Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

На рисунке углы 1 и 3, а также углы 2 и 4 - вертикальные. Угол 2 является смежным как с углом 1, так и с углом 3. По свойству смежных углов 1 + 2 =180⁰ и 3 + 2 =180⁰. Отсюда получаем: 1=180⁰-2, 3=180⁰-2. Таким образом, градусные меры углов 1 и 3 равны. Отсюда следует, что и сами углы равны. Итак, вертикальные углы равны.

 

2.Признаки равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3.Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

1 признак равенства треугольников:

Рассмотрим треугольники АВС и А₁В₁С₁, у которых АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁, углы А и А₁ равны. Докажем, что АВС=А₁В₁С₁.
Так как (у)А=(у)А₁, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А₁В₁С₁ так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁ и А₁С₁. Поскольку АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁, то сторона АВ совместится со стороной А₁В₁, а сторона АС - со стороной А₁С₁; в частности, совместятся точки В и В₁, С и С₁. Следовательно, совместятся стороны ВС и В₁С₁. Итак, треугольники АВС и А₁В₁С₁ полностью совместятся, значит они равны. ЧТД

3.Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Обратимся к рисунку, на котором АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, АD — его биссектриса.

Из равенства треугольников АВD и АСD (по 2 признаку равенства треугольников: AD – общая; углы 1 и 2 равны т.к. AD-биссектриса; AB=AC, т.к. треугольник равнобедренный) следует, что ВD = DC и 3 = 4. Равенство ВD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС и поэтому АD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок АО является также высотой треугольника АВС. ЧТД.

 

4. Если прямые параллельны -> угол…. (на выбор)

 

5. Если угол…..-> прямые параллельны (на выбор)

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Пусть при пересечении прямых а и б секущей с соответственные углы равны, например 1=2.

Так как углы 2 и 3 – вертикальные, то 2=3. Из этих двух равенств следует, что 1=3. Но углы 1 и 3 – накрест лежащие, поэтому прямые а и б параллельные. ЧТД.

 

 

6. Теорема о сумме углов треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180⁰.

Рассмотрим произвольные треугольник АВС и докажем, что А+В+С=180⁰.

Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС. Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами про пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 – накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому (1)4=1; 5=3.

Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развёрнутому углу с вершиной В, т.е. 4+2+5=180⁰. Отсюда, учитывая равенства (1), получаем: 1+2+3=180⁰ или А+В+С=180⁰.ЧТД.

 

7.Признак равенства прямоугольных треугольников.