Марковская СМО с очередью ограниченной по длине

Рассмотрим СМО классифицируемую по Кэндаллу следующим образом: М/М/n/m<. Это означает: распределение интервала между требованиями - экспоненциальное; распределение времени обслуживания – экспоненциальное; число каналов обслуживания – n; очередь ограничена. Примем, что очередь ограничена по длине числом m.

Такая СМО функционирует следующим образом: на входе – простейший поток требований с интенсивностью λ; значит, в любой момент времени на участке Δt может возникнуть требование с вероятностью (λ Δt); требование на Δt может быть только одно; одновременно могут обслуживаться не более n требований.

очередь допускается не более, чем m; если требование приходит когда все каналы заняты, то оно становится в очередь, если там есть свободное место; если все места в очереди заняты, требование получает чистый отказ.

Для характеристики такой системы целесообразно использовать число требований, находящихся в системе в момент времени t, т.е. случайный процесс K(t) ={0,1,…,n,n+1,…,n+m}.За счет ограничения длины очереди число состояний процесса конечно. Из описания системы видно, что процесс К(t) это процесс размножения и гибели с параметрами:

λ=const, к – интенсивность размножения

интенсивность гибели

 

Рис. …..

 

Подставляя и в уравнения процесса размножения и гибели, получим систему уравнений описывающих состояния рассматриваемой СМО:

 

(6.1)

. Разделение уравнений на участки по переменной «к» объясняется тем, что интенсивность обслуживания требований не может быть выше, чем nν.

Вероятности состояний зависят от времени. Если система задействована давно, в ней может, как быть, так и не быть стационарный режим. В данном случае, так как число непериодических (шаг по «к» равен 1). состояний конечно, в СМО должен иметь место стационарный эргодический режим, который можно называть режимом статистического равновесия. В этом (предельном) режиме все вероятности состояний постоянны, а их производные, соответственно, равны нулю, и уравнения системы принимают вид:

 

(6.2)

(6.3)

Используя, как и выше, Z - подстановку, получим (см. уравнение размножения и гибели):

 

(6.4)

" 1

(6.5)

где , где

(6.6)

1/ - среднее время обслуживания одного требования (в соответствии с экспоненциальным законом распределения)

ρ – среднее число требований, пришедших за время обслуживания одного - коэффициент загрузки системы, он показывает, насколько система загружена.

В частности если система одноканальная, то:

при ρ<1 - система в среднем успевает обслуживать требования (очередь будет, но не будет тенденции к неограниченному,накоплению требований).

при ρ>1 - система перегружена, не справляется (есть тенденция к неограниченному,накоплению требований, а при ограничении очереди к неограниченному увеличению числа отказов).

Во все уравнения системы входит вероятность P , которая ищется из нормирующего условия :

, (6.7)

, (6.8)

(6.9)

P = (6.10)

Напомним, что - сумма членов геометрической прогрессии с коэффициентом ( /n), который в n-канальной системе имеет смысл коэффициента загрузки одного канала (см. выше), и,следовательно, должно быть меньше, чем число каналов, иначе система с потоком требований не справится: ( /n) <1. Это условие в n-канальной системе, как правило, должно выполняться.

 

 

(6.11)

Напомним, что вышеприведенная систем алгебраических уравнений получена для стационарного режима.

Найдем наиболее употребительные числовые оценки состояния СМО, могущие использоваться в качестве локальных критериев (показателей состояния).

1. Среднее число требований (точнее, математическое ожидание этого числа), находящихся в системе (на обслуживании и в очереди): ,

2 С реднее число занятых каналов:

3 Средняя длина очереди: M[ ] = m

(6.12)

4.Вероятность того, что заняты все каналы (6.13)

5. Вероятность отказа:

(6.14)

6. Интенсивность потока отказов:

7. Распределение времени ожидания в очереди - (случайная величина смешанного типа)

Пусть Т - время ожидания в очереди.

Тогда:

7.1. Функция распределения времени ожидания в очереди.

(6.15)

= (6.16)

P_k(T>t) – - вероятность того, что время ожидания >t, если в системе k требований

Вводим , и после очевидных преобразований приводим формулу к одинарной сумме:

:

(6.17)

(6.18)

- вероятность того, что хотя бы один канал свободен

7.2. m – среднее (математическое ожидание) время ожидания в очереди - одна из важнейших характеристик СМО.

, так как вероятность ждать больше чем равна нулю.

(6.19)

- гамма-функция

+

см. формулу для средней длины очереди

- средняя дина очереди

Рассмотрим 2 частных случая:

1.) Очередь не разрешена (система с потерями, отказами). По Кэндаллу: M/M/n/m=0

Найдем характеристики этой системы в режиме статистического равновесия (стационарного распределения), подставив m=0 в формулы для рассмотренной выше СМО. В результате получим:

(6.20)

Эти формулы называются формулами Эрланга, а соответствующие им дифференциальные уравнения (при m =0) уравнениями Эрланга/

- характеризует эффективность использования системы; чем больше занятость каналов, тем СМО эффективней;

- вероятность отказа, показывающая насколько хорошо система справляется со входящим потоком;

- интенсивность потока отказов.

 

2.) Другой частный случай , т.е. очередь не ограничена. По Кэндаллу: M/M/n/m >. Найдем описание этой СМО аналогичным образом, подставляя m= . В итоге получим:

(6.21)

 

положим k – n = s, тогда:

(6.22)

Если , то ряд расходится и ,

то есть вероятности всех состояний равны нулю, и значит стационарного режима нет. В этом случае система работает, непрерывно увеличивая среднею длину очереди.Обычно стараются проектировать СМО так, чтобы

, так как очередь не ограничена.

вероятность, что все каналы заняты,

среднее время ожидания в очереди,

средняя длина очереди.