Дифференциал функции двух переменных

Понятие функции двух переменных, а также понятия ее предела и непрерывности устанавливаются аналогично тому, как это делается для функции одного переменного. Частные производные функции z=f(x, у) определяются равенствами

где?хz и?уz - частные приращения функции, получаемые ею, когда изменяется лишь один из аргументов. Частные производные по каждому переменному отыскиваются по правилам, известным для функции одного аргумента, поскольку другой аргумент остается постоянным. Частные дифференциалы выражаются формулами

Полное приращение функции: дельта z=f(x+ дельта x; y+ дельта y)-f(x, y). Пусть в окрестности фиксированной точки (х, у) при переходе от нее к любой другой точке (x+ дельта x; y+ дельта y) полное приращение дельта z функции z=f(x, у) можно представить в виде где А и В - постоянные (соответствующие фиксированной точке), а, α, β - бесконечно малые при дельта х, дельта y→0; тогда величина А дельта х+В дельта у называется полным дифференциалом функции z в точке (х, у) и обозначается через dz. Полный дифференциал функции z есть часть ее полного приращения дельта z, линейная относительно приращений дельта х, дельта у независимых переменных. При малых дельта х, дельта у верно приближенное равенство dz≈ дельта z.

Из существования полного дифференциала следует существование частных производных, причем поэтому

Достаточное условие существования полного дифференциала dz в точке (х, у): функция г имеет в окрестности точки (х, у) частные производные ∂z/∂х, ∂z/∂y, непрерывные в самой точке (х, у). Функция, имеющая в данной точке полный дифференциал, называется дифференцируемой в этой точке.

Производные высших, порядков определяются так же, как для функции одного переменного. Производных второго порядка имеется четыре:

Производная сложной функции.

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде

где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f.

Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна

Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга.