Представление числовой информации

Системы исчисления

Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия с числами.

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

I V L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

П 1.11. Число CCXXXII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно 232.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитаются, например:

VI = 5 + 1 = 6, а IV = 5 – 1 = 4.

П 1.12. Записать римское число MCMXCVIII в десятичной системе

MCMXCVIII = 1000 + (- 100 + 1000) + (-10 +100) + 5 + 1 + 1+ 1 = 1998.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая тройка означает три сотни, вторая – три десятка, третья – три единицы.

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:

 

Основание	Название	Алфавит
n = 2	двоичная	0 1
n = 3	троичная	0 1 2
n = 8	восьмеричная	0 1 2 3 4 5 6 7
n = 16	шестнадцатеричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

 

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например: 101101₂, 3671₈, 3В8F₁₆.

В системе счисления с основанием q (q -ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q. q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q -ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1, …, q – 1. Запись числа q в q -ичной системе счисления имеет вид 10. Развернутой формой записи числа называется запись в виде

Здесь A_q –само число, q – основание системы счисления, a_i – цифры данной системы счисления, n – число разрядов целой части числа, m – число разрядов

дробной части числа.

Свернутой формой записи числа называется запись в виде

которой пользуются в повседневной жизни.

П 1.13. Записать в развернутом виде число А₁₀ = 4718,63

А₁₀ = 4*10³ + 7*10² + 1*10¹ + 8*10⁰ + 6*10^-1 + 3*10^-2.

П 1.14. Записать в развернутом виде число А₈ = 7764,1

А₈ = 7*8³ + 7*8² + 6*8¹ + 4*8⁰ + 1*8^-1.

П 1.15. Записать в развернутом виде число А₁₆ = 3АF

А₁₆ = 3*16³ + 10*16¹ + 15*16⁰.

П 1.16. Все числа 112₃, 101101₂, 15FC₁₆, 101,11₂ перевести в десятичную систему

112₃ = 1*3² + 1*3¹ + 2*3⁰ = 9 + 3 + 2 = 14₁₀,

101101₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 32 + 8 + 4 + 1 = 45₁₀,

15FC₁₆ = 1*16³ + 5*16² + 15*16¹ + 12 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628₁₀,

101,11₂ = 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ + 1*2^-1 + 1*2^-2 = 4 + 1 + ½ + ¼ = 5 + 0,5 + 0, 25 = 5,75₁₀.

П 1.17. У жителей села «Не десятичное» на ферме имеется 120 голов рогатого скота, из них 53 коровы и 34 быка. Какая система счисления используется сельчанами?

Решение: Самая большая цифра в рассматриваемых числах – это цифра 5. Значит, она входит в состав алфавита искомой системы счисления. Тогда основание системы счисления больше 5. Задачу можно решить методом подстановки оснований 6 и 7 или математически.

Примем за х основание искомой системы счисления. Тогда после перевода чисел, стоящих в правой и левой частях, в десятичную систему счисления получим следующее равенство: х ² + 2 х = 5 х + 3 + 3 х + 4. После преобразований получим уравнение х ² – 6 х – 7 = 0.

Ответ х = 7.