,43829 -0,36733 | 0,54315 0,45815 0,95155 |
. , . , , . , , , . , , - .
1. , .
2. .
3. ?
4. ?
5. ? ?
6. , ?
7. ?
8. -.
9. -.
10. z = 4 x1 +3 x2 (xi ≥ 0)
11. b1 b2, 1, a2, a3 4. , . .
b1 | b2 | ||
a1 | |||
a2 | |||
a3 | |||
a4 | |||
1 , . |
12. , , , , 800, 400 300 . (), 10 , , , . , .
10 ., | ||
, . |
13. 1 8 A, 21 16 . I II. 1 1 . I II 1 .
1 | ||
I | II | |
1 , |
14. - . . , , . , , . , .
, | |||
III | |||
, |
7
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27. . / . .. 8 . 8. . - .: , 1987.
................................................................................................................................... 1
........................................................................................................................................... 2
.................................................................................................................. 5
1 .......................................................... 5
.................................................................................................................................... 5
1. ........... 5
1.1. ............................................................................ 5
1.2. ........................................ 7
1.3. ............................................................... 8
1.4. ................................................................... 9
1.5. .................................................................... 9
1.6. ........................................................................ 12
1.7. ...................................................................... 14
................................................................................................................ 15
2. , ........................................................................... 15
2.1. ................................... 15
2.2. ......................................................... 16
2.3. : .18
2.4. : .................................................................. 21
2.5. ............................................................................ 22
3. ....................................................................................................... 23
3.1. ..................................................................... 23
3.2. .............................................................................. 25
3.3. .................. 26
4. ......................................................................................... 28
4.1. ............................................................................................... 28
4.2. ............................................................................ 29
4.3. ............................................................................... 30
4.4. .................................. 32
5. ............................................................................................. 34
5.1. ...................................................................................................... 34
5.2. .............................................................................................. 35
6. ............................................................................................ 36
6.1. ̻.................................................. 36
6.2. ....................................................................... 36
6.3. ....................................................... 37
6.4. ............................................................................................... 39
6.5. ..................................................................... 40
................................................................................................................ 42
7. ̻....................................................................... 42
7.1. .............................................................................................. 42
7.2. .............................................................................................................. 43
73. ........................................................................................................ 47
7.4. ........................................................................ 50
7.5. ............................................................................................... 53
............................................................................................... 55
8. ...................................................................................................................................................... 55
8.1. ...................................................................................... 55
8.2. .................................................................................................. 58
8.3. .......................... 63
............................................................................................... 64
9. .......................................................................................................... 64
9.1. ............................................................................................. 64
9.2. () ............................................ 65
9.3. ...................................................................... 66
............................................................................................... 72
10. ............................................. 73
10.1. ........................ 73
10.2. ....................... 74
10.3. ......................................................................................... 76
............................................................................................... 78
11. .................................. 78
11.1. ............................................................................................... 78
11.2. ............................................................................................ 79
11.3. ......................... 81
............................................................................................... 82
12. ................................................................ 82
12.1. ................................................................................................. 82
12.2. ... 84
12.3. ............................................................................. 86
12.4. ................. 89
12.5. ......... 90
............................................................................................... 91
1....................................................................................... 93
2 ...................................................................... 95
.................................................................................................................................. 95
1. ............................................................................................... 95
1.1. ..................... 95
1.2. .................................................................................. 98
1.3. IBM PC......................... 101
1.4. ...................................................................... 107
............................................................................................. 117
2. ............................................................. 117
2.1. ................................................................... 117
2.2. ............................... 120
.............................................................................................................. 122
3. ................. 122
3.1. .............................................................................................................. 122
3.2. .... 123
3.3. 124
3.4. .............................. 125
3.5. ....................................... 125
............................................................................................. 128
4. .................................................................................... 128
4.1. ........................................................................... 128
4.2. ............................................................................................... 129
4.3. ........................................................................................... 131
5. ......................................................................... 138
5.1. .................................. 138
5.2. ..................................................................................... 139
5.3. .......................................................................................... 144
5.4. ........................................................................................................ 146
5.5. ............................................................................................... 147
5.6. ....................................................................................................... 149
...................................................................................... 150
6. ................................ 150
6.1. ............................................................... 150
6.2. ............................................................................................ 151
6.3. ........................................................................................................ 152
6.4. ........................ 154
6.5. - ........................................... 157
............................................................................................. 163
7. ................................................................................................. 163
7.1. ............... 163
7.2. SUPERCALC....................................................................... 164
7.3. EXCEL................................................................................ 172
8. ......................................................... 173
8.1. ..... 173
8.2. MS-WORKS................................................................... 174
9. ................................................................................................... 178
............................................................................................. 183
10. .............................................................................................................. 183
10.1. ........................................................................................... 183
10.2. MATHCAD.......................................................................................................... 183
10.3. REDUCE................................. 187
11. ................................................................................ 190
11.1. ...190
11.2. .............................................................................. 192
11.3. ...................................................... 193
11.4. .................................. 194
12. .............................................................................................. 197
12.1. ...................................................................... 197
12.2. ..................................................... 198
12.3. ....................................................................................... 199
............................................................................................. 200
13. ................................................................................................... 200
13.1. ........................................................ 200
13.1. ..................................................................................... 202
.............................................................................................................. 203
3 ........................................................ 207
................................................................................................................................ 207
1. ............................................... 207
2. ................................................... 211
2.1. ..................... 211
2.2. ................................... 212
23. ........................................................ 213
3. - 216
3.1. ......................................................................................................................... 216
.............................................................................................................. 220
3.2. ............................................................................ 220
.............................................................................................................. 223
3.3. .................................................................................................... 223
3.4. ............................................................................................. 234
3.5. ..................................................................................................... 238
3.6. .............................................. 243
.............................................................................................................. 247
3.7. .................................................................................................... 247
............................................................................................. 253
3.8. -. ...................................................................... 253
.............................................................................................................. 256
3.9. -................................................ 256
4. II 11............................................................. 260
4.1. ................................................................................... 260
............................................................................................. 265
4.2. ..................... 265
...................................................................................................................................... 270
4.3. , ...270
............................................................................................................... 273
4.4. ........................................................................................ 273
............................................................................................................... 277
4.5. ( ). 277
............................................................................................. 288
5. -- ....................................................................................................................... 288
5.1. ..................................................................................................... 289
.............................................................................................................. 290
5.2. ................................................................................................... 290
............................................................................................. 292
5.3. ................................................................................ 292
............................................................................................. 293
5.4. .................................................................................. 293
............................................................................................. 297
5.5. .............................................................. 297
............................................................................................. 299
5.6. ............................................................................................................ 299
.............................................................................................................. 300
5.7. ..................................................................................................... 300
5.8. .................................................... 302
............................................................................................................... 303
5.9. ........................................................................................................... 303
5.10. ..................................................................................................... 304
6. ............................................................. 304
6.1. ................... 304
6.2. : , , , 307
6.3. . ..................................... 310
6.4. . .......................................... 315
6.5. . .................................. 324
6.6. ........................................................................................................... 328
6.7. \-........................................................................................... 332
6.8. ..................................................................................... 336
6.9. ................................................................................................................ 338
7. .................... 339
7.1. ............................................................................................................. 339
7.2. ............................................. 343
7.3. ......................................................................................................................... 346
7.4. 348
7.5. ................................................................................................... 349
7.6. .......................................................... 352
............................................................................................. 354
8. ........ 355
8.1. 11 ............................................. 355
8.2. . .................................. 356
8.3. ......................................................................................................................... 357
8.4. . -......................... 359
8.5.