Теорема о существовании и единственности решения Задачи Коши (3.2),(3.4). 3 страница

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях последнего равенства, получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными и .

Откуда . Поэтому , а общее решение данного уравнения: .

3.15). Решить уравнение .

Решение. Сначала решим соответствующее однородное уравнение: . Его характеристическое уравнение , или , имеет корни . Поэтому общее решение однородного уравнения записывается так: . Так как число не является корнем характеристического уравнения, то в соответствии с разделом II (1) Таблицы 3 частное решение данного уравнения имеет вид . Для нахождения коэффициентов , и подставим эту функцию и ее производные в исходное уравнение. Сократив обе его части на , имеем .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получаем систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов и

решая которую, находим , , . Итак, . По формуле (3.27) общее решение .

3.16). Решить уравнение .

Решение. Соответствующее однородное уравнение: . Его характеристическое имеет корни (Таблица 2, раздел 3). Поэтому . По виду правой части, так как и числа нет среди корней характеристического уравнения, частное решение записывается так . Подставляя эту функцию и ее вторую производную в исходное уравнении, получим . Отсюда , а значит . Общее решение данного уравнения имеет вид .

3.17) Решить уравнение .

Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, выглядит так . Его характеристическое имеет корни . Поэтому (Таблица 2, раздел 3). По виду правой части, где и числа нет среди корней характеристического уравнения (Таблица 3, IV(1)), записываем частное решение неоднородного уравнения .