Предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием при подстановке вместо всех переменных их значений, называется высказывательной формой

Рассмотрим предложения: «Он рыжеволос» и «Число делится на 7». Эти предложения не содержат переменных в явном виде, но, тем не менее, являются высказывательными формами: первое из них становится высказыванием (истинным или ложным) только после замены местоимения «он» именем конкретного человека из некоторого множества людей мужского пола; второе становится высказыванием, если вместо слова «число» подставлять целые числа. Иначе эти предложения можно записать так: «Человек х рыжеволос», «Число у делится на 7».

Из высказывательных форм можно получать высказывания также с помощью специальных слов, так называемых кванторов. Их два: 1) квантор всеобщности – (любой, всякий, каждый); 2) квантор существования – (существует, найдется, имеется, некоторый, по меньшей мере, один). Например, из высказывательной формы «Площадь комнаты 20 м²» можно с помощью кванторов получить высказывания: «Площадь любой комнаты 20 м²» – ложное, «Существует комната, площадь которой 20 м²» – истинное.

Из двух данных предложений можно образовывать новые предложения с помощью союзов «и», «или», «либо», «если…, то…», «…тогда и только тогда, когда…» и других. С помощью частицы «не» и словосочетания «неверно, что…» из одного предложения можно получить новое. Наиболее употребительными являются союзы «и», «или», «если…, то…» и «…тогда и только тогда, когда». Остальные союзы считают близкими по смыслу одному из перечисленных союзов.

Союзы «и», «или», «если, то», «тогда и только тогда, когда», а также частицу «не» (словосочетание «неверно, что») называют логическими связками.

Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называют составными или сложными. Предложения, которые не содержат логических связок, называют элементарными или простыми.

Пример 2. Из предложений «Солнце всходит на востоке» и «Солнце заходит на западе» можно получить следующие составные высказывания: «Солнце всходит на востоке и заходит на западе»; «Солнце всходит на востоке или заходит на западе»; «Если солнце всходит на востоке, то оно заходит на западе»; «Солнце всходит на востоке тогда и только тогда, когда оно заходит на западе»; «Солнце не всходит на востоке» или «Неверно, что солнце заходит на западе».

В грамматике различают предложения простые и сложные. Предложение, простое по своей грамматической структуре, может быть составным с точки зрения логики. Например, простое с точки зрения грамматики предложение «На улице холодно и сыро» считается в логике сложным, так как образовано с помощью логической связки «и» из двух элементарных предложений «На улице холодно» и «На улице сыро». Простое предложение «Завтра не будет осадков» по своей логической структуре не является элементарным, так как содержит логическую связку «не».

Возникает вопрос: как определить значение истинности сложного высказывания?

В математической логике смысл логических связок уточняется так, чтобы вопрос об истинности или ложности составных предложений, образованных из высказываний во всех случаях решался однозначно. Таким уточнением займемся ниже.