Наращение по сложным процентным ставкам (compound interest)

 

В долгосрочных финансово-кредитных операциях для определения наращенной суммы долга используются, как правило, сложные проценты. Чаще всего проценты начисляются за фиксированные промежутки времени, в этом случае говорят о дискретном начислении. Иногда применяются непрерывные проценты (чаще всего в теоретических выкладках). Для определения наращенной суммы долга по сложной процентной ставке при капитализации процентов 1 раз в год используется формула:

S=P (1+r) ⁿ (9)

n - количество лет (месяцев, недель или дней) пользования ссудой;

(1+r) ⁿ - множитель наращения.

Для удобства практических расчетов существуют таблицы множителей наращения для определенных r и n. Не имея под рукой таблицы, наращенную сумму можно определить по формуле 9.

 

Пример 3. Определить, чему будет равна сумма депозита в 100 тыс.руб. при сроке 2 года и 50% годовых.

S=100 000х(1 + 0,5)²= 225 000 руб.

Формулой (9) можно пользоваться в том случае, если ставка процентов не меняется во времени, однако на практике, особенно при нестабильной экономике, это не так. Точные финансовые расчеты нельзя выполнить при меняющейся процентной ставке, однако при «плавающих», но все же фиксированных на определенные моменты времени ставках можно рассчитать и будущую сумму по формуле:

 

S=P(1+r₁)ⁿ¹х(1+r₂)ⁿ²х……х(1+r_к)^nк (10)

 

где

r_к – значения процентных ставок, фиксированных на определенные моменты времени n_к.

 

Вышеприведенные формулы применяются в расчетах с ежегодным начислением (ежегодной капитализацией) процентов. В современной действительности проценты капитализируются несколько раз в год, начисляются полугодовые, ежеквартальные или ежемесячные проценты, а в условиях быстрого роста инфляции финансовые и кредитные учреждения могут капитализировать проценты даже ежедневно. В этом случае применить формулу (9) можно лишь для процентной ставки соответствующего периода начисления. Например, 30% квартальных. Если же дана годовая процентная ставка (как это обычно и бывает на практике), а проценты начисляются ежеквартально, ежемесячно и т.п., то используется формула номинальной процентной ставки (nominal rate):

 

S=P(1+r/m)^mn (11)

 

где

m – кол-во периода начисления в году;

r/m- номинальная процентная ставка.

Пример 4. Банк выдал ссуду 200 тыс.руб. на 2 года из расчета 10% годовых с условием ежеквартальной капитализацией процентов.

Определить наращенную сумму долга.

S=200 000 х (1 х 0,1/4) ^4х2 = 243 680,54 руб.

К аналогичному результату можно прийти, пользуясь таблицами множителей наращения.

На практике часты случая, когда капитализация процентов и выплата долга происходят не одновременно. Например, период сложения процентов – ежемесячно, а сумма выплачивается один раз в год. В случае для определения будущей стоимости современных денег пользуются формулой эффективной процентной ставкой (effective rate).

 

r_e = (1+r/m)^m - 1 (12)

где

m- период капитализации процентов;

r_e – эффективная процентная ставка.

 

Пример 5. Определить наращенную сумму, если первоначальная сумма составила 10 тыс.руб., ставка процентов 10%, капитализация процентов ежемесячная, период – 1 год.

В данном случае для решения можно воспользоваться формулой (11) или формулой (12). Формулой (11) чаще пользуются в США, а в Европе обычно используют эффективную процентную ставку.

S=10 000 х (1+0,1/12) ¹² = 11 047,119 или

rе = (1+0,1/12) ¹² - 1=0,1047119

S = 10 000 (1+0,1047119) ¹ = 11047,119

 

 

Дисконтирование

В предыдущих примерах были рассмотрены случаи определения будущих наращенных сумм. В финансовом менеджменте часто необходимо бывает знать современную стоимость какой либо будущей суммы денег. Эту современную или по другому приведенную стоимость (present value) определяют дисконтированием. Дисконт – это разность между будущей и современной стоимостью.

Формулу для определения современной стоимости будущей суммы легко можно вывести из формулы (9)

 

(13)

Выражение = (1+r) ^–n называется учетным или дисконтным множителем.

Формула 13 применяется при ежегодном начислении процентов.

Для случая, когда проценты начисляются m раз в год, используется формула:

 

(14)

 

где

⁼ (1+r/m) ^{– mn} - дисконтный множитель.

Аналогично тому, что процесс наращения стоимости может осуществляться как по простым, так и по сложным процентам, процесс дисконтирования также может осуществляться по простой (формуле 7) и по сложной учетной ставке. В том случае, когда учетная ставка на каждом временном промежутке применяется не к будущей сумме, а к сумме, уменьшающейся на величину дисконта, используется сложная учетная ставка d_е. Формула для определения сегодняшней стоимости при какой-то будущей сумме следующая:

P=S (1-d_е) ⁿ (15)

При дисконтировании раз в году применяется номинальная учетная ставка d_n.

P=S(1-d/m) ^mn (16)

где d/m= d_n.

 

Пример 6. Найти дисконт при продаже долгового обязательства со сроком погашения 3 года на сумму 50 тыс. руб., если применяется сложная учетная ставка 10 %, а дисконтирование осуществляется каждый квартал.

Найдем номинальную учетную ставку.

d_n = 0,1 / 4 = 0,025. P = 5000 * (1 – 0,025)¹² = 36899,9 руб.

Тогда дисконт будет равен:

Д = 5000 – 36898,9 = 13100,1 руб.

 

Аналогично эффективной ставке можно определить эффективную учетную ставку. Эффективная учетная ставка определяется за год и она эквивалентна номинальной учетной ставке при заданном значении m. Эффективная учетная ставка определяется по формуле:

 

d_e = 1 – (1 – d/m) (17)

 

Пример 7. Банк покупает ценную бумагу на сумму 20000 руб., со сроком погашения 5 лет, по учетной ставке 5 % с поквартальным начислением процентов. Определить эффективную учетную ставку и сегодняшнюю стоимость ценной бумаги.

 

d = 1 – (1 – 0,05/ 4)⁴ = 0,0490703 или 4,0907 %

P = 20000 * (1 – 0,049073)⁵ = 15,551488.

 

С помощью учетной ставки может осуществляться не только дисконтирование, но и наращивание процентов. Рост по сложной учетной ставке называется наращиванием по сложным антисипативным процентам. Наращенную по сложной учетной ставке сумму можно определить по формуле:

S = P * (1 / (1 - d)ⁿ) = P / (1 - d)ⁿ (18)

Или для номинальной учетной ставки:

 

S = P / (1 – d/m)^mn (19)

 

Пример 8. Трастовый фонд выдал кредит на сумму 500 тыс. руб., со сроком погашения I год. В кредитном договоре предусмотрено наращение процентов по сложной годовой ставке 15 %. Найти будущую сумму погашения.

__ 500 __

S = (I – 0.15) = 588,235 тыс. руб.