Свойства статически неопределимых систем

Напомним, что статически неопределимыми называются системы, у которых внутренние усилия нельзя найти, используя лишь уравнения равновесия (1.10). Если при этом указанные уравнения позволяют определить опорные реакции, система называется статически неопределимой внутренним образом.

Отличительной особенностью СНС является наличие дополнительных или лишних связей – внешних или внутренних, число которых для произвольной стержневой системы можно найти по формуле:

 

Л = С_О + 2Ш – 3Д, (1.2¢)

 

где С_О – число опорных связей;

Ш – число простых шарниров, соединяющих диски друг с другом;

Д – число дисков.

Число лишних связей фермы, как уже отмечалось в § 1.2.2., удобнее определять по формуле:

Л = С_О + С – 2У, (1.4¢)

 

где С_О – число опорных связей;

С – число стержней фермы;

У – число ее узлов.

Нетрудно убедиться, что для рам вместо формулы (1.2¢) удобнее использовать формулу:

Л = 3К – Ш, (4.1)

 

где Л – число лишних связей;

К – число замкнутых контуров, образованных стержнями рамы и поверхностью земли;

Ш – суммарное, в отличие от приведенных в формуле (1.2¢), число простых шарниров (включая опорные).

В самом деле, число лишних связей П-образной рамы, не содержащей шарниров и образующей один контур (рис. 4.1, а), можно найти по формуле (1.2¢):

Л = 6 + 0 – 3×1 = 3.

 

Введение в контур рамы простого шарнира уменьшает на единицу число связей системы, откуда и следует (4.1).

При определении числа шарниров по формуле (4.1) кратный шарнир, соединяющий n стержней, заменяют (n – 1) простым.

 

 

Рис. 4.1

 

Подвижную опору рекомендуется изображать на схеме так, как показано на рис. 4.1, б, то есть считать ее эквивалентной двум простым шарнирам, включенным в контур. При этом для рассматриваемой схемы получим:

 

Л = 3×3 – 5 = 4.

 

Наличие лишних связей повышает стойкость системы к разрушению и позволяет проектировать более экономичные конструкции.

 

Переходя к перечислению свойств СНС можно отметить следующее:

1. Устранение ненулевых связей СНС не обязательно приводит к ее разрушению – в отличие от СОС, рассмотренных в §2.1. Например, при достаточном запасе прочности статически неопределимой фермы (рис. 4.2, а) удаление стержня нижнего пояса (рис. 4.2, б) вызовет перераспределение усилий в остальных стержнях, приведет к увеличению прогибов, но не будет иметь катастрофических последствий.

 

 

Рис. 4.2

 

2. Опорные реакции и внутренние усилия в СНС возникают не только под действием силовых, но также вследствие кинематических и температурных воздействий.

3. В отличие от СОС опорные реакции и внутренние усилия в СНС зависят от физических свойств материала и геометрии поперечных сечений элементов системы.

Теория расчета СНС появилась в конце 19-го – начале 20-го столетия. Основными методами расчета таких систем являются метод сил (МС) и метод перемещений (МП).