Тема 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: .

Теорема о производной сложной функции. Если функция u = φ(x) имеет производную в точке x, а функция y = f (u) имеет производную в соответствующей точке u = φ(x), то сложная функция y = f (φ(x)) имеет производную в точке x, которая находится по формуле: .

Теорема (правила Лопиталя). Если функции f (x) и g (x) дифференцируемы вблизи точки а, непрерывны в точке а, g ¢(x) отлична от нуля вблизи а и f (a) = g (a) = 0 (или ), то предел отношения функций при х ® а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует:

.

Теорема (достаточные условия возрастания и убывания функции).

1. Если функция f (x) дифференцируема на интервале (a, b) и f ¢(x) > 0 для любого x (a, b), то функция возрастает на интервале (a, b).

2. Если функция f (x) дифференцируема на интервале (a, b) и f ¢(x) < 0 для любого x (a, b), то функция убывает на интервале (a, b).

Точка называется точкой максимума функции y = f (x), если существует такая δ - окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f (x) < f ().

Точка называется точкой минимума функции y = f (x), если существует такая δ - окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f (x) > f ().

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции.

Значение функции в точке максимума называется максимумом функции.

Значение функции в точке минимума называется минимумом функции.

Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие существования экстремума).

Если функция f (x) дифференцируема в точке и точка является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Теорема (достаточные условия существования экстремума).

1. Пусть функция f (x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки ). Если при переходе через точку слева направо производная функции f ¢(x) меняет знак с плюса на минус, то в точке функция f (x) имеет максимум, а если производная меняет знак с минуса на плюс, то в точке функция f (x) имеет минимум.

2. Пусть в точке f ¢() = 0 и f ¢¢() существует и непрерывна в некоторой окрестности точки . Тогда, если f ¢¢() < 0, то функция имеет в точке максимум, а если f ¢¢() > 0, то функция имеет в точке минимум.

График дифференцируемой функции y = f (x) называется выпуклым на интервале (a, b), если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

График дифференцируемой функции y = f (x) называется вогнутым на интервале (a, b), если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале.

Теорема (достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции). Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f (x) отрицательна, то график функции y = f (x) выпукл. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f (x) положительна, то график функции y = f (x) вогнут.

Точка, отделяющая выпуклую часть графика функции от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная f ¢¢(x) при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика функции с абсциссой является точкой перегиба.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой сколь угодно близко приближается график функции.

Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f (x), если или или .

Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x), если или .

Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y=f (x), если:

() и

b = (b = .