Экономико-математическая модель межотраслевого баланса

В п. 3.1. отмечено, что основу информационного обеспечения модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица, содержащая коэффициенты прямых материальных затрат на производство единицы продукции. Эта матрица является также основой экономико-математической модели межотраслевого баланса. Предполагается, что для производства единицы продукции в j-й отрасли требуется определенное количество затрат промежуточной продукции i-й отрасли, равное . Оно не зависит от объема производства в отрасли и является довольно стабильной величиной во времени. Величины называются коэффициентами прямых

материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

. (3.4)

Определение 1. Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.

С учетом формулы (3.4) систему уравнений баланса (3.2) можно переписать в виде

. (3.5)

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А=(),вектор-столбец валовой продукции Xи вектор-столбец конечной продукции Y:

, ,

то система уравнений (3.5) в матричной форме примет вид

X=AX+Y. (3.6)

Система уравнений (3.5), или в матричной форме (3.6), называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью Леонтьева, моделью «затраты — выпуск»). С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:

• Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (),можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли ():

Y = (E -A)X. (3.7)

• Задав величины конечной продукции всех отраслей (), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли ():

X = (Е - А) Y. (3.8)

• Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых, в этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (3.6), а системой линейных уравнений (3.5).

В формулах (3.7) и (3.8) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (Е - А) обозначает матрицу, обратную к матрице (Е - А). Если определитель матрицы (Е - А)не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через В=(Е - А) , тогда систему уравнений в матричной форме (3.8)можно записать в виде

X = BY. (3.8')

Элементы матрицы Вбудем обозначать через , тогда из матричного уравнения (3.8') для любой i-й отрасли можно получить следующее соотношение:

. (3.9)

Из соотношений (3.9) следует, что валовая продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты ,которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат коэффициенты называются коэффициентами

полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

Определение 2. Коэффициент полных материальных затрат показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Коэффициенты полных материальных затрат можно применять, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:

, (3.10)

где и — изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.