Параллельные прямые. Пропорциональные отрезки

Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках.

Подобие треугольников.

Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ.

 

ТЕОРЕМА. Если при пересечении двух прямых третьей прямой какие-либо соответственные углы равны, или накрест лежащие углы равны, или сумма каких-нибудь внутренних или внешних односторонних углов равна 180°, то такие прямые параллельны.

ТЕОРЕМА. Два перпендикуляра к одной прямой параллельны.

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ

 

ТЕОРЕМА. Если две параллельные прямые пересечены третьей, то соответственные углы равны.

ТЕОРЕМА. Если две параллельные прямые пересечены третьей, то накрест лежащие углы равны.

ТЕОРЕМА. Если две параллельные прямые пересечены третьей, то сумма односторонних углов равна 180°.

ТЕОРЕМА. Перпендикуляр к одной из параллельных прямых является и перпендикуляром к другой.

ТЕОРЕМА. Две прямые параллельные третьей параллельны.

ТЕОРЕМА ФАЛЛЕСА. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые до пересечения с другой стороной угла, то на этой стороне отложатся равные между собой отрезки.

 

ТЕОРЕМА. Прямая, проведенная в треугольнике через середину стороны параллельно основанию, делит третью сторону пополам.

ТЕОРЕМА. Стороны угла, пересекаемые рядом параллельных прямых, рассекаются ими на пропорциональные части.

 

 

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ И МНОГОУГОЛЬНИКИ

Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин при данном выборе единицы измерения; т. е. это - число

Отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁, если .

Пусть в треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы соответственно равны: А= А₁, В=В₁, С =С₁. В этом случае стороны АВ и А₁В_1, ВС и В₁С₁, СА и С₁А₁ называются сходственными.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

А= А₁, В=В₁, С =С₁

 

Обозначение. АВС~А₁В₁С₁. Число k в этом случае называется коэффициентом подобия треугольников.

Из определения подобных треугольников непосредственно вытекает, что если два треугольника равны, то они подобны; если один треугольник подобен другому, то и второй треугольник подобен первому; если первый треугольник подобен второму, а второй третьему, то первый треугольник подобен третьему треугольнику.

 

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

 

ТЕОРЕМА. Прямая, проведенная в треугольнике параллельно одной из его сторон, отсекает от него треугольник, подобный данному.

 

 

ПРИЗНАК №1. Если две угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

ПРИЗНАК №2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

 

ПРИЗНАК №3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

 

ТЕОРЕМА. Площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

ТЕОРЕМА. Периметры подобных треугольников относятся как сходственные стороны.

ТЕОРЕМА. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам, сходственным биссектрисам и сходственным медианам.

 

ТЕОРЕМА. В остроугольном треугольнике прямая, соединяющая основания двух высот треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

 

 

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

 

ТЕОРЕМА. Прямоугольные треугольники подобны, если имеют по равному острому углу.

ТЕОРЕМА. Прямоугольные треугольники подобны, если катеты одного из них пропорциональны катетам другого.

ТЕОРЕМА. Прямоугольные треугольники подобны, если гипотенуза и катет одного из них пропорциональны гипотенузе и катету другого.

ПОДОБИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Одноимёнными называются многоугольники, имеющие одинаковое число сторон (углов).

Два одноимённых многоугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого, а сходственные стороны многоугольников пропорциональны.

Сходственными называются стороны подобных многоугольников, соединяющие вершины соответственно равных углов

ТЕОРЕМА. Периметры подобных многоугольников относятся как сходственные стороны.

ТЕОРЕМА. Площади подобных многоугольников относятся как квадраты соответствующих сторон.

 

СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ ВНУТРЕННЕГО УГЛА ТРЕУГОЛЬНИКА И МЕДИАНЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

 

ТЕОРЕМА. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

ТЕОРЕМА. В треугольнике угол между биссектрисами двух углов равен половине третьего угла треугольника плюс 90°.

ТЕОРЕМА. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

ТЕОРЕМА. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади.

ТЕОРЕМА. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит его на два треугольника, площади которых пропорциональны сторонам, из которого проведена данная биссектриса.

Задания с решением

1. Отрезки АВ, СD, MN пропорциональны отрезкам А₁В₁, С₁D₁ и M₁N₁. Найдите С₁D₁ и MN, если АВ = 5 см, А₁В₁ = 20 с м, СD = 6 см, M₁N₁ = 8 см.

Решение:

По определению пропорциональных отрезков имеем:

Тогда , то есть:

и Откуда получаем и MN =2

Ответ: 24 и 2

2. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Решение:

Пусть DC =4, AB =10. Так как EF средняя линия, то EF ||AB и EF ||DС. Тогда К – середина DB и EK –средняя линия треугольника АDС, а KF - средняя линия треугольника BCD. По свойству средней линии EK =5, а KF =2.

Ответ: 5

3. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.

Решение:

По условию Складывая почленно уравнения, получаем Тогда

4. Площадь треугольника ABC равна 4. DE – средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Решение:

 

DE – средняя линия, следовательно DE||AB. Тогда треугольники ABC и CDE подобны и их площади относятся как квадраты сходственных сторон.

Тогда

Ответ: 1

5. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите основания трапеции.

Решение:

Обозначим через х и у основания трапеции (х<у).Тогда

x + y = 20.

Если h — высота трапеции, то высота каждой из двух трапеций, на которые средняя линия разбивает данную трапецию, равна .

Поэтому, применяя формулу для площади трапеции и учитывая, что средняя линия равна 10, получаем : =3: 5, откуда после упрощения получим

Из системы находим, что x = 5 и y = 15.

Ответ: 5 и 15

6. Точки M и N расположены соответственно на диагоналях BD и AC трапеции ABCD, причём BM: MD = CN: NA = 1: 8. Найдите MN, если известно, что основания AD и BC трапеции равны 8 и 19 соответственно.

Решение:

 

Проведём через точку N прямую, параллельную основаниям. Пусть E и M ₁ — её точки пересечения со стороной AB и диагональю BD соответственно. Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что AE: BE = AN: NC = 8: 1, DM ₁: M ₁ B = AE: BE = 8: 1 = DM: MB. Поэтому точка M ₁ совпадает с точкой M.

Следовательно, MN || AD. Из условия задачи получаем, что ВМ=х, МD= 8 х, ВD= 9 х и СN=х, АN= 8 у, АС= 9 у

Из подобия треугольников ANE и ACB находим, что , откуда

а из подобия треугольников BEM и BAD — , откуда

Следовательно,

Ответ: 5

7. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD расположены точки N и M соответственно, причём AN: NB = 3: 2, BM: MC = 2: 5. Прямые AM и DN пересекаются в точке O. Найдите отношения OM: OA и ON: OD.

Решение:

Продолжим DN до пересечения с прямой BC в точке T. Положим BM = 2 a, CM = 5 a. Из подобия треугольников TNB и DNA (коэффициент ) находим, что

а из подобия треугольников TOM и DOA —

Аналогично находим, что .

Ответ 20:21; 6:35

8. Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника.

Решение:

Площади подобных многоугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, а периметры подобных многоугольников относятся как сходственные стороны. Следовательно, площади многоугольников ABCDE и относятся как квадраты их периметров, то есть : 18 = 25: 9. отсюда получаем

Ответ: 50