Площадь поверхности цилиндра

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о площади поверхности цилиндра. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Задача.
Какой из цилиндров с обьемом 128π см³ имеет наименьшую полную поверхность?

Решение.
Формула нахождения объема цилиндра
V = πr² h

Поскольку объем цилиндра нам известен, то
πr² h = 128π
откуда
r² h = 128
h = 128 / r²

Площадь полной поверхности цилиндра равна площади его оснований и площади боковой поверхности. Таким образом, формула площади поверхности цилиндра будет выглядеть следующим образом:
S = 2πr² + 2πrh
где
πr² - площадь основания цилиндра (площадь круга)
2πr - длина окружности основания

Подставим значение высоты цилиндра в полученную формулу
S = 2πr² + 2πrh
S = 2πr² + 2πr * 128 / r²
S = 2πr² + 256π / r

Если представить полученную формулу как функцию площади заданного в задаче цилиндра, то минимальная площадь цилиндра будет достигнута в точке экстремума данной функции. Для нахождения экстремума дифференцируем полученную функцию.
f(r) = 2πr² + 256π / r
Формулы дифференцирования можно посмотреть в таблице производных. Получим:
f '(r) = 4πr - 256π / r²

Поскольку в точке экстремума производная функции равна нулю, приравняем f '(r) к нулю и решим уравнение.
4πr - 256π / r² = 0
получим
4πr (1 - 64/r) = 0
откуда
4πr = 0 или 1 - 64/r = 0

первый найденный корень уравнения r = 0 отбрасываем,
1 - 64/r = 0
r = 64

Откуда
h = 128 / r²
h = 128 / 4096
h = 0.03125 или 1/32

Ответ: минимальная площадь цилиндра будет достигнута при h = 1/32 см, r =64 см

Конус

Конус

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме.

Задача

Объем цилиндра равен 48 см³. Найти объем конуса, радиус основания которого равна радиусу основания цилиндра, а высота вдвое меньше высоты цилиндра.

Решение.
Формула объема цилиндра

V = hпr²

А формула объема вписанного конуса (V = 1/3hпr²) для "нашего" случая, учитывая, что высота конуса равна половине высоты цилиндра, будет равна:

V = 1/3 h/2 пr²

но, по условию задачи, объем цилиндра составляет 48, то есть hпr² = 48. Значит подставим в формулу объема конуса вместо hпr² известное нам значение. Получаем:

V = 1/3 * 48 / 2
V = 8 см³.

Ответ: 8 см³.

Задача

Высота конуса равна 5см, а радиус основания 12см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Решение.
Примечание. Для обозначения символа извлечения квадратного корня в данной задаче используется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках - подкоренное выражение.
Для нахождения площади поверхности конуса воспользуемся следующими формулами:

S₁ = пrl - площадь боковой поверхности конуса, где r - радиус конуса, а l - длина образующей
S₂ = пr² - площадь круга, то есть основания конуса

Таким образом, площадь поверхности конуса составит

S = S₁ + S₂

Поскольку S₁ = пrl, найдем образующую. Поскольку Высота конуса, радиус основания конуса и образующая являются сторонами прямоугольного треугольника, то

l² = h² + r²
S₁ = пr * sqrt(h² + r²)

Тогда

S₁ + S₂ = пr(h² + r²) + пr² = п * 12 * sqrt(25 + 144) + 144 * п = п * 12 * 13 + 144 * п = 156п + 144п = 300п ≈ 942,48

Ответ: 300п ≈ 942,48 см².

Площадь боковой поверхности конуса

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, конус). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме.

Задача.
Площадь основания конуса 36π см², а его образующая 10 см.
Вычислить боковую поверхность конуса.

Решение.
Зная площадь основания, найдем его радиус.
S = πR²
36π = πR²
R² = 36
R = 6

Площадь боковой поверхности конуса найдем по формуле:
S = πRl
где
R - радиус основания
l - длина образующей

откуда
S = π * 6 * 10 = 60π

Ответ: 60π см².

Объем конуса

Примечание. Это урок с решениями задач по геометрии (раздел стереометрия, конус). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме.

Задача.
В цилиндр вписаны шар и конус, причём высота цилиндра равна диаметру его основания.
Найти отношение объёма конуса к объёму шара, и к объёму цилиндра.

Решение.
Для решения задачи воспользуемся формулами нахождения объема шара, цилиндра и конуса:

Учтем, что по условию задачи высота цилиндра, а, соответственно и конуса, равны диаметру шара, что следует из построения согласно условию. То есть шар касается обеих оснований цилиндра в их центре. Из чего запишем:
h = 2R
Откуда
Vцилиндра = πR²h = πR²2R = 2πR³
Vшара = 4/3πR³
Vконуса = 1/3πR²h = 1/3πR²2R = 2/3πR³

Таким образом, соотношение объема конуса к объему шара будет равно:
Vконуса / Vшара = 2/3πR³ / 4/3πR³ = 2/3 / 4/3 = 1/2

А соотношение объема конуса к объему цилиндра будет равно:
Vконуса / Vшара = 2/3πR³ / 2πR³ = 2/3 / 2 = 1/3

Ответ: 1/2 и 1/3

Задача.
Объем конуса равен 27. На высоте конуса лежит точка и делит её в отношении 2:1 считая от вершины. Через точку проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение.
Обратим внимание, что треугольники AOB и COD - подобны. Из условия задачи определим коэффициент подобия как 2:3.

Объем конуса находится по формуле, указанной в предыдущей задаче.
Vконуса = 1/3πR²h = 27 (по условию)
Тогда объем малого конуса будет равен
Vмал.конуса = 1/3π(2/3R)²(2/3h)
то есть
Vмал.конуса = 1/3π 4/9 R² 2/3 h
Vмал.конуса = 8/27 *1/3π R² h
а так как мы знаем, что 1/3π R² h= 27 (см. выше), то

Vмал.конуса = 8/27 * 27 = 8

Ответ: объем малого конуса равен 8

Объем конуса (2)

Примечание. Это урок с решениями задач по геометрии (раздел стереометрия, конус). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме.

Задача

Образующая конуса равна 12 см. Угол между образующей и плоскостью основания равен 30 градусов. Найти объем конуса.

Решение.

Объем конуса найдем по формуле:

Поскольку образующая вместе в высотой конуса и радиусом его основания образуют прямоугольный треугольник, то необходимые размеры конуса вычислим исходя из того, что нам известен угол этого прямоугольного треугольника между основанием и образующей конуса.

h / OB = sin 30
h = OB sin 30
h = 12 sin 30
По таблице значений тригонометрических функций найдем значение синуса 30 градусов.
h = 12 * 1/2
h = 6

R / OB = cos 30
R = OB cos 30
R = 12 cos 30
По таблице значений тригонометрических функций найдем значение косинуса 30 градусов.
R = 12 √3/2
R = 6√3

Откуда объем конуса будет равен:
V = 1/3π (6√3)² * 6
V = 216π

Ответ: объем конуса равен 216π см².