Однополостной и двуполостной гиперболоиды

Определение. Однополостным и двуполостным гиперболоидами называются поверхности, имеющие канонические уравнения соответственно вида

F₁: + – = 1 (6) F₂: + – = –1. (7)

Исследуем их форму методом параллельных сечений. В сечениях плоскостями z = h получаем соответственно кривые

+ = 1+ + = –1+ (*)

Обозначим соответственно

a ¢² = a ²(1+) , b ¢² = b ²(1+); a ¢²= a ²½ –1+ ½, b ¢²= b ²½ –1+ ½,

h ¹ ± c

при любом h получаем эллипсы при ½ h ½> c получаем эллипсы

+ = 1

полуоси которых a ¢ и b ¢ неограни- полуоси которых a ¢ и b ¢ неогченно возрастают при возрас- раниченно возрастают при воз-

тании ½ h ½, и достигают минимумов растаснии ½ h ½; при ½ h ½< c

a и b при h = 0. получаем мнимые эллипсы

+ = –1 (Æ), а при h = ± c

(*) превращается в + = 0,

а это уравнение задает одну из

точек C ₁(0, 0, c) или C ₂(0, 0,– c).

В сечениях плоскостями y = h получаем соответственно кривые

– = 1– (**) – = –1–

Обозначим соответственно

a ¢² = a ²½ 1– ½ , c ¢² = c ²½ 1– ½ a ¢² = a ²(1+) , c ¢² = c ²(1+).

и при h ¹ ± b получаем гиперболы, и при любом h получаем гиперболы

+ = ±1, – + = 1.

а при h = ± b (**) превращается в

уравнение – = 0, которое задает

пару пересекающихся прямых.

Аналогично, в сечениях F₂ плоскостями y = h получаем только гиперболы, а в сечениях F₁ – гиперболы или пары прямых при h = ± a.

Прочие геометрические свойства гиперболоидов.

1. Из уравнения (7) получаем, что ½ z ½³ c, т.е. в пространственном слое z < c нет точек F_2. Координатные оси Ox и Oy пересекают F₁ в точках A ₁(a, 0, 0), A ₂(– a, 0, 0), B ₁(0,– b, 0), B ₂(0, b, 0), которые называются его вершинами. Ось Oz его не пересекает. Зато ось Oz пересекает F₂ в точках C ₁(0, 0, c), C ₂(0, 0,– c), которые называются его вершинами. Оси Ox и Oy не пересекают F₂.

2. Точно так же, как и для эллипсоида доказывается, что координатные оси являются осями симметрии гиперболоидов, координатные плоскости – плоскостями симметрии, а точка O – центром симметрии.

3. При a = b гиперболоиды будут поверхностями вращения, а при a = c гиперболы в сечениях плоскостями y = h будут равнобокими. При b = c равнобокими будут гиперболы в сечениях плоскостями x = h.

4. Пусть F_o – конус, заданный уравнением

F_o: + – = 0.

Пусть M _o(x, y, z _o)Î F_o, M ₁(x, y, z ₁)Î F₁, M ₂(x, y, z ₂)Î F₂ – три точки с одинаковыми координатами x и y, лежащие на конусе и на гиперболоидах. Тогда

z _o²= c ²( + ), z ₁²= c ²( + –1), z ₂²= c ²( + +1) Þ

½ z ₁²½ <½ z _o²½ <½ z ₂²½, а значит, F₁ лежит снаружи конуса F_o, а F₂ – внутри. Кроме того, из тех же равенств следует z _o²– z ₁²= z ₂²– z _o² = c ² Þ

M _o M ₁=½ z _o– z ₁½ = ® 0 и M ₂ M _o=½ z ₂– z _o½ = ® 0,

когда точки M _o, M ₁, M ₂ уходят на бесконечность (необходимо при этом заметить, что z _o, z ₁ и z ₂ все стремятся к бесконечности при x ® ¥ или y ® ¥). Значит, оба гиперболоида асимптотически приближаются к конусу.

 

 

5. Мы уже видели, что в сечениях F₁ плоскостями может получаться пара прямых. Примем без доказательства, что F₁ является линейчатой поверхностью и через каждую его точку проходит пара прямых, лежащая на поверхности.