Задача на применение теоремы Пифагора

Треугольник ABC является прямоугольным. При этом C-прямой угол. Из него проведена высота CD=6см. Разность отрезков BD-AD=5 см.

Найти: Стороны треугольника ABC.

Решение.

1. Составим систему уравнений согласно теореме Пифагора

CD²+BD²=BC²

CD²+AD²=AC²

поскольку CD=6

36+BD²=BC²

36+AD²=AC²

Поскольку BD-AD=5, то

BD = AD+5, тогда система уравнений принимает вид

36+(AD+5)²=BC²

36+AD²=AC²

Сложим первое и второе уравнение. Поскольку левая часть прибавляется к левой, а правая часть к правой - равенство не будет нарушено. Получим:

36+36+(AD+5)²+AD²=AC²+BC²

72+(AD+5)²+AD²=AC²+BC²

2. Теперь, взглянув на первоначальный чертеж треугольника, по той же самой теореме Пифагора, должно выполняться равенство:

AC²+BC²=AB²

Поскольку AB=BD+AD, уравнение примет вид:

AC²+BC²=(AD+BD)²

Поскольку BD-AD=5, то BD = AD+5, тогда

AC²+BC²=(AD+AD+5)²

3. Теперь взглянем на результаты, полученные нами при решении в первой и второй части решения. А именно:

72+(AD+5)²+AD²=AC²+BC²

AC²+BC²=(AD+AD+5)²

Они имеют общую часть AC²+BC². Таким образом, приравняем их друг к другу.

72+(AD+5)²+AD²=(AD+AD+5)²

72+AD²+10AD+25+AD²=4AD²+20AD+25

-2AD²-10AD+72=0

В полученном квадратном уравнении дискриминант равен D=676, соответственно, корни уравнения равны:

х₁=-3,5

x₂=4

Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, отбрасываем первый корень.

AD=4

Соответственно

BD = AD + 5 = 9

AB = BD + AD = 4 + 9 = 13

По теореме Пифагора находим остальные стороны треугольника:

AC = корень из (52)

BC = корень из (117).

Сумма углов треугольника

Задача.

Один из углов треугольника на 30 градусов меньше другого и в 7 раз больше третьего.найти углы треугольника

Решение.

Сумма углов треугольника равна 180 градусам.
Обозначим третий угол как х.

Тогда другой относительно него будет равен (и в семь раз больше третьего) 7х, а первый (на тридцать градусов меньше другого, значит - другой на тридцать градусов больше), соответственно, 7х + 30.
Получим уравнение:
х + 7х + (7х + 30) = 180
15х + 30 = 180
15х = 150
х=10

Находим остальные углы. 7х = 70, а 7х+30 = 100

Ответ: 10, 70, 100

Задача.
Из вершины прямого угла треугольника АВС проведена высота CD. Найти величину угла BCD если угол А равен 65 градусам.

Решение.
Исходя из того, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, построим следующие рассуждения:
Величины углов ∠A + ∠B + ∠C = 180°
Так как угол С - прямой, то
65 + ∠B + 90 = 180
B = 25°

Теперь, поскольку CD - высота, то треугольник BCD - прямоугольный, откуда
∠CBD + ∠CDB + ∠BCD = 180°
25 + 90 + ∠BCD =180°
∠BCD =65°

Ответ: 65 градусов

Площадь треугольника

Примечание. Это урок с задачами по геометрии на нахождение площади треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Иногда для простых подкоренных выражений может использоваться символ √

Ниже приведены формулы нахождения площади произвольного треугольника. Если же треугольник обладает особыми свойствами, обратитесь также к специальным формулам - см. например "Формулы площади равнобедренного треугольника".

Площадь треугольника можно найти по следующим формулам:

Пояснения к формулам:
a, b, c - длины сторон треугольника, площадь которого мы хотим найти
r - радиус вписанной окружности
R - радиус описанной окружности
h - высота треугольника, опущенная на сторону
p - полупериметр треугольника, 1/2 суммы его сторон

Например, формула 1 говорит, что площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на длину стороны на которую эта высота опущена

Формула 2 говорит о том, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (см. пример решения ниже).

См. также площадь равнобедренного треугольника.

Задача

Стороны треугольника равны 5 и 6 см. Угол между ними составляет 60 градусов. Найдите площадь треугольника.

Решение.

Площадь трегольника равна S=1/2 ab sin C
Соответственно S=1/2 *5*6*sin60
S=15√3 / 2

Примечание- sqrt используется вместо знака квадратного корня.

Ответ: 7,5 √3

Задача

Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 3см.

Решение.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Поскольку a = b = c формула площади равностороннего треугольника примет вид:

S = √3 / 4 * a²

S = √3 / 4 * 3²

S = 9 √3 / 4

Ответ: 9 √3 / 4.

Задача

Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если стороны увеличить в 4 раза?

Решение.

Используем формулу Герона.

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Если стороны увеличены в 4 раза, то

S₂ = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))

Как видно, 4 - общий множитель, который можно вынести за скобки из всех четырех выражений. Тогда

S₂ = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S₂ = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S₂ = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Теперь, определим соотношения площадей

S₂ / S = 16

Ответ: Площадь треугольника увеличится в 16 раз

Биссектриса

Задача.

Биссектриса угла A треугольника ABC делит сторону BC на отрезки BK = 8 см и KC = 18 см. Определите длину стороны AC, если длина стороны AB = 12 см.

Решение.

Для решения задачи потребуется знание следующей теоремы:

Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника.

Для условий данной задачи это означает:

BK/KC = AB/AC

8/18=12/x

x=27 см

Задача.

Найти отрезки, на которые биссектриса AD треугольника ABC делит сторону BC, если AB=6 BC=7 AC=8.

Решение.

Для решения задачи потребуется знание следующей теоремы:

Для условий данной задачи это означает:

BD/DC = AB/AC

BD/DC = 6/8

Обозначим BD = x, тогда DC = 7 - x

x / (7 - x) = 6/8

8x = 42 - 6x

14x = 42

x =3

Тогда DC = 4

Ответ: BD = 3, DC = 4 см