Теорема (достаточные условия экстремума)

1. Если и , то - точка максимума.
2. Если и , то - точка минимума.
3. Если , то не является точкой экстремума.

4. Если , то точка может как быть, так и не быть точкой экстремума,

 

2.13).Найти точки экстремума и экстремальные значения функции

.

Найдем частные производные и . Приравнивая эти производные нулю, получаем систему уравнений

Ее решениями являются следующие четыре стационарные точки:

. Теперь вычислим вторые частные производные данной функции , , и составим определитель . Найдем значения этого определителя в каждой из полученных стационарных точек:

1. . Поэтому - точка минимума.

2. , в точке экстремума нет.

3. , в точке экстремума нет.

4. , - точка максимума.

Подставляя координаты двух экстремальных точек и в данную функцию, получим - минимум, - максимум.

Задания для самостоятельного решения

Найти области определения следующих функций:

2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. . 2.5. .

Определить линии уровня и построить некоторые из них при для следующих функций:

2.6. . 2.7. . 2.8. . 2.9. . 2.10. .

Найти частные производные следующих функций, записать полный дифференциал:

2.11. . 2.12. . 2.13. .

2.14. . 2.15. . 2.16. . 2.17. .

2.18. . 2.19. .

Найти частные производные второго порядка.

2.20. . 2.21. ..2.22. . 2.23. .

2.24. Вычислить производную функции в точке по направлению вектора .

2.25. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью угол . Определить направление максимального роста данной функции в данной точке.

2.26. Найти направление максимального роста функции в точке .

2.27. Найти производную по направлению биссектрисы первого координатного угла в точке функции .

2.28. Найти градиент функции в точке .

Исследовать на экстремум следующие функции:

2.29. . 2.30. . 2.31. .

2.32. . 2.33. . 2.34. .

 

Ответы:

2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. и . 2.5. .

2.6. . 2.7. . 2.8. . 2.9. . 2.10. .

2.11. . 2.12. .

2.13. . 2.14. .

2.15. . 2.16. .

2.17. . 2.18. .

2.19. . 2.20. , , .

2.21. , , .

2.22. , ,

.

2.23. , , .

2.24.. . 2.25. , . 2. 26. . 2.27. .

2.28 . 2.29. - точка минимума. 2.30. Точек экстремума нет.

2.31. - точка минимума. 2.32. - точка максимума.

2.33. - точка минимума. 2.34. Точек экстремума нет.

 

Контрольная работа № 2.Функции нескольких переменных.

1. Найти область определения функции и изобразить ее на плоскости .

2. Определить линии уровня функции, изобразить некоторые из них при .

3. Найти частные производные , данной функции, записать ее полный дифференциал.

4. Вычислить частные производные второго порядка.

5. Вычислить градиент и производную функции в данной точке по направлению .

6. Исследовать функцию на экстремум. Определить точки максимума и минимума, вычислить максимальные и минимальные значения данной функции.

 

Вариант 1.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 2.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 3.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 4.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 5.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 6.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 7.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 8.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 9.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 10.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 11.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 12.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 13.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 14.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 15.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 16.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 17.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 18.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 19.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 20.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 21.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6.

Вариант 22.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 23.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 24.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 25.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 26.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 27.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

Вариант 28.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

 

Вариант 29.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6.

Вариант 30.

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. .

 

3. Дифференциальные уравнения

3.1.Общие понятия

 

Уравнения, в которых неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями.

Если неизвестная функция зависит только от одного аргумента – одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, а если она зависит от нескольких аргументов и дифференциальное уравнение содержит какие - либо ее частные производные по этим аргументам, то оно называется дифференциальным уравнением с частными производными.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок содержащейся в этом уравнении производной искомой функции. Например, уравнение , где – независимая переменная, а – искомая функция, является обыкновенным дифференциальным уравнением третьего порядка. Уравнение , в котором и – две независимые переменные, а - искомая функция этих переменных, является дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка.

В настоящих методических указаниях рассматриваются некоторые из основных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения, а само решение дифференциального уравнения называется его интегралом,график этого решения принято называть интегральной кривой.

Решение дифференциального уравнения называется общим, если оно содержит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения, а функции, получаемые из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных, называются частными решениями этого уравнения.

 

3.2.Дифференциальные уравнения первого порядка

 

Дифференциальное уравнение первого порядка, в котором – независимая переменная, – неизвестная функция, – производная неизвестной функции, имеет следующий общий вид

(3.1)

В том случае, когда производную удается выразить через остальные переменные, дифференциальное уравнение первого порядка приобретает вид

(3.2)

или, в случае когда , форму, содержащую дифференциалы:

(3.3)

Задачей Коши называют задачу нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию

(3.4)

где и - заданные числа, начальные значения.