Инегрирование рациональных дробей

Если P(z) и Q(z) – многочлены в комплексной области, то P(z)/Q(z) - рациональная дробь. Она называется правильной, если степень P(z) меньше степени Q(z), и неправильной, если степень Р не меньше степени Q.

Любую неправильную дробь можно представить в виде:

P(z)/Q(z) = S(z) + R(z)/Q(z), где P(z) = Q(z) S(z) + R(z),a R(z) – многочлен, степень которого меньше степени Q(z).

Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как R(z)/Q(z) является правильной дробью.

Определение. Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов: 1) A/x-a, 2) A/(x-a)^n,

3) Ax+B/x^2 +px + q, 4) Ax+B/(x^2 +px + q)^n

Выясним, каким образом они интегрируются.

и

Теорема. Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей.

Следствие. Если P(z)/Q(z) - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена Q(z) будут только простые действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го типа:

Интегрирование некоторых тригонометрических функций и некоторых иррациональностей.

Интегралы вида ∫sin^m x ⋅ cos^n xdx.

а). Если хотя бы одно из чисел m или n – нечетное положительное чис-

ло, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с

помощью формулы sin^2 x + cos^2 x = 1 оставшуюся четную степень через

дополнительную функцию, переходим к табличному интегралу.

б). Если m и n – четные неотрицательные числа, то степени понижаются с помощью тригонометрических формул:

cos^2 x = 1+cos2x/2, sin^2 x = 1-cos2x/2, sinx cosx = ½* sin2x

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

 

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Понятие определенного интеграла.

Задача о площади криволинейной трапеции.

О: Под криволинейной трапецией пониматся фигура D, которая имеет границу в данном случаеявляется f(x) является непрерывной. Вычислим площадь криволинейной трапеции. Для этого следует разделить отрезок [a,b] с помощью точек на n элементарных отрезков Отметим определим случайные точкии отобразим ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников с высотами и основаниями . Площадь ступенчатой фигурыи определяет приблизительное значение площади криволинейной трапеции. В качестве точного значения площади запишем