Распределение молекул идеального газа во внешнем си-ловом поле

Учитывая, что p = nkT, а следовательно p ₀ = n ₀ kT, от формулы

 

(10.2.7) придем к формуле для концентраций частиц
n = n	exp		− m 0 gh .	(10.3.1)
			kT

Так как молекулы воздуха находятся в поле тяготения Земли, то на разной высоте молекулы обладают различным запасом потенциальной энергии П = m ₀ gh. Следовательно, распределение молекул по высоте яв-ляется и распределением молекул по значениям потенциальной энергии

 

		П
n = n 0exp	−			,	(10.3.2)
		kT

где n ₀ − концентрация молекул в том месте, где потенциальная энер-гия молекул равна нулю.

Больцман доказал, что распределение (10.3.2) справедливо не толь-ко в случае поля тяготения Земли, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения. В соответствии с этим выражение

 

(10.3.2) получило название распределение Больцмана.

 

Например, для частиц находящихся в поле центробежных сил

 

П = − m ₀ω² r ² 2 (где r − расстояние от оси вращения до частицы). То-гда выражение (10.3.2) примет вид

m	ω2 r 2		(10.3.3)
n = n 0exp	0		.
	2 kT

 

Для частиц, взвешенных в жидкости (частицы суспензии или эмульсии), в выражении для потенциальной энергии необходимо учи-тывать действие силы Архимеда. Поэтому потенциальная энергия та-

 

ких частиц будет иметь вид:

 

в поле силы тяжести
П = (m 0 − m ж) gh = (ρ 0 −ρж) Vgh,		(10.3.4)
в поле центробежных сил
П = − (m − m	) ω2 r 2	= − (ρ		−ρ	ж	) V ω2 r 2	,	(10.3.5)
	ж

где m _ж − масса жидкости, вытесненной частицей массой m ₀; ρ₀ − плотность вещества частиц; ρ_ж − плотность жидкости; V − объем час-тицы.

 

Распределение Больцмана для частиц суспензии или эмульсии будет иметь вид:

 

поле силы тяжести

n = n

exp

− ( m 0

− m ж ) gh

= n

exp

− (ρ 0

−ρ ж ) Vgh

. (10.3.6)

kT

kT

в поле центробежных сил

 

(m

− m )ω2 r 2

(ρ

−ρ

ж

) V ω2 r 2

. (10.3.7)

n = n 0exp

ж

= n 0 exp

2 kT

2 kT

 

Для идеального газа в любом внешнем потенциальном поле рас-пределение молекул будет подчиняться распределению Больцманом. В общем случае функция распределения Больцмана будет иметь вид

 

f (x, y, z)= A exp	−	П(x, y, z )		,	(10.3.8)
		kT

 

где П(х, у, z) − потенциальная энергия молекулы в точке с координа-тами х, у, z; A − нормировочная постоянная.

 

Общее распределение молекул идеального газа во внешнем поле по их значениям проекций скоростей и координат х, у, z имеет вид

 

f (ε)= B exp−

ε

,

kT

− функция распределения Максвелла − Больцмана,

m

υ 2

m 0υ2 y

m

υ 2

+ П(x, y, z) =

m

υ2

+ П(x, y, z)

где ε =

x

+

+

z

энергия молекулы; В − нормировочная постоянная.

 

(10.3.9)

 

 

− полная