Угол между высотой и медианой треугольника

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о медиане треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Задача

Найдіть кут між медіаною і висотою прямокутного трикутника, які проведені з вершини прямого кута, якщо гострий кут дорівнює 20 градусів

Найдите угол между высотой и медианой прямоугольного треугольника, которые проведены из вершины прямого угла, если острый угол равен 20 градусов

.
Решение.
Сначала достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника.

Далее, учитываем следующее:

Сумма углов треугольника равна 180 градусам
Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам
Диагонали прямоугольника равны

Поскольку угол CAB = 20°, то угол ABC = 180 - 90 - 20 = 70°

Треугольник COA - равнобедренный, так как его стороны - это половины диагоналей прямоугольника. Откуда ∠OCA = ∠OAC = 20º

Поскольку треугольник BKC - прямоугольный, то угол BCK = 180 - 90 - 70 = 20°

Поскольку угол BCA - прямой, то его градусная мера равна сумме градусных мер углов BCK, KCO и OCA. Откуда:
20° + 20° + ∠KCO = 90°
∠KCO = 50°

Ответ: Угол между медианой и биссектрисой заданного прямоугольного треугольника равен 50 градусов.

Медианы прямоугольного треугольника

Задача. Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, равны, соответственно, 3 см и 4 см. Найдите гипотенузу треугольника

Решение

Обозначим длины катетов AC и BC как 2x и 2y. Тогда, по теореме Пифагора
AC² + CD² = AD²

Поскольку AC = 2x, CD = y (так как медиана делит катет на две равные части), то
4x² + y² = 9

Одновременно,
EC² + BC² = BE²

Поскольку EC = x (медиана делит катет пополам), BC = 2y, то
x² + 4y² = 16

Решим полученную систему уравнений.
Сложим оба уравнения.
5x² + 5y² = 25
5(x² + y²) = 25
x² + y² = 5

По теореме Пифагора
AC² + BC² = AB²
то есть
4x² + 4y² = AB²
4 (x² + y²) = AB²
подставим значения x² + y² = 5
AB² = 20
AB = √20 = 2√5

Ответ: длина гипотенузы равна 2√5

Подобие треугольников

В этой главе представлены решения задач по геометрии на тему "подобие треугольников".

Треугольники имеют три признака подобия.

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Комментарий. Соответственно, поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 градусам, то и про третий угол каждого из этих треугольников можно сказать то же самое.