Общий метод вычисление коэффициентов

Рассмотренный выше метод вычисления коэффициентов и свободных членов канонических уравнений МП, основанный на рассмотрении равновесия узлов рамы, приводит к затруднениям для рам с наклонными элементами. В этом случае, а также при реализации МП в компьютерной программе целесообразно воспользоваться общим методом вычисления коэффициентов.

Пусть рама загружена произвольной нагрузкой (рис. 6.6, а), а соответствующая ей основная система МП образована введением двух связей: моментной – i и линейной – j (рис. 6.6, б).

Рассмотрим два состояния этой системы, соответствующие единичным смещениям введенных связей, и обозначим через `M_i ⁰и `M_j ⁰соответствующие им эпюры изгибающих моментов (рис. 6.6, в, г).

Вычислим работу внешних сил первого состояния системы на перемещениях второго состояния:

A ₁₂= r_ii · θ _ij + r_ji ·δ _jj = r_ii · 0 + r_ji ·1 = r_ji.

Учитывая, что в силу (3.15)

A ₁₂ = – W ₁₂ = – Sò(`M_i ⁰· `M_j ⁰/ EJ) ds,

получим отсюда искомое выражение для определения удельных реакций:

r_ij = r_ji = Sò(`M_i ⁰· `M_j ⁰/ EJ) ds. (6.4)

Последнее выражение напоминает формулу (4.4) для вычисления коэффициентов канонических уравнений в методе сил:

d _ij = (`M_i ⁰´ `M_j ⁰) = Sò (`M_i ⁰× `M_j ⁰ / EJ) ds,

и может показаться, что свободные члены системы канонических уравнений в методе перемещений также вычисляются по формуле, аналогичной (4.5):

D _ip ⁰= (`M_i ⁰´ `M_p ⁰) = Sò (`M_i ⁰× `M_p ⁰ / EJ) ds.

В действительности это не так: R_ip ⁰≠ (`M_i ⁰´ `M_p ⁰), а (`M_i ⁰´ `M_p ⁰) = 0.

Рассмотрим снова два состояния основной системы МП, и пусть первое по-прежнему соответствует единичному смещению i -й связи (рис. 6.6, в), а второе – единичной силе, приложенной в k -й точке этой системы (рис. 6.6, д).

z_i =1

z_j =1

P_k =1

z_j =1

св j

св i

Рис. 6.6

Работа внешних сил первого состояния системы на перемещениях второго состояния равна нулю:

A ₁₂= r_ii · θ _ip + r_ji · δ _jp = r_ii · 0 + r_ji · 0 = 0,

а поскольку A ₁₂= A ₂₁, то

A ₂₁ = P · d _pi + r_ip · θ _ii = 0,

откуда

r_ip = – d _pi.

То есть реакция в i-й связи основной системы от единичной силы, приложенной в точке k, равна взятому со знаком минус перемещению точки приложения силы от единичного смещения этой связи.

Это утверждение носит название второй теоремы Релея.

Возвращаясь к традиционным обозначениям МП и обобщая последнее соотношение на случай нескольких сил произвольной величины, получим:

R_ip ⁰ = – S P_k · d _ki. (6.5)

Таким образом, реакция в i-ой связи ОС МП от заданной нагрузки равна взятой со знаком минус работе всех сил, приложенных к системе, на перемещениях, вызванных единичным смещением этой связи.

Примечание

Поскольку A ₁₂= 0, а A ₁₂= – W ₁₂, то действительно: (`M_i ⁰´ `M_p ⁰) = – W ₁₂ = 0. При этом нетрудно доказать, что искомую реакцию можно вычислить по формуле:

R_ip ⁰= (`M_i ⁰´ M_p ⁰) = – Σ(`M_i ⁰´ M_p ⁰/ EJ) ds,

где `M_i ⁰ – это по-прежнему эпюра моментов в ОС МП от единичного смещения i -й связи, а M_p ⁰– эпюра моментов в любой ОС МС от заданной нагрузки. Такой, например, является эпюра, приведенная на рис. 6.6, е.

Легко убедиться, что в этом случае значение R_ip ⁰= – 3 Pl /16 совпадает с табличным значением, указанным на рис. 6.4.

ГЛАВА 7. ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ СНС МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ