Элементы квантовой электроники 4 страница

Решение: При повороте рамки на 30° по часовой стрелке угол α между В и п будет равен 0°, т.е. рамка расположится перпендикулярно полю. При повороте рамки на 30° в другую сторону угол α ₂ между В и п будет равен 60°. Работа поворота рамки А=1∆Ф, где I - ток; ∆Ф=Ф_о-Ф - изменение магнитного потока, пронизывающего плоскость рамки. Ф=ВScosα, где S- площадь рамки, S = а ²;

Рис. 5.

В – индукция магнитного поля, ; μ₀ – магнитная постоянная; Н – напряженность магнитного поля.

; ; .

Тогда

;

Ответ:

28. Электрон с энергией 300 эВ движется перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля напряженностью 465А/м. Определить силу Лоренца, скорость и радиус траектории электрона.

Дано: .

Найти: .

Решение. Кинетическая энергия электрона , откуда

.

Сила Лоренца

Где q- заряд; В – индукция магнитного поля, ; μ- магнитная проницаемость среды; μ₀ – магнитная постоянная; Н – напряженность поля.

.

В магнитном поле электрон движется по окружности радиуса rпод действием центростремительной силы , численно равной силе Лоренца: , тогда

и

Ответ:

29. Перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля индукцией 0,1 мТл по двум параллельным проводникам движется без трения перемычка длиной 20 см (рис. 6). При замыкании цепи, содержащей эту перемычку, в ней идет ток 0,01 А. Определить скорость движения перемычки. Сопротивление цепи 0,1 Ом.

рис. 6

Дано:

Найти: n.

Решение. Если проводник длиной движется перпендикулярно линиям индукции В магнитного поля со скоростью ν, то на концах его возникает ЭДС индукции ε_i равная скорости изменения магнитного потока Ф. . Магнитный поток Ф=ВS, где S - площадь, которую пересекает проводник при своем перемещении (на рис. 6 заштрихована).

/

Если в перемычке с сопротивлением R возникает ток I, значит на концах ее возникла ЭДС, РАВНАЯ . Эта ЭДС равна

.

Приравнивая правые части этих выражений, получим , откуда

.

Ответ:

30. Цепь состоит из соленоида и источника тока. Соленоид без сердечника длиной 15 см и диаметром 4 см имеет плотную намотку из двух слоев медного провода диаметром 0,2 мм. По соленоиду течет ток 1 А. Определить ЭДС самоиндукции в соленоиде в тот момент времени после отключения его от источника, когда сила тока уменьшилась в два раза. Сопротивлением источника и подводящих проводов пренебречь.

Дано: ;

Найти: ε.

Решение. При размыкании цепи сила тока , где R и L – сопротивление и индуктивность соленоида. ЭДС самоиндукции . В момент t, когда , ЭДС самоиндукции . Сопротивление провода , где ρ - длина провода; - его сечение. Таким образом, , следовательно,

.

Ответ: .

31. Соленоид без сердечника имеет плотную однослойную намотку провода диаметром 0,2мм и по нему течет ток 0,1А. Длина соленоида 20 см, диаметр 5 см. Найти энергию и объемную плотность энергии магнитного поля соленоида.

Дано: ; .

Найти: W, w.

Решение. Энергия магнитного поля соленоида , где L- индуктивность соленоида, ; - магнитная постоянная; n- число витков на 1 м длины соленоида, при плотной намотке ; - длина соленоида; -площадь сечения соленоида. Тогда:

Объемная плотность энергии определяется по формуле:

.

Ответ: .

32. Материальная точка массой 10 г. совершает гармоническое колебание с периодом 1 с. Амплитуда колебаний равна 5 см. Определить максимальнуюcилу, действующую на точку, и ее полную энергию.

Дано:

Найти:

Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид

(1)

где - смещение материальной точки от положения равновесия;

- циклическая частота колебаний; ω₀ –начальная фаза.

(2)

(3)

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на точку, определяется как

(4)

а ее максимальное значение равно

(5)

Полная энергия колеблющейся точки складывается из кинетической и потенциальной энергий и равна максимальной кинетической или максимальной потенциальной энергии. Учитывая, что, согласно (2), , находим

(6)

Подставляя в (5) и (6) числовые значения и учитывая, что циклическая частота и период колебаний связаны соотношением , получим

;

;

.

Ответ: ; .

33. Конденсатору емкостью 40 мкФ сообщен заряд 0,3 мКл, после чего его замыкают на катушку с индуктивностью 0,1 Гн. Пренебрегая сопротивлением контура, найти законы изменения напряжения на конденсаторе и силы тока в цепи.

Дано: С=40·10^-6 Ф; q_m=0,3∙10^-3 Кл; L=0,1Гн.

Найти: U=U(t); I=I(t)

Решение. В отсутствие омического сопротивления свободные колебания в контуре описываются уравнением

, (1)

Где - циклическая частота колебаний.

Решение уравнения (1) имеет вид

, (2)

где φ₀ – начальная фаза колебаний. Поскольку в начальный момент времени (при t=0) заряд конденсатора , то и, следовательно, .

Напряжение на конденсаторе

(3)

а сила тока в цепи

(4)

Подставляя числовые значения, получим

;

.

Таким образом, ; .

Ответ: ; .

34. В однородной изотропной среде с и распространяется плоская электромагнитная волна. За время t=1c энергия, переносимая этой волной через поверхность площадью 1м², расположенную перпендикулярно направлению распространения волны, равна 1,5 Дж. Найти амплитуды напряженности электрического и магнитного полей волны. Период колебаний .

Дано: ; ; ; .

Найти: Е_m; Н_m.

Решение. Плотность потока энергии электромагнитной волны определяется вектором Пойнтинга:

.

Учитывая, что векторы напряженности электрического Е и магнитного Н полей волны взаимно перпендикулярны, для модуля вектора Пойнтинга получим

Р=ЕН.

Поскольку колебания напряженностей Е и Н совершаются в одинаковых фазах, зависимость плотности потока энергии от времени имеет вид

(3)

Поток энергии через поверхность S, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны, равен

(4)

а для энергии, переносимой волной за время t через эту поверхность, получим выражение

(5)

По условию , следовательно, и выражение (5) принимает вид

(6)

Учитывая, что амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны связаны соотношением

, (7)

Представим выражение (6) в виде

(8)

; (9)

Подставляя числовые значения, получим

;

.

Ответ: .

35. Найти минимальную толщину пленки с показателем преломления 1,33, при котором свет с длиной волны 0,64 мкм испытывает максимальное отражение, а свет с длиной волны 0,40 мкм не отражается совсем. Угол падения света равен 45⁰.

Дано: ; ; ; .

Найти: .

Решение. Оптическая разность хода лучей, отраженных от нижней и верхней поверхностей пленки, равна

(1)

Для света с длиной волны , имеющего максимальное отражение, выполняется условие , т.е.

(2)

Отсюда (3)

Для света с длиной волны , не имеющего отражения, и, следовательно,

(4)

Из формулы имеем

(5)

Сравнивая выражения (3) и (5), получаем соотношение

(6)

Из которого следует, что и, соответственно, .

Таким образом,

(7)

Подставляя числовые значения, получим

.

Ответ: .

36. Между точечным источником света и экраном поместили диафрагму с круглым отверстием, радиус r которого можно менять. Расстояния от диафрагмы до источника и экрана равны 100 и 125 см соответственно. Определить длину волны света, если максимум освещенности в центре дифракционной картины на экране наблюдается при и следующий максимум при .

Дано: ; .

Решение. Радиусы зон Френеля определяются выражением

(1)

Следовательно, число зон Френеля, открываемых отверстием радиуса r, равно

(2)

Так как в центре экрана наблюдается максимум освещенности, то число m- нечетное. Для имеем

(3)

а для получим

(4)

Причем по условию (5)

Из выражений (3) и (4) с учетом (5) следует, что

(6)

Отсюда

(7)

Подставляя числовые значения, получим

.

Ответ: .

37. При падении естественного света на поляризатор проходит 30% светового потока, а через два таких поляризатора -13,5%. Найти угол между плоскостями пропускания этих поляризаторов.

Дано: ; .

Найти: .

Решение. Естественный свет можно представить как наложение двух некогерентных волн одинаковой интенсивности, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях. Идеальный поляризатор пропускает колебания, происходящие в его плоскости, и полностью задерживает колебания, перпендикулярные этой плоскости. На выходе из первого поляризатора получается линейно поляризованный свет, интенсивность которого с учетом потерь на отражение и поглощение света поляризатором равна

, (1)

где τ – коэффициент, учитывающий потери на отражение и поглощение света.

После прохождения второго поляризатора интенсивность света уменьшается как за счет отражения и поглощения света поляризатором, так как и из-за несовпадения плоскости поляризации света с главной плоскостью поляризатора. В соответствии с законом Малюса и учитывая потери на отражение и поглощение света, имеем

(2)

Из (1) найдем

(3)

Подставляя (3) и (2), получим

(4)

Отсюда

(5)

Подставляя числовые данные, получим

.