Сфера (шар). Решение задач

Сфера (Шар)

Примечание. В данном уроке собраны задачи по геометрии (стереометрии) про шар. Если Вы не нашли решение задачи подходящего типа, задайте вопрос на форуме. Скорее всего она будет добавлена в один из уроков.

Задача.
Объем шара равен 288п см³. Найти диаметр шара

Решение.
Для решения задачи применим формулу объема шара

V = пd³ / 6

Таким образом

288п = пd³ / 6
пd³ = 1728п
d³ = 1728
d = 12

Ответ. 12 см

Задача.
Коническая воронка, радиус основания которой R, а высота H, наполнена водой. В воронку опущен тяжелый шар. Каким должен быть радиус шара, чтобы объем воды, вытесненный из воронки погруженной частью шара, был максимальным?

Решение.
Мысленно проведем сечение через центр конуса. Данное сечение образует равнобедренный треугольник.

Если в воронке находится шар, то максимальный размер его радиуса будет равен радиусу вписанной в получившийся равнобедренный треугольник окружности.

Радиус вписанной в треугольник окружности равен:
r = S / p, где
S - площадь треугольника
p - его полупериметр

Площадь равнобедренного треугольника равна половине высоты, умноженной на основание. Но, поскольку, основание - удвоенный радиус конуса, то
S = RH

Полупериметр равен
p = 1/2 (2R + 2m)
m - длина каждой из равных сторон равнобедренного треугольника
R - радиус окружности, составляющей основание конуса

m найдем по теореме Пифагора как m = √(H² + R²), откуда

p = 1/2 (2R + 2√(H² + R²)) = R + √(H² + R²)

Кратко это выглядит следующим образом:

Площадь сферы

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия, задачи о сфере). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".

Задача

В сферу вписан конус, образующая которого равна l, а угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов. Найдите площадь сферы.

Решение.
Площадь сферы найдем по формуле:

S = 4πr²

Поскольку в сферу вписан конус, проведем сечение через вершину конуса, которое будет равнобедренным треугольником. Поскольку угол при вершине осевого сечения равен 60 градусам, то треугольник - равносторонний (сумма углов треугольника - 180 градусов, значит остальные углы (180-60) / 2 = 60, то есть все углы равны).

Откуда радиус сферы равен радиусу окружности, описанного вокруг равностороннего треугольника. Сторона треугольника по условию равна l. То есть

R = √3/3 l

Таким образом площадь сферы

S = 4π(√3/3 l)²
S = 4/3πl²

Ответ: площадь сферы равна 4/3πl².

Задача

Емкость имеет форму полусферы (полушара). Длина окружности основания равна 46 см. На 1 квадратный метр расходуется 300 граммов краски. Сколько необходимо краски, чтобы покрасить емкость?

Решение.
Площадь поверхности фигуры будет равна половине площади сферы и площади сечения сферы.
Поскольку нам известна длина окружности основания, найдем ее радиус:
L = 2πR
Откуда
R = L / 2π
R = 46 / 2π
R = 23 / π

Откуда площадь основания равна
S = πR²
S = π (23/π) ²
S = 529 / π

Площадь сферы найдем по формуле:
S = 4πr²

Соответственно площадь полусферы
S = 4πr² / 2
S = 2π (23/π) ²
S = 1058 / π

Общая площадь поверхности фигуры равна:
529 / π + 1058 / π = 1587 / π

Теперь вычислим расход краски (учтем, что расход дан на квадратный метр, а вычисленное значение в квадратных сантиметрах, то есть в одном метре 10 000 квадратных сантиметров)
1587 / π * 300 / 10 000 = 47,61 / π граммов ≈ 15,15 г

Цилиндр

Цилиндр

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражени е.

Задача

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см и образует с плоскостью нижнего основания угол 45 градусов. Найти обьём цилиндра.

Решение.
Поскольку основание осевого сечения образует с высотой цилиндра, принадлежащей сечению, прямой угол, то треугольник, который образован диагональю осевого сечения, высотой цилиндра и его диаметром - прямоугольный.

Исходя из этого, угол между диагональю и высотой также равен 45 градусов (180 - 90 - 45).

Таким образом, треугольник является равнобедренным, а, следовательно, высота цилиндра равна его диаметру. Применив теорему Пифагора, найдем их.

d² + d² = 12²

2d² = 144
d² = 72

Теперь применим формулу объема цилиндра V = пd² / 4 h

V = 72п / 4 * sqrt(72)
V = 18п * sqrt(72)

Ответ: 18п * sqrt(72)

Задача

В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 60 градусам. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью ее основания угол в 45 градусов. Найдите объем цилиндра.

Решение.
Объем цилиндра найдем по формуле:

V = пR²h
где:
R - радиус основания прямого цилиндра,
h - высота.

Найдем основание цилиндра. 1-й способ.
Основание цилиндра одновременно является окружностью, описанной вокруг прямоугольного треугольника, являющегося основанием призмы. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника найдем по формуле:

R = a / 2 sin α
где:
a - сторона треугольника
α - угол, противолежащий стороне а.

Противолежащий угол найдем следующим образом. Поскольку треугольник прямоугольный, то противолежащий катету угол будет равен 180-90-60 = 30 градусов. Таким образом, радиус описанной окружности (он же радиус цилиндра) равен:

R = 2a / 2 sin 30 = 2a

Найдем основание цилиндра. 2-й способ
У прямоугольного треугольника гипотенуза одновременно является диаметром описанной окружности. Половина гипотенузы будет равна ее радиусу.
Таким образом найдем гипотенузу для прямоугольного треугольника, зная угол и его катет через тригонометрическую функцию:
2R = 2a / cos 60 = 2a / 0.5 = 4a
R = 2a

Найдем высоту цилиндра.
Диаметр описанной окружности образует с диагональю призмы прямоугольный треугольник, один катет которого является диаметром описанной окружности, второй - высотой цилиндра и призмы, а гипотенуза является диагональю большей стороны призмы и одновременно цилиндра.

Поскольку угол диагонали с основанием составляет 45 градусов, то второй угол равен 180 - 45 - 90 = 45 градусов.
Исходя из того, что прямоугольный треугольник равнобедренный, то высота цилиндра и призмы равна диаметру окружности. Таким образом:

V = пR²h
V = п*4a²*4a
V = п16a³.

Ответ: п16a³.

Цилиндр и его сечения

Примечание. Это урок с решениями задач по геометрии (раздел цилиндр). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".

Задача.
В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 17 см, высота цилиндра равна 15 см., а радиус основания 5 см.
На каком расстоянии от оси проведено это сечение?

Решение.
Сечение цилиндра в плоскости представляет собой прямоугольник. Таким образом, BM также представляет собой высоту цилиндра. Треугольник BMK - прямоугольный. Таким образом, можно найти длину стороны MK = BC.

BK² = BM² + MK²
MK² = BK² - BM²
MK² = 17² - 15²
MK² = 64
MK = 8

Таким образом, MK = BC = 8 см

Теперь, проведем сечение через основание цилиндра. Рассмотрим получившуюся плоскость.
(это делать совершенно необязательно, сечение основания цилиндра проведено только для простоты понимания решения задачи).

AD - диаметр цилиндра, проведенный как сечение, параллельное заданному в условии задачи. BC - прямая, принадлежащая сечению, параллельному оси цилиндра. Поэтому ABCD - трапеция. Если трапеция равнобедренная, то вокруг нее можно описать окружность. Таким образом, ABCD - равнобедренная трапеция. Найдя высоту трапеции, получим расстояние от проведенного по условию задачи сечения до оси цилиндра.

Найдем величины некоторых отрезков.
AD = 2R = 2 * 5 = 10 см
OC = OD = R = 5 см

В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований. Таким образом,

AN = DP = (10 -8) / 2 = 1 см

тогда OP = OD -DP = 5 - 1 = 4 см

Треугольник CPO - прямоугольный, так как CP - высота трапеции. Откуда

CP² + OP² = OC²
CP² = OC² - OP²
CP² = 5² - 4²
CP² = 25 - 16
CP = 3

Ответ: Проведенное сечение цилиндра находится на расстоянии 3 см от его оси.

Цилиндр и его сечения (часть 2)

Примечание. Это урок с решениями задач по геометрии (раздел цилиндр). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак "√".

Задача.
Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 4√2.
Вычислить объем цилиндра.

Решение.
Поскольку диагональ сечения цилиндра - квадрат, то обозначим его сторону как a.
a² + a² = (4√2)²
2a² = 32
a² = 16
a = 4

Объем цилиндра найдем по формуле:
V = πd² / 4 * h
откуда
V = π4² / 4 * 4
V = 16π

Ответ: Объем цилиндра равен 16π

Задача.
Куб с ребром длиной а вписан в цилиндр. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Решение.
Проведем плоскость через основание цилиндра.

Диагональ куба является одновременно диаметром цилиндра. Зная сторону куба, определяем длину диагонали AC квадрата ABCD как
CD² + AD²= AC²
a² + a² = AC²
2a² = AC
AC = a√2

Проведем плоскость через ось цилиндра по диагонали AC. Высота сечения равна длине ребра куба и по условиям задачи рана а, а ширина сечения равна a√2.
Таким образом, площадь сечения равна:

S = a * a√2 = a²√2

Ответ: a²√2

Диагональ цилиндра

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение.

Задача.
Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см, составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 градусов.

Решение.

Поскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то
CD = AC cos 30°

Пояснение. Треугольник ACD - прямоугольный. Соответственно, CD / AC = cos ∠ACD по свойству тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Значение cos 30 найдем из таблицы значений тригонометрических функций.

CD = 8 * √3/2 = 4√3

Аналогично,
AD = AC sin 30°
AD = 8 * 1/2 = 4

Откуда радиус основания цилиндра равен 4/2 = 2 см

Площадь основания цилиндра, соответственно, равна
S₁ = πR² = 4π

Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развертки - произведению длины окружности основания и высоты цилиндра. То есть:
S₂ = 2πRh = 2π * 2 * 4√3 = 16π√3

Общая площадь поверхности цилиндра равна:
S₁ + S₂ = 4π + 16π√3

Ответ: 4π + 16π√3