Конические сечения. Парабола

Определение. Коническим сечением (КС) называется кривая, по которой коническую поверхность пересекает плоскость, не проходящая через вершину этой поверхности.

В следующей главе мы изучим, что коническая поверхность выглядит именно так, как это изображено на рисунке, и убедимся, коническими

сечениями могут быть эллипс, гипербола и парабола. Причем, парабола получается тогда и только тогда, когда секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса.

Следующие две теоремы примем без доказательства.

Теорема 1. Для всякого КС g, кроме окружности существуют точка F, называемая фокусом, и прямая d, называемая директрисой, такие что отношение расстояний от произвольной точки M Îg до F и от M до d есть величина постоянная (т.е. независящая от выбора точки M Îg).

Эта величина e =½ MF ½/½ MM ¢½ называется эксцентриситетом конического сечения. Чем меньше e, тем ближе кривая расположена к фокусу. При 0<e<1 кривая замкнута и представляет собой эллипс. Чем ближе e к единице, тем более эллипс вытянут. При e=1 он, как бы, достигает бесконечной длины, и происходит его разрыв: эллипс превращается в параболу.

Чем больше e, тем ближе кривая расположена к директрисе. При 1<e<¥ получается гипербола.

Очевидно, что эксцентриситет и расстояние ½ FF ¢½ от фокуса до директрисы однозначно определяют КС. Действительно, если два КС имеют одинаковое расстояние от фокуса до директрисы, то мы можем движением совместить их фокусы и директрисы. А если у них еще одинаковое e , то и сами КС совместятся. Если же два КС имеют одинаковое e, но разное

расстояние от F до d, то они подобны. В частности, все параболы подобны друг другу.

Теорема 2. Эксцентриситет эллипса или гиперболы, заданных своими каноническими уравнениями (2) или (4), равен c/a, фокусы имеют координаты F ₁(c, 0), F ₂(– c, 0), а директрисы задаются уравнениями

d₁: x =, d₂: x =

(напомним, что c ² = a ² – b ² для эллипса, и c ² = a ² + b ² для гиперболы).

Из этой теоремы следует, что фокусы эллипса или гиперболы, которые мы определили в

§1 и в §2, совпадают с фокусами, определенными в этом параграфе. Кроме того, эллипс и гипербола имеют две пары фокус-директриса, и определить фигуру можно с помощью любой из пар.

Определение. Параболой называется КС, эксцентриситет которого равен единице.

Составим уравнение пара-болы в декартовой СК. Пусть p =½ FF ¢½ – расстояние от фокуса до директрисы. Начало координат поместим в середину отрезка FF ¢ и направим Ox ­­. Тогда ось Oy определится однозначно. Фокус будет иметь координаты F (p/ 2, 0), а директриса – уравнение d: x = – p/ 2.

Пусть M (x, y) – произвольная точка параболы. Тогда

½ MF ½ =, ½ MM ¢½ = x +.

Согласно определению½ MF ½ ² =½ MM ¢½ ² Û ²+ y ² =² Û

y ² = 2 px. (6)

Обратно, если координаты точки M (x, y) удовлетворяют (6), то

½ MF ½ ² = ²+ y ² = x ² – px + +2 px = x ² + px + = ²=½ MM ¢½ ²

Уравнение (6) называется каноническим уравнением параболы.

Геометрические свойства параболы.

1. Все точки параболы принадлежат полуплоскости x ³ 0.

2. Если M (x, y)Î g, т.е. пара (x, y) удовлетворяет (6), то этому уравнению удовлетворяет также и пара (x,– y), которая задает точку симметричную M относительно оси Ox. Поэтому Ox является осью симметрии параболы. Других симметрий у параболы нет.

3. Координатные оси пересекают параболу только в точке O, которая называется вершиной параболы.

Любая другая прямая, проходящая через вершину, пересекает параболу еще в одной точке.

Действительно, любую прямую l, проходящую через O, кроме оси Oy можно задать уравнением y = kx. Для того, чтобы найти ее общие точки с параболой g решаем систему уравнений

y ² = 2 px, k ² x ² – 2 px = 0, x (k ² x – 2 p) = 0,

y = kx. y = kx. y = kx.

При k ¹ 0 получаем два решения – (0, 0) и ², а при k = 0 – только одно – (0, 0). Значение k = 0 соответствует оси Ox.

Аналогично, можно доказать, что любая прямая, параллельная оси параболы пересекает ее в одной точке, а любая другая прямая, проходящая через эту точку, кроме касательной, обязательно пересечет параболу еще в одной точке.

Отметим еще ряд интересных оптических свойств конических сечений.

Луч света, исходящий из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса, проходит через второй его фокус. Математически это означает, что " M Îg, отрезки MF ₁ и MF ₂ образуют с касательной к эллипсу в точке M равные углы. Луч света, исходящий из одного фокуса гиперболы, после отражения от гиперболы, кажется исходящим из второго фокуса.

 

 

 

Луч света, исходящий из фокуса параболы, после отражения от параболы, движется параллельно ее оси. И, наоборот, лучи, приходящие из бесконечности параллельно оси параболы, концентрируются в фокусе. На этом свойстве параболы и основано действие параболических рефлекторов, параболических антенн и радаров.