Пример логико-дидактического анализа

Тема «Неравенства» (8 кл.)

1. Обучение теме нужно начинать с создания положительных мотивов ее изучения. Широким познавательным мотивом в данном случае могут выступать свойства числовых неравенств, методы решения линейных неравенств с одной переменной и их систем. Учебно-познавательным мотивом может быть интерес к анализу доказываемых неравенств, получению выводов. Примером мотивации может служить разбор «доказательства» софизма «Положительное число меньше нуля».

Пусть а и b — произвольные положительные числа, удовлетворяющие неравенству

а>b. (1) Умножим (1) на b - а:

a(b-a)>(b - a)b, ab-a²>b²-ab

0>а²-2ab-b²,

0>(а-b)². (2)

Однако (a - b)², где а b, есть число положительное, так как квадрат числа, отличного от 0, положителен.

Соотношение (2) позволяет утверждать, что положительное число меньше 0.

Или другой пример мотивации:

Какое из выражений принимает большее значение при всех значениях переменной:

6m (m — 2) + 4 (m + 3) или (3m + 2) (2m — 4)?

Как сравнить два выражения? Укажите основные операции сравнения.

Третий пример: Укажите значения площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его линейные измерения найдены в границах

1,5 а 1,6; 2,3 b 2,4; 4,1 с 4,2.

В технике используются понятие «допуски», допускаемые отклонения числовой характеристики каких-либо параметров (например, в деталях машин и механизмов) от их расчетного значения в соответствии с заданным классом точности. Допуски широко используются в машиностроении, строительстве и многих других областях. Вычисление допусков требует знания действий с числовыми неравенствами, которые выполняются на основании свойств числовых неравенств.

Кроме указанных познавательных мотивов, очень важны для учащихся этого возраста узкие социальные мотивы, в частности, может быть использован мотив овладения способом налаживания сотрудничества в учебном труде.

2. Известно, что неравенства, как условные, так и безусловные, широко используются в трудовой деятельности человека, а также в самой математике. Исходя из этого, перед учащимися ставится учебная задача: сформировать общие и специфические учебные действия доказательства безусловных неравенств, решения линейных неравенств и их систем для получения общего способа выяснения интервалов знакопостоянства, возрастания и убывания изучаемых функций.

Эту задачу можно считать решенной, если будут решены такие учебные подзадачи:

— выяснить способ доказательства безусловных неравенств, выделив специфические учебные действия;

— раскрыть характеристики оценки результатов действий над переменными, значения которых находятся в заданных границах;

— определить компоненты учебного действия «перевод задания числового промежутка с одного «языка» на другой»;

— раскрыть алгоритм решения линейного неравенства с одной переменной;

— выявить алгоритм решения системы линейных неравенств с одной переменной;

3. Решение названных подзадач будет осуществляться в ходе выполнения учащимися соответствующих учебных действий, общих и специфических.

Такими специфическими действиями, характерными для сформулированных задач, будут:

— составление разности выражений, стоящих в левой и правой частях неравенств;

— выполнение тождественных преобразований;

— установление знака разности выражений;

— подведение под понятия «больше», «меньше»;

— изображение промежутка, заданного его концами, на координатной прямой и запись промежутка на «языке» неравенств;

— алгоритм решения линейного неравенства с одной переменной;

— алгоритм решения системы линейных неравенств с одной переменной;

— определение границ выражения, если переменные заданы своими границами.

Операционный состав этого действия может быть фиксирован в такой последовательности:

а) установить границы каждой переменной, входящей в выражение;

б) выяснить, с помощью каких действий над переменными и числами получено выражение;

в) определить порядок действий;

г) вычислить последовательно границы результата каждого действия, используя свойства неравенств;

д) записать, в каких границах находится данное выражение;

— установление характера изменения функции при заданных значениях аргумента.

Здесь отмечены только специфические учебные действия, однако при решении подзадач будут использоваться и такие учебно-познавательные действия, как, например, распознавание, выведение следствий, сравнение и сопоставление, конкретизация общего способа решения для данной задачи и др.

4. Логический анализ темы «Неравенства» дает основание сделать вывод, что тема организована дедуктивно-индуктивно, так как дано определение понятий «больше», «меньше»; свойства числовых неравенств сформулированы в виде теорем, которые доказаны; сформулированные теоремы равносильности (названные свойствами) не доказываются. Алгоритмы доказательства безусловных неравенств, решения линейных неравенств с одной переменной и решения систем линейных неравенств введены индуктивно на конкретных примерах, анализ решения которых и позволяет учителю, сделав обобщение, сформулировать алгоритмы. Структура вводимых определений (решения неравенств, равносильных неравенств, решения системы неравенств) одинакова, а, следовательно, их изучение может осуществляться по одному плану, т. е. на уровне теоретического обобщения). Теоремы о свойствах неравенств имеют одну и ту же структуру: А /\ В => С, а это позволяет осуществить перенос знаний, так как с теоремами такой структуры учащиеся работали уже в предыдущем классе.

Вводятся понятия нестрогого и строгого неравенств, линейного неравенства, системы неравенств.

5. «Ядерным» материалом темы являются:

— понятия «больше», «меньше», неравенства, решения неравенства, решения системы неравенств, равносильных неравенств;

— свойства числовых неравенств, равносильных неравенств;

— операции над числовыми неравенствами;

— алгоритмы решения неравенств с одной переменной и решения системы неравенств;

- прием доказательства безусловных неравенств

Изложение материала опирается на алгебраические операции, тождественные преобразования, понятие координатной прямой, законы арифметических действий.

При доказательстве свойств числовых неравенств используются логические правила вывода, определения «больше», «меньше».

При изучении темы могут быть выбраны информационно-словесный, репродуктивный методы, а в некоторых случаях — метод проблемного изложения (например, решения системы неравенств с одной переменной).

6. К средствам обучения математике можно отнести все, что будет способствовать реализации целей обучения данной теме, в первую очередь серии задач (вопросов). (Здесь задачи могут выступать и как средство обучения, и как цель изучения.) Так, учебная подзадача «Выяснить способ доказательства безусловных неравенств, выделив специфические учебные действия» может быть решена обобщением решения типичной конкретно-практической задачи. Учащимся предлагается типичная задача:

«Докажите неравенство а²+ (а — З)² > За (а — 2) —2а²».

Учащиеся знают, что сравнить выражения возможно, составив разность и определив знак этой разности, что для этого следует упростить полученную разность, выполнив тождественные преобразования.

В данном случае разность тождественно равна выражению а² + 9, значение которого при всех значениях а положительно. Значит, при любых значениях а верно данное неравенство, т. е. а²+ (а — 3)² > 3а (а — 2) —2а²

Анализ решения задач дает возможность установить операции и их последовательность.

Решение одной задачи не позволяет говорить о сформированности умения доказывать неравенства; поэтому учащимся предлагается серия задач, которая может быть, например, такой;

а) (3+b)(2-b)+(a²-b) 2a(a-b);

б) (6а-1)(a+2)<(3a+4)(2a+1);

в) а² +b²+2 2(a+b);

г) (х+1)²<4x.

Предложенный набор задач охватывает все возможные случаи, а следовательно, можно утверждать, что позволяет сформировать учебное действие «доказывать неравенства».

При решении учебных подзадач «Определить компоненты учебного действия «перевод задания числового промежутка с одного языка на другой» и «Выявить алгоритм решения системы линейных неравенств с одной переменной» может быть использована интерактивная доска.

7. При изучении темы «Неравенства» можно использовать различные приемы организации учебной деятельности учащихся. Укажем некоторые из них.

Прием заполнения пустых мест таблицы

№ п/п

Неравенство

Изображение решения на координатной прямой

Запись решения

1. 2. 3. 4. 5. 6.

3<x<6 -2

4 7<x

10 … x <5 -4<x…3

(3; 6) …; 10 ] [-3; … [4;

)

2) Сравнение решения задачи с помощью алгоритма и без него. Этот прием дает возможность воспитывать творческий подход, показывать важность анализа условия задачи. Например, доказать неравенство .

Решение

или

3) Прием составления серии задач с нарастающей сложностью преобразований. Этот прием может быть использован при формировании умения решать линейные неравенства.

Например, можно предложить учащимся такую серию задач:

4)Прием поиска ошибки в данном «решении» позволяет воспитывать критичность мышления, более глубоко осознавать теоретический материал.

Например, найти ошибку в «решении» и сформулировать правила или свойства неравенств, на которые допущены ошибки;

5) Прием, который позволяет сформировать потребность самоконтроля, объяснить, почему данные решения неверны. Например:

а) .

б) в) .

Решения отвергаются обоснованно, учащиеся должны аргументировать свои ответы.

6)Могут быть использованы задания с выборочными ответами, а также прием работы с книгой, прием построения алгоритма решения определенного класса задач. В нашем случае это алгоритмы решения неравенств и системы неравенств с одной переменной.

Остановимся на приеме построения алгоритма как результата теоретического обобщения решения задач. Здесь эффективно может быть использована групповая форма работы на первом этапе построения алгоритма.

Класс разделить на четыре труппы, каждой группе дать одно из заданий:

а)

б)

в)

г)

1-й шаг — упростить выражение каждой части неравенства (воспользоваться сопоставлением решения уравнения и неравенства).

2-й шаг — перенести члены неравенства, содержащие переменную, в одну часть, числа — в другую, с изменением знака на противоположный (используются свойства равносильности неравенств).

3-й шаг — привести подобные члены.

После третьего шага работа ведется фронтально.

4-й шаг — разделить (если возможно) обе части неравенства на коэффициент при переменной (используются свойства равносильности неравенств), получить простейшие неравенства: а) б) ; в) нет решений; г) у — любое число.

5-й шаг — отметить решения на координатной прямой.

При разборе решения выделяются существенные и несущественные связи с уже изученным материалом. Анализ решения позволяет записать алгоритм решения линейного неравенства:

— раскрыть скобки в обеих частях неравенства;

— перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну часть, а не содержащие — в другую;

— привести подобные члены в каждой части;

— разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной (с учетом свойств равносильности при );

— записать ответ в виде простейшего неравенства;

— отметить соответствующие промежутки на координатной прямой;

— записать числовой промежуток.

В результате аналогичной работы учащиеся под руководством учителя составляют алгоритм решения системы линейных неравенств с одной переменной:

— решение каждого неравенства системы (по алгоритму решения линейного неравенства);

— нанесение на координатную прямую числового промежутка, являющегося решением каждого неравенства;

— выделение промежутка, который удовлетворяет одновременно всем неравенствам системы;

— запись общего промежутка.

8. При изучении темы «Неравенства» могут быть использованы различные формы организации учебной деятельности учащихся.

О групповой форме организации учебной деятельности уже упоминалось. Здесь отметим, что такая форма весьма эффективна, так как, во-первых, воспитывает потребность в общении и взаимопомощи; во-вторых, формирует умение аргументировать свои действия, что способствует осознанности и прочности усвоения изучаемого материала.

Одной из разновидностей групповой формы является работа учащихся парами. Например, каждый учащийся выполняет задание партнера, а затем они вместе обсуждают решения, оценивают друг друга.

Индивидуальная форма работы реализуется при самостоятельном изучении теоретического материала о свойствах равносильных неравенств с одной переменной. В этом случае закрепляется общеучебное действие — чтение учебного материала, выделение главной мысли, установление связи с ранее изученным материалом.

Учащиеся должны ответить на вопросы:

1) Какие из пар неравенств равносильны и почему:

а) , б) , в) ,

; ; ?

2) Какие из неравенств , , равносильны неравенству ? Почему?

3) Какой вид имеет неравенство, равносильное неравенству

Усвоение материала проверяется фронтально, учитель по изученному материалу и выполненным заданиям проводит беседу с учащимися.

9. Контроль знаний учащихся проводится в различных формах. В частности, при изучении темы «Неравенства» могут быть использованы такие формы контроля:

1) Устная контрольная работа. Она дает возможность учителю установить, сформировано ли учебное действие «доказательство неравенства» и усвоены ли знания свойств числовых неравенств. Такую работу лучше проводить в начале урока с последующим разбором.

2) Самостоятельные работы учащихся (2—3 человека).

3) Самостоятельная работа для всего класса в нескольких вариантах. Таких работ должно быть несколько для выяснения знания «ядерного» материала и умений применять изученные алгоритмы. Например, самостоятельная работа может быть предложена для выяснения уровня сформированности умения «решать системы линейных неравенств с одной переменной». В эту работу включаются задания с учетом обязательных результатов обучения.

В теме «Неравенства» тематическим планированием предусматривается три контрольные работы, в содержание которых уже заложены обязательные результаты обучения.

Рассмотрим один из вариантов типизации задач по теме «Неравенства» по учебнику [Ю.Н. Макарычев и др.].

Таблица

№ пункта учеб-ника	Основное понятие	Тип задачи
28.	a больше b a меньше b	Сравнение значений выражений при заданных значениях переменной (№ 724-727; 737-742). Доказательство безусловных неравенств (№ 728-729, 731-736)
29.	Свойства числовых неравенств , , то ; и , то ; , то	Использование свойств неравенств (№ 746-751), оценка значений выражений (№ 752-762)
30.	Сложение и умножение числовых неравенств	Задачи как средство обучения действиям над неравенствами (№ 765-767). Задачи как цель математической деятельности по вычислению границ выражения (№ 768-778)
33.	Числовые промежутки, двойное неравенство	Задачи как средство обучения: а) переводу с «языка промежутка» на «язык» геометрический (№ 812-816); б) нахождение пересечения и объединения промежутков № 825-828; в) определение принадлежности промежутку (№ 817-824)
	Равносильность неравенств, свойства равносильности, алгоритм решения линейного неравенства	Задачи как средство обучения: а) свойствам равносильности (заданий нет) б) понятию решения неравенства (№ 833-834, 838-839) в) сравнению двух выражений № 842-843, 851, 856, 858-862 Задачи как цель математической деятельности: а) по решению неравенств (№835-841, 844-850); б) по решению текстовых задач на составление неравенств (№ 865-869)
35.	Решение системы неравенств, алгоритм решения системы неравенств	Задачи как средство обучения: а) понятию решения системы (№ 874-875) б) понятию двойного неравенства (№ 892-895) Задачи как цель математической деятельности по формированию алгоритма (№ 876-882, 885-891)