Пифагор и греческая математика

Западной Римской империи, возник в эпоху Возрождения.

Тогда же появились понятия "античная история", "античная культура",

"античное искусство", "античный город" и т.д. Понятие

Quot;древнегреческая наука", вероятно, впервые было обосновано П.

Таннери в конце XIX в., а понятие "античная наука" -

С.Я.Лурье в 30-х годах ХХ в. В русскоязычной литературе структура,

особенности и содержание естественнонаучного знания античности наиболее полно

представлены в работах И.Д.Рожанского.

И.Д.Рожанский выделяет четыре основных признака

любой науки, а для античности - это и признаки ее

отличия от ненауки предшествующей истории.

ü Наука - как род

деятельности по приобретению новых знаний. Для осуществления такой

деятельности необходимы определенные условия: специальная категория

людей; средства для ее осуществления и достаточно

развитые способы фиксации знаний.

ü Самоценность науки, ее

теоретичность, стремление к знанию ради самого знания.

ü Рациональный характер науки, что

прежде всего выражается в доказательности ее положений и наличии специальных

методов приобретения и проверки знаний.

ü Систематичность (системность)

научных знаний, как по предметному полю, так по фазам: от гипотезы до

обоснованной теории.

 

Математика

Известны египетские источники II-го тысячелетия до н.э. математического содержания: папирус Ринда (1680 г. до н.э., Британский музей) и Московский папирус. Они содержат решение отдельных задач, встречающихся в практике, математические вычисления, вычисления площадей и объемов. В Московском папирусе дана формула для вычисления объема усеченной пирамиды. Площадь круга египтяне вычисляли, возводя в квадрат 8/9 диаметра, что дает для числа пи остаточно хорошее приближение - 3,16. Несмотря на существование всех предпосылок Нейгебауэр /1/ отмечает достаточно низкий уровень теоретической математики в древнем Египте. Это объясняется следующим: «Даже в наиболее развитых экономических структурах древности потребность в математике не выходила за пределы элементарной домашней арифметики, которую ни один математик не назовет математикой. Требования же к математике со стороны технических проблем таковы, что средств древней математики было недостаточно для каких бы то ни было практических приложений».
Шумеро-вавилонская математика была на голову выше египетской. Тексты, на которых основаны наши сведения о ней относятся к 2-м резко ограниченным и далеко отстоящим друг от друга периодам: большая часть - ко времени древневавилонской династии Хаммурапи 1800 - 1600 гг. до н.э., меньшая часть - к эпохе Селевкидов 300 - 0 гг. до н. э. Содержание текстов отличается мало, появляется лишь знак «0». Невозможно проследить развитие математических знаний, все появляется сразу, без эволюции. Существует две группы текстов: большая - тексты таблиц арифметических действий, дробей и т.п., в том числе ученические, и малочисленная, содержащая тексты задач (около 100 из найденных 500 000 табличек).
Вавилоняне знали теорему Пифагора, знали очень точно значение главного иррационального числа - корня из 2, вычисляли квадраты и квадратные корни, кубы и кубические корни, умели решать системы уравнений и квадратные уравнения. Вавилонская математика носит алгебраический характер. Так же как для нашей алгебры ее интересует только алгебраические соотношения, геометрическая терминология не употребляется.
Однако и для египетской и для вавилонской математики характерно полное отсутствие теоретических изысканий методов счета. Нет попытки доказательства. Вавилонские таблички с задачами делятся на 2 группы: «задачники» и «решебники». В последних из них решение задачи иногда завершается фразой: «такова процедура». Классификация задач по типам была той высшей ступенью развития обобщения, до которой сумела подняться мысль математиков Древнего Востока. Видимо, правила находились эмпирическим путем, путем многократных проб и ошибок.
При этом математика носила сугубо утилитарный характер. С помощью арифметики египетские писцы решали задачи о расчете заработной платы, о хлебе, о пиве для рабочих и т.п. Нет еще четкого различия между геометрией и арифметикой. Геометрия является лишь одним из многих объектов практической жизни, к которым можно применить арифметические методы. В этом отношении характерны специальные тексты, предназначенные для писцов, занимавшихся решением математических задач. Писцы должны были знать все численные коэффициенты, нужные им для вычислений. В списках коэффициентов содержатся коэффициенты для «кирпичей», для «стен», для «треугольника», для «сегмента круга», далее для «меди, серебра, золота», для «грузового судна», «ячменя», для «диагонали», «резки тростника» и т.д./2/.
Как считает Нейгебауэр, даже вавилонская математика не перешагнула порога донаучного мышления. Он, впрочем, связывает этот вывод не с отсутствием доказательств, а с неосознанностью вавилонскими математиками иррациональности корня из 2.

Пифагор и греческая математика

Пифагор (571 - 497 гг. до н.э.) - одна из наиболее противоречивых и загадочных фигур в истории науки и философии. Достаточно сказать, что помимо того, что «все есть число», Пифагор учил /1/ своих последователей «огонь ножом не разгребать», «на хлебной мере на сидеть», «малым факелом сиденья не осушать», «против солнца не мочиться», «кривокогтых не кормить». Более же всего заповедовал он: не есть краснушки, не есть чернохвостки, воздерживаться от сердца и бобов, а иногда (по словам Аристотеля) также от матки и морской ласточки. С другой стороны, Пифагор, ценя занятия числами больше всего «подвинул вперед (эту науку), освободив ее от служения делу купцов (Аристоксен «Об арифметике»). У Прокла: «Пифагор преобразовал геометрию, придав ей форму свободной науки, рассматривая ее принципы чисто абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения».
Пифагор, конечно, не был ни ученым, ни даже философом в «эллинистическом» смысле, Он был пророком и даже полубогом. По тайному пифагорейскому учению существует три вида разумных живых существ: боги, люди и «подобные Пифагору». Это учение можно приписать самому Пифагору, который объяснял людям, что он происходит из семени, лучшего сравнительно с человеческим. Отсюда понятны его «золотое бедро», способность одновременно присутствовать в нескольких местах, знание языка животных и прочее в том же духе. Свое знание по одной из легенд он получил в Аиде, проведя там 207 лет. Без сомнения в пифагорействе можно видеть переход от магических методов изучения природы к научным. Пифагора можно считать и ученым, и магом, и вероучителем.
Религиозные истоки мировоззрения Пифагора неясны полностью: ему приписывалось знание чуть ли не всех религий и мистических учений как его времени, так и более поздних (египетские жрецы, халдеи, финикиняне, маги, иудеи, арабы). Есть сведения о его обучении у Фалеса. Более-менее твердо установлены следующие основные положения его учения: 1) учение о бессмертии души; 2) метампсихоз - учение о переселение душ; 3) родство всех живых существ (с этим связаны многие акусмы - табу, приведенные выше, особенно пищевые); 4) требование очищения - «катарсиса» - как высшая этическая цель. Проглядывается явная связь морально-религиозного учения Пифагора с греческими и окологреческими мистериальными культами, в частности, орфизмом.
Пифагор, как известно, основал союз (в Италии - «Великой Греции»), который носил характер религиозно-мистического ордена и просуществовал примерно 200 лет. В центре деятельности этой религии и ордена стоял вопрос о спасении души и познании бога. Спасение виделось в очищении тела и души, Очищение тела достигалось следованием бытовым акусмам-табу и в целом «пифагорейскому» образу жизни (распорядок дня, физические упражнения, пищевые диеты и т.д.) Очищение души достигалось некоей духовной техникой, частью которой, едва ли не самой важной и высокой, являлись занятия математикой и музыкой. Из работы позднего пифагорейца Порфирия «Жизнь Пифагора» (5-й век н.э.)/2/: «А для тех, кто уже совершил очищение, есть некоторые полезные приемы: медленно и постепенно, всегда одним и тем же образом, начиная от все более мелкого, переводить себя к созерцанию вечного и сродного ему бестелесного, чтобы полная и внезапная перемена не спугнула и не смутила нас, столь давно привыкших к такой дурной пище. Вот почему для предварительной подготовки душевных очей к переходу от всего телесного...к истинно сущему он обращался к математическим и иным предметам рассмотрения, лежащим на грани телесного и бестелесного (эти предметы трехмерны как все телесное, но плотности не имеют, как все бестелесное) - это как бы искусственно приводило душу к потребности в настоящей ее пище... подводя с помощью такого приема к созерцанию истинно сущего, он дарил людям блаженство, - для этого и нужны были ему математические упражнения».
Таким образом, математика служила как бы духовным обучением и очищением. Такое понимание математики близко к платоновскому. Можно найти аналогии с духовной практикой других религий, например, буддизма. Математические элементы входили в религиозную систему. Как писал А.О.Маковельский: «вера в религиозно-катартическое действие науки дала силы Пифагору положить основание чистой математике».
Кроме использования математики, как метода очищения известно, что число пифагорейцы воспринимали как начало устроения и, соответственно, познания мира, и поэтому в исследовании числовых отношений видели такое же средство спасения души, как и в религиозных ритуалах. Прежде чем появилась математика как теоретическая система возникло учение о числе как некотором божественном начале мира /3/. У Порфирия: «главное же поучение Пифагора было - стремиться к истине, ибо только это приближает людей к богу, ведь от магов он знал, что бог, которого они называют Оромаздом, телом своим подобен свету, а душою - истине». Истина же - в числе (все есть число) и в отношении чисел. Находить же соотношение между числами надо не наглядно (ибо наглядное связано с телесным, изменчивым миром, а рассудочно, то есть теоретически, ибо только такое мышление есть чистое, божественное, а значит и верное.
Вообще пренебрежение и даже принципиальное неприятие наглядного, чувственного познания, а лучше сказать, экспериментального доказательства характерно для многих греческих философов: элеатов, Платона и даже Демокрита. Так, известен философский анекдот, согласно которому киник Антисфен в опровержение известной апории Зенона «Стрела», которая доказывает невозможность движения, встал и начал ходить перед участниками дискуссии. Этот эмпирический факт движения, впрочем, никого не убедил. Венгерский исследователь Сабо пишет о сознательном отказе от созерцательного (наглядного), о сознательном избегании просто наглядного у элеатов. Сабо приходит к выводу, что доказательство (гипотетико-дедуктивный метод) представляет собой способ удостоверения того или иного положения, которое не желают (скорее, чем не могут) удостоверить с помощью наглядной демонстрации, Сабо допускает, что в более ранний период математики доказывали свои утверждения, демонстрируя доступную созерцанию фигуру, так что ядро доказательства составляла конкретная наглядная демонстрация. Сначала они доказывали легко наглядно доказуемое, затем же обнаружилось, что теоретическое доказательство способно решить и наглядно неясные проблемы. Это подтвердило важность, «божественность» метода. В этом то новое, что привнес в математику Пифагор. Фалес доказывал наглядное, теорема Пифагора такой наглядностью не обладает и является, следовательно, важным шагом вперед.
Как еще один из примеров архаики у пифагорейцев, необходимо отметить существование у них священных чисел, например декады, десятки, которую они называли тетракидой, четверицей. Пифагорейцы клялись Пифагором так:
«Будь свидетелем тот, кто людям принес тетракиду,
Сей для бессмертной души исток вековечной природы!»
Однако их истолкование «священности», сакральности декады было существенно иным, чем на Востоке. Например, священность числа 7 традиционно подчеркивалась при перечислении различных семериц (7 богов, 7 стихий, 7 демонов и т.д.), либо 7-кратным повторением магических заклинаний, религиозных ритуалов и т.п. У пифагорейцев же священность числа находится внутри самого числа.
Числа у пифагорейцев носят еще довольно чувственный характер, имеют зрительный образ. Так, единица у них выступала как точка, двойка как линия, тройка, как плоскость, четверка как тело (первое тело - пирамида). Таким образом, пифагорейцы различали числа линейные, плоские и телесные. Представление числа в виде геометрических образов было обычной практикой пифагорейцев, это была самая ранняя практика и у греков и у других народов. К линейным числам относились простые числа, которые нельзя было разложить на множители, например, 5,7 и т.д.; плоскостные - сложные, состоящие из двух сомножителей. Причем можно выделить квадратные числа - 9 (3*3), прямоугольные - 6 (3*2). Телесные числа состоят из 3-х сомножителей, например 8 (2*2*2).
Вернемся к числу 10. 10=1+2+3+4, т.е. все формы фигур заключаются в 10 и имеют там же свое завершение. Далее, выраженная наглядно десятка имеет равностороннего треугольника - совершенной фигуры. Имеется еще множество других признаков сакральности десятки.

Рассмотрим внимательнее достижения пифагорейской школы в математике. Сам Пифагор открыл, по-видимому, следующие вещи:
1. Создал учение о четном и нечетном, положившее начало теории чисел. Примеры:...; 21)сумма четных чисел является четной; 22)сумма четного количества нечетных чисел четна;...; 24)четное минус четное есть четное и т.д. Эти положения доказываются логически.
2. Осуществил построение, по крайней мере, 2-х правильных многогранников: тетраэдра и куба, а возможно и додекаэдра.
3. Создал теорию пропорций. Ему уже были известны 3 средние пропорциональные: арифметическое С= (А+В)/2, геометрическое С=sqrt{А*В}, гармоническое С= 2А*В/(А+В).
4. Скорее всего арифметическую теорию пропорций Пифагор использовал при доказательстве своей знаменитой теоремы. (См. курс геометрии за 7 класс средней школы).
5. Открытие дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например, 220 и 284, совершенных чисел (равных сумме собственных делителей, например, 6, 28), метод определения длин сторон прямоугольного треугольника (метод пифагоровых троек).
Не менее важной, чем собственно математические открытия заслугой Пифагора, было создание школы, первой математической школы (в смысле научного направления), которая совершила много открытий в математике. К собственно пифагорейцам-математикам можно отнести:
а) Гиппаса (1-я половина 5-го века). Он стал известен построением додекаэдра вписанного в шар и, самое главное, открытием иррациональных величин, в частности, иррациональности корня из 2-х. Последнее очень важно. Иррациональность означает невыразимость в числах. Открытие того, что сторона и диагональ квадрата несоизмеримы, то есть что их отношение нельзя выразить рациональными дробями - отношением целых чисел, нанесло сильнейший удар по представлениям пифагорейцев о мире, ибо целое число лежало согласно представлениям Пифагора в основе мироздания. Поэтому все пропорции в мире должны быть выражаемы в целых числах. Открытие иррациональности легенды приписывают самому Пифагору, но он сохранил это открытие в тайне.
Пифагорейское общество (пифагорейский союз) делилось на 2 ступени: низшую - акусматиков и высшую - математиков. Первые, обучаясь, выслушивали акусмы, лишенные доказательств. Примеры акусм приведены в начале главы, конечно, самые необычные, но были и другие, вполне разумные. Вторые - посвященные, занимались математикой, им и открывалась тайна иррациональности. Гиппас - математик открыл «профанам» эту тайну. За это «по воле разгневанного божества», он (Пифагор) погиб в кораблекрушении.
б) Феодор из Кирены (конец 5-го века) был учителем Платона по математике. Архит Тарентский (4-й век) - младший современник Платона.
в) Параллельно пифагорейским математикам появляются математики, не связанные напрямую с этой школой: Гиппократ Хиосский, Теэтет, Евдокс и, наконец, Евклид, который собрал и обработал практически все знания о греческой математике (3-й век до н.э.), подвел итоги и обобщил их в своих «Началах...». Вся его система, особенно в геометрии, многие века считалась образцом научной системы, Они («Начала») могут служить учебником и сейчас. Собственно пифагорейцам принадлежат значительная часть 1-й книги Евклида, вся 2-я и 4-я книги, большая часть 3-й, а также отдельные части других книг «Начал» - 7, 9, 13.
В пифагорейский союз входило очень много врачей. Их можно считать предшественниками косской и книдской медицинских школ, самого Гиппократа. Им принадлежат первые медицинско-философские спекулятивные теории, в частности, теория гуморальной патологии. Оригинальную теорию пифагорейцев в астрономии, сыгравшую важную роль в эволюции космологических представлений, мы рассмотрим позже.
Вернемся к утверждению пифагорейцев о том, что все есть число. В каком смысле «все есть число»? Это положение имеет 2 стороны.
1. Числовые отношения лежат в основе, как природных процессов, так и жизни человеческой души. Числовые отношения составляют самую сущность природы. Наблюдаемое - изменчиво и потому ложно, но числовые отношения вечны и потому истинны. Познание природы возможно только через познание числа и числовых отношений.
Таким образом, было сформулировано положение, впоследствии ставшее кардинальным для математического естествознания, а именно: точное знание возможно лишь на основе математики. Наиболее знаменитым является открытие связи числа с музыкальной гармонией. Пифагор обнаружил, что при определенных соотношениях длин двух одновременно звучащих струн последние издают приятный (гармонический) звук, а при других - неприятный - (диссонанс), причем в 1-м случае длины струн должны находиться в простом рациональном отношении. Если целая струна издает основной тон, то половина струны - октаву его, 2/3 -х струны квинту, 3/4 - кварту. Как отмечает В.Я. Жмудь /4/: здесь впервые мы наблюдаем соединение количественного подхода с экспериментальным методом для изучения природы. В.Гейзенберг, замечательный физик-теоретик, лауреат нобелевской премии, писал, что: «Данное открытие представляет собой один из сильнейших импульсов для развития науки вообще, ибо кто хотя бы один раз убедился в творческой силе математических построений, тот будет замечать их действие на каждом шагу, как в области природы, так и в области искусства».
Последнее подтверждали сами пифагорейцы ярким историческим анекдотом, приведенным Секстом Эмпириком. Родосцы выспросили архитектора Харита, сколько он бы истребовал средств на построение Колосса (знаменитой статуи - одного из семи чудес света)? Когда он что-то исчислил, они снова его спросили, сколько же было бы нужно, если б они захотели построить статую двойную по величине? И после того, как он выставил двойную сумму, они ее дали ему, а он, истративши ее только на одно основание и на проекты, наложил на себя руки. После его смерти мастера увидели, что надо было требовать не двойную, а восьмерную сумму, так как сооружение надо было увеличить не только в длину, но и в других двух направлениях. Отсюда делается вывод, что и всякое искусство возникает при помощи числа.
2. Вторая сторона положения: мир собственно и есть число, то есть буквально все вещи состоят из чисел. Аристотель: «у них, по-видимому, число принимается за начало и в качестве материи для вещей и в качестве выражения для их состояний и свойств. Единицам (монадам) они приписывают пространственную величину. При этом единицы или монады должны быть неделимыми - это их важнейший атрибут, без которого они не могли быть первыми началами всего сущего.
Таким образом, у пифагорейцев в онтологии (учении о бытии) или даже в физике (учении о природе) мы находим весьма странную форму атомизма - математический атомизм, при котором числа рассматривались как геометрические точки с определенным положением в пространстве. Вероятно причина здесь в том, что в истоках греческой математики обнаруживается своеобразный способ рассмотрения, который можно охарактеризовать как полуарифметический-полугеометрический. Он состоит в использовании камешков-псефов одинаковой величины и формы (круглых и квадратных), которыми выкладываются фигуры. Поздние пифагорейцы, в идеях которых наблюдается вырождение философии Пифагора, довели эти рассуждения до абсурда. Так Еврит исчислял «число лошади», «число человека», выкладывая камешками фигуры соответствующих существ на песке. Этот наивный, нерасчлененный взгляд на природу связывает Пифагора и его последователей с другими их философами современниками - так называемыми «физиками».
В заключении еще раз отметим, что пифагорейцы на самом раннем этапе становления естествознания интуитивно нащупали наиболее продуктивный подход к исследованию природы - соединение экспериментального и количественного методов, который, к сожалению не получил дальнейшего развития в античности (разве только у Архимеда и некоторых других ученых эпохи эллинизма). В античности возобладали либо эмпирический метод познания без привлечения математики (Аристотель), либо математика без эксперимента (Платон). В большинстве областей физики возобладал не количественный, а качественный подход, ярким образцом которого является физическое учение Аристотеля. Нельзя сказать, чтобы аристотелева физика не опиралась ни на какие эксперименты, но она отказалась от фундаментальных для пифагорейцев понятий меры и числа. Зато она представила своим адептам то, что не сумели, или, лучше сказать, не успели дать сторонники экспериментально-математического метода - общую теорию /4/.
1. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. - М.: «Мысль», 1986.
2. Платон. Собр.соч.т.3. - М.: «Мысль», 1994.
3. Гайденко П.П. Эволюция понятия науки. - М.: «Наука», 1980.
4. Жмудь Л.Я. Пифагор и его школа. - Л.: «Наука», 1990

Атомизм. Демокрит

Действуя в направлении поиска первоначал, как натурфилософы, опираясь на наивный числовой атомизм пифагорейцев, и отталкиваясь от невозможности небытия и множественности у элеатов, Демокрит создает учение об атомах - неделимых первоначалах. Эти влияния прослеживаются не только концептуально, но и исторически. Учителями Демокрита называют Анаксагора и кого-то из пифагорейцев. Характерна фраза Лаэрция /1/: «Упоминает он (Демокрит) и учение о Едином последователей Парменида и Зенона, вокруг которого было тогда больше всего шума». Учителем Левкиппа был Зенон. Впрочем, Левкипп - личность полулегендарная. Исследователи даже не пришли к единому мнению о его существовании. Но Демокрит (460 - 370) младший современник Сократа (470 - 399) и старший Платона (427 - 347) вполне живая и конкретная личность.
Каковы основные положения атомистики Демокрита?
1. Из ничего ничего не бывает: ничто из того что есть, не может быть уничтожено. Всякое изменение есть только соединение и разделение частей.
2. Ничто не происходит случайно, но все происходит по некоторой причине и необходимости.
3. Ничего не существует, кроме атомов и пустого пространства, все же прочее есть мнение.
4. Атомы невидимы глазом, бесконечны в числе и бесконечно различны по форме.
5. Различие всех предметов зависит от различия их атомов в числе, величине, форме и порядке. Качественного различия атомов не существует. Атомы не имеют «внутреннего состояния»; они действуют друг на друга посредством давления и удара.
6. Душа состоит из мелких, гладких и круглых атомов, подобных атомам огня. Эти атомы суть самые подвижные, от их движения, проникающего через все тело, происходят все явления жизни.
Главные и наиболее разработанные у Демокрита это пункты. 3,4,5, то есть, собственно, атомистика - учение об атомах и пустоте.
Пустота есть небытие Парменида и Демокрит допустил его существование. Это дало возможность преодолеть запрет движения у Парменида. При этом атомы есть «бытия» Парменида, обладают всеми его качествами (вечность, неизменность, нераздельность) кроме единственности.
Все тела по Демокриту состоят из какого угодно большого, но конечного числа атомов, поэтому снимаются противоречия, приведенные в апории Зенона «Дихтомия» между конечным и бесконечным. Это положение у Демокрита категорично и основано на стремлении объяснить эмпирический мир в противоречие отвлеченно-теоретическому подходу элеатов. Антиэлеатскую позицию атомистов подтверждает Аристотель. Уточняя пифагорейское понятие единицы, Демокрит приходит к выводу, что «единицу» надо мыслить как физическое тело очень малых, но конечных размеров. Атомизм, таким образом, возникает отнюдь не только в результате эмпирических наблюдений, а и в результате развития определенных теоретических понятий /2/.
Лишь позже, у Эпикура и Лукреция Кара, привлекаются эмпирические наблюдения. Они играют роль наглядных моделей атомистической теории. Возможность существования невидимых частиц, утверждение, что невидимое может быть материально, подтверждается существованием ветров - невидимых тел, но мы их ощущаем. Запахи, жара и холод, звук - все они невидимы, но ощущаемы, а значит, состоят из атомов. Доказательства дробления макроскопических тел на невидимые мельчайшие частицы в поэме Лукреция Карра «О природе вещей»: «Так, например, одежда сыреет на морском берегу, а на Солнце, вися, высыхает. Однако видеть нельзя, как влага на ней оседает и как она исчезает. Значит, дробится вода на такие мельчайшие части, что недоступны они совершенно для нашего глаза». Твердые предметы постепенно истираются, теряя невидимые глазом мельчайшие частицы, мостовая стирается «ногами толпы» и т.д. Все это доказательства существования атомов. Веским аргументом в пользу существования пустоты Лукреций считает тот факт, что такие невидимые тела, как звуки, идут через стены домов и замкнутые двери, внутрь пролетая. Сквозь камни пещер сочится вода и т.д. Наконец, почему тела, имеющие одинаковый объем, имеют разный вес, например, клубок шерсти и слиток свинца? Наглядной атомной моделью поздние атомисты считают поведение мельчайших пылинок в солнечном луче.
Сам же Демокрит вряд ли подтверждал свои идеи наглядным образом. Именно о нем Цицерон передает легенду, что «он сам себя лишил зрения, так как полагал, что размышление и соображение ума при созерцании и уразумевании природы будут живее, когда освободятся от развлечения зрения и препятствия глаз».

Атом - центральное понятие теории Демокрита. Атом, дословно, неразрезаемое, нерассекаемое. Он обозначает такое физическое тело, которое в силу его твердости, а по некоторым соображениям также в виду его малости, не может быть разрезано на более мелкие части. Твердость атома обусловлена отсутствием в нем пустоты. Отсутствие пустоты приводит к тому, что атом неизменяем по своей природе: его нельзя ни разрезать, ни уплотнить, ни разрыхлить, он не может стать ни больше, ни меньше себя, не может ни гибнуть, ни возникать, он вечен и неизменен, а, стало быть, имеет почти все атрибуты, которыми Парменид наделил бытие. Он непроницаем, т.е. в одном месте не могут существовать одновременно два атома. Но благодаря наличию небытия - пустоты, атом приобретает атрибут, который отрицал за бытием Парменид, - движение.
Несмотря на малость атома, у него мысленно можно представить более мелкие части (правая и левая, передняя и задняя, верхняя и нижняя, середина). Допущение этих простейших частей атомистам необходимо потому, что иначе атомы превратились бы в неделимые точки, не имеющие частей, и из их соединения не возникли бы тела чувственного мира.
Пространство же у Демокрита (в отличие от Эпикура) не делится на неделимые минимумы. Пустое пространство, пустота - это арена действия атомов, ящик, в котором они заключены и который может существовать независимо от атомов. Время, судя по всему, (атомы вечны) по отношению к атомам является также внешним и чуждым понятием. Эти взгляды на пространство и время впоследствии разовьются в идеи Ньютона об абсолютных пространстве и времени.
Видимые физические тела образуются сцеплением атомов, скреплением их. При этом, хотя атомы состоят из единого, однообразного первовещества (одинаковой плотности), но они различаются сами по себе формой и величиной, а их соединения положением и порядком атомов, из которых они состоят. Атомы имеют бесконечное множество форм, при этом существуют как правильные (геометрические) формы - шарообразные, кубические, пирамидальные, так и неправильные. «Одни из них кривые, другие якореобразные, одни вогнутые, другие выпуклые, третьи имеют другие бесчисленные различия. Наконец, как сообщает Цицерон, атомы могут быть одни «шероховатые, другие округленные, частью же угловатые или с крючками, некоторые же искривленные и как бы изогнутые»/1/. Совершенно очевидно, что формы атомов объясняют механику их сцепления.
Различия предметов и тел объясняется не только формой, величиной и количеством, но и положение и порядком атомов. Разница между телами может иметь порядок атомов, например, в одном теле будут первыми помещаться шарообразные атомы, а последними - пирамидальные, в другом же, наоборот, как в слогах NE и EN. Равным образом разница между сложными телами может иметь причиной и положение атомов, если те же атомы находятся в одном случае в лежачем положении, а в другом в стоячем, например, буквы Z и N, I и H.
Все качества вещей имеют только эти объяснения. «По установленному обычаю сладкое и по обычаю горькое, по обычаю теплое и холодное, по обычаю цветное, в действительности же - атомы и пустота». То есть чувственные свойства предметов просто устанавливаются по смыслу, в истинном же смысле просто не существуют, ибо существуют только атомы и пустота. Ощущения, например, зрительные, создаются путем истечения из предметов невидимых легких телец. Эти истечения бьют по глазам, вызывая у нас зрительные впечатления предметов. То же самое с запахами, звуками, холодом, жарой.
В природе существует четыре вида веществ, а именно: землеобразные, водообразные, воздухообразные и огонь. Различие между частицами 4-х видов состоит в их размерах (наибольшие у земли, наименьшие у огня) и форме (огонь состоит из шарообразных атомов, а земля не из таких, а, например, из кубических). Так как каждое вещество содержит атомы различной формы, то, например, образование льда из воды представляется Эпикуру в следующем виде: «Лед образуется как вследствие вытеснения из воды частиц круглой формы и соединения находящихся в воде треугольных и остроугольных частиц, так и вследствие прибавления извне таких частиц, которые, скопившись, доставляют замерзание воде, вытеснив некоторое количество круглых частиц».
Атомы находятся в непрерывном движении. Причина движения - падение в пустоте под влиянием тяжести. Никаких сил взаимодействия на расстоянии у атомов нет, поэтому взаимодействия в этой модели появляются лишь непосредственно при столкновениях. Природа и причина движения у Демокрита была бедна и неубедительна. Наверное, поэтому Эпикур пришел к заключению, что во время падения отвесно в пустоте атомы должны отклоняться от прямолинейной траектории. Природа этой спонтанности неясна.
От этого движения возникает и многообразие мира и сам мир. Вот космогоническая теория Левкиппа /1/: «Возникновение миров происходит так. Из беспредельности отделяется и несется в великую пустоту множество разновидных тел. Скапливаясь, они образуют единый вихрь, а в нем, сталкиваясь друг с другом и всячески кружась, разделяются по взаимному сходству. И так как по многочисленности своей они уже не могут кружиться в равновесии, то легкие тела отлетают во внешнюю пустоту, словно распыляясь в ней, а остальные остаются вместе, сцепляются, сбиваются в общем беге и образуют таким образом некоторое первоначальное соединение в виде шара. Оно в свою очередь отделяет от себя как бы оболочку. По мере того, как она вращается в вихре, отталкиваемая от середины, эта внешняя оболочка становится тонкою. Из того, что уносилось в середину, и там держалось вместе, образовалась Земля. А сама окружающая оболочка тем временем росла, в свою очередь за счет притока тел извне: вращаясь вихрем, она принимала в себя все, чего ни касалась. Некоторые из этих тел, сцепляясь, образовали соединение, которое сперва было влажным и грязным, потом высохло и закружилось в общем вихре, и, наконец, воспламенилось и стало природою светил. Все светила воспламеняются от быстроты движения, а Солнце воспламеняется еще и от звезд». Между прочим, этот первый очерк космогонической гипотезы будет впоследствии (17-й век) развит Декартом, а в 18-м - Кантом и Лапласом.
Демокрит не признает случайного в природе, все происходит по некоторой причине и необходимости. Здесь впервые ставится вопрос о соотношении случайности и необходимости. Демокрит - детерминист: все, что бы ни случилось - необходимо должно было случиться. Этот взгляд у Ньютона разовьется в механистический детерминизм, согласно которому, все происходящее в мире уже предопределено начальными условиями. Однако природа этой причинности у Демокрита не прояснена. Необходимостью он называет вихри движущихся атомов, из которых происходят тела.
В заключение рассмотрим особенности научной программы атомистов и ее значения для естествознания.
1. Наука, как ее понимает Демокрит, должна объяснять явления физического мира. Это физическая программа. Не случайно она так много внесла в развитие физики как науки уже в новое время. Фейнман, автор знаменитых фейнмановских лекций по физике, как-то сказал: «Если бы в результате какой-либо мировой катастрофы все накопленные научные знания оказались бы уничтоженными и к грядущим поколениям живых существ перешла бы только одна фраза, то какое утверждение, составленное из наименьшего количества слов, принесло бы наибольшую информацию? Я считаю, что это - атомная гипотеза: все тела состоят из атомов - маленьких телец, которые находятся в беспрерывном движении, притягиваются на небольшом расстоянии, но отталкиваются, если одно из них плотнее прижать к другому».

2. Само объяснение физического мира понимается атомистами как указание на механические причины всех возможных изменений в природе. Все изменения понимаются как результат движения атомов, их соединения и разъединения, причем чувственно воспринимаемые качества предметов объясняют только формой, порядком и расположением атомов. Воспринимаемый объект (эмпирический, субъективно воспринимаемый мир) и его объясняющий принцип (атомы и пустота, объективно существующий мир) разделены. Второй и истинный можно только мыслить.
3. Наглядность объясняющей модели и, в то же время, его простота. Последовательность, даже «святая односторонность» с какой Демокрит вводил свою модель для объяснения мира, не останавливаясь ни перед какими, даже самыми парадоксальными выводами.
4. Значение атомистической теории велико не только для естествознания. Это была первая в истории мысли теоретическая программа, последовательно и продумано выдвигавшая методологический принцип, требовавший объяснить целое как сумму отдельных составляющих его частей - индивидуумов (индивидуум - неделимый, латинская калька греческого термина). Объяснять структуру и свойства целого исходя из формы, порядка и положения составляющих это целое индивидуумов - такая программа легла в основу целого ряда не только физических теорий древности и нового времени, но и многих психологических и социальных доктрин. Этот метод можно назвать механистическим.
Характерной особенностью античного атомизма как метода собирания целого из частей является то, что при этом целое не мыслится как нечто действительно единое, имеющее свою особую специфику, не сводимую к специфике составляющих его элементов. Он мыслится как составное, а не как целое в собственном смысле слова. Демокрит не признает качественного своеобразия новообразования (смеси - миксис), за что его критикуют Платон и Аристотель. Воззрения атомистов тем не менее оказались чрезвычайно плодотворными для естественных наук. Ими руководствовались великие основатели современной физики и химии: Галилей, Декарт, Бойль, Ньютон и др.
Существует свидетельства о применении атомистического метода в античности. Архимед по данным Плутарха получал некоторые свои математические результаты (объем конуса и пирамиды равен трети объема цилиндра и призмы с тем же основанием и высотой) путем неких механических методов, которые связываются с именем Демокрита. Сам Архимед называл этот метод «Исчисление песчинок». Архимед не принимал этих методов как доказательные, но, получив формулу, искал строгое логическое доказательство. Можно предположить два варианта «атомистического метода»:
- «физический», работающий путем взвешивания самих тел или соответствующих им объемов;
- метод суммирования (сечение пирамиды на множество объемных частей-призм и суммирование их объемов).
В чем «демокритство» этого метода? Дело в том, что античная геометрия (как и современная) за элемент принимает не элементарный объем у объемных фигур, не элементарную площадь у плоских фигур, а плоскость и линию соответственно. То есть в пифагорейско-платоновской математике идет разложение на n-1 пространственные элементы, а деление на объемы есть приложение атомистики к математике и не характерно для классических древних математиков. «Метод Демокрита» в этом случае есть первый пример использования численных методов с элементами дифференцирования и интегрирования.
1. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. - М.: «Мысль», 1986.
2. Гайденко П.П. Эволюция понятия науки. - М.: «Наука», 1980.

Платон и естествознание.

Чтобы понять сущность программы Платона, направленной на науки естественного ряда, нельзя не обратиться к главному, основному ядру философии Платон - учению об идеях и диалектике, а чтобы понять это ядро, нельзя не обратиться к историко-философской ситуации, сложившейся в Древней Греции в эпоху Сократа-Платона.
Что же происходило в Греции в эту пору? Усиленное разложение прежнего, традиционного общества. Старые понятия, моральные и государственные скрепы и устои становились неубедительными, даже непонятными. В это время в Афинах появились в большом количестве платные мудрецы - софисты, которые учили и доказывали, что человеческое знание зависит от индивидуальности познающего, от его чувственности, то есть от его тела, а потому объективного знания не существует. Отсюда вытекает, что не существует чего-то общего объединяющего людей, что человек должен руководствоваться своим частным интересом и произволом. Если всякая истина индивидуальна, то это в практически-нравственной сфере соответствовало убеждению в том, что индивид должен руководствоваться собственным частным интересом. Это была теория разложения до тех пор существовавшей в Греции общественной системы /1/. При этом софисты широко использовали логическое доказательство (диалектику), с успехом применяя его против непосредственности традиционной цивилизации. «Традиция имеет силу всегда лишь до тех пор, пока существует непосредственное доверие к ней. Она держится не силой оружия, не силой сознания, не силой логики и аргументов, а силой бессознательности, силой непосредственности. Непосредственность - это огромная мощь. Против нее бессильны армия, оружие, прямое нападение. Но есть враг, против которого она беспомощна. Он тихо, незаметно, подобно кроту подрывает почву, на которой стоит традиция. Враг этот - стремление рационально обсудить непосредственно данные понятия, опосредовать их, и, тем самым, по крайней мере на первом этапе знания подорвать, подвергнуть сомнению устои традиционного общества» /1/.
Платон не может смириться с субъективностью знания. Он типичный консерватор. Сам он происходил из рода последнего афинского царя Кодра, мать его - из рода знаменитого законодателя Солона, одного из семи мудрецов. Это наложило отпечаток на его симпатии и политические утопии. Исходной темой размышлений Платона и его учителя Сократа является тема надиндивидуального слоя в сознании индивида. Если такой слой существует, то надо вскрыть его природу и тогда, по убеждению Платона, можно будет показать несостоятельность субъективизма и релятивизма теории познания софистов. Если признать рефлексию правомерной, но в то же время отказаться признать частный интерес индивида единственной реальностью на базе, которой должен быть построен новый тип общественных связей, новая форма социальности, то остается единственный путь: искать в самом сознании индивида то абсолютное, всеобщее и незыблемое начало, которое в традиционном обществе существовало в виде объективных нравов, обычаев и верований.
Этим путем пошел Платон. Используя логику элеатов (оружие софистов) он развивает ее почти до совершенства в диалектику, совершенно сознательно формируя важнейшие логические и онтологические понятия и окончательно сформировывая сам гипотетико-дедуктивный метод (диалог «Парменид»).
Поиск надиндивидуального с помощью диалектики заканчивается учением об идеях. Помимо материального мира существует объективный мир идей, мир чистый, вечный и бессмертный. Идеи суть определенные образцы: за всеми людьми мыслится один человек, за всеми конями - один конь, и, вообще, за всеми живыми существами - не рожденное и не гибнущее существо. Как одна печать может давать множество отпечатков, так от идеи одного человека возникает тысяча отображений. Идея есть изначальная причина того, что каждое таков, какова она сама.
Таким образом, существует мир чувственный (материальный, изменчивый) и мир умопостигаемый (идей). Каждой из этих сфер мира соответствует различный статус знания: 1) не истинное знание, а всего лишь мнение; 2) истинное знание, наука. Причем существует своя иерархия этих знаний.
Каковы же выходы философии Платона в область естественных наук?
1. Платон и математика.
Математика играет исключительную роль в системе Платона, уступая лишь диалектике. «Не геометр не войдет» - написано над воротами Академии, Те, кто не были сведущи в музыке, геометрии и астрономии вообще не принимались в платоновскую Академию. Ксенократ, второй после Платона глава Академии (сколарх), сказал человеку, не знакомому ни с одной из этих наук: «Иди, у тебя нечем ухватиться за философию» /2./. Неудивительно, поэтому, что среди учеников Платона были крупные математики, такие как Архит, Теэтет, Евдокс.

Альбин, написавший учебник платоновской философии, сообщает /3/: «Математику Платон допускает ради того, что она, по его мнению, изощряет мысль, оттачивает душу и позволяет достичь точности в исследовании бытия. Арифметика отучает нас от приблизительности, неопределенности и недостоверности чувственно воспринимаемого, помогает познать сущность. Так же и геометрия весьма способствует познанию блага, если, конечно, подходить к ней не ради практических целей. Крайне полезна и стереометрия. Полезна и астрономия, четвертая дисциплина, рассматривающая движение звезд по небу и самого неба, создателя ночи и дня, месяцев и лет. Пятой математической наукой является музыка». Такова иерархия математических наук (по степени приближенности к благу).
Изучение этих дисциплин есть своего рода введение к рассмотрению сущего: в своем стремлении постичь сущее геометрия, арифметика и связанные с ними дисциплины грезят о нем, хотя и не способны увидеть его въяве. Платон сам математиком не являлся, но вокруг его группировались выдающиеся математики того времени. Евдокс, непосредственный ученик Платона, сам учитель Евклида. Архит - пифагореец, но очень близкий платоновской Академии. Явно платоновские идеи проскальзывают в мировоззрении Архимеда (стеснялся своих технических достижений). Авторитет и влияние Платона на греческих математиков было весьма велико. Как водится, в истории сохранился яркий отрицательный пример такового. Плутарх пишет: «Знаменитому и многими любимому искусству построения механических орудий положили начало Евдокс и Архит, стремившиеся сделать геометрию более красивой и привлекательной, а также с помощью чувственных, осязаемых примеров разрешить те вопросы, доказательство которых посредством одних лишь рассуждений и чертежей затруднительно... Но так как Платон негодовал, упрекая их в том, что они губят достоинство геометрии, которая от бестелесного и умопостигаемого опускается до чувственного и вновь сопрягается с телами, требующими для своего изготовления длительного и тяжелого труда ремесленника, механика полностью отделилась от геометрии и, сделавшись одной из военных наук, долгое время вовсе не привлекала внимания философов». Тем не менее, само отношение и высокий ранг математики в системе наук Платона, а также гипотетико-дедуктивный метод - дитя Платона, который находит в математике свой апофеоз в «Началах...» Евклида, делают вклад Платона в математику огромным.
Вторая школа (после софистов), от которой отталкивался Платон при построении своей философии это натурфилософия. В диалоге «Федон», устами Сократа дается следующая характеристика натурфилософского знания:
«В молодые годы, - говорит Сократ, - у меня была настоящая страсть к тому виду мудрости, который называют познанием природы. Мне представлялось удивительным и необыкновенным знать причину каждого явления: почему что рождается и почему погибает и почему существует. И я часто метался из крайности в крайность, и вот какие вопросы задавал себе в первую очередь: когда теплое и холодное, взаимодействуя, вызывает гниение, не тогда ли, как судили некоторые, образуются живые существа? Чем мы мыслим - кровью, воздухом или огнем? Размышлял я и о разрушении всего существующего и о переменах, которые происходят в небе и на земле, - и все для того, чтобы, в конце концов, счесть себя совершенно непригодным к такому исследованию...» ибо «...утратил понимание даже того, что до этого казалось понятным,...окончательно ослеп и разучился даже тому, что знал прежде».
Отсюда ясно, что Платон иронизирует по поводу понятий, которыми оперировала старая натурфилософия, которые носили метафорический характер. Что значит «мыслить кровью, воздухом или огнем»? Разумеется, говоря о том, что мы мыслим, допустим, огнем, натурфилософ хотел тем самым показать, что из всех природных стихий огонь - самая легкая, быстрая, подвижная, и в этом его сходство с мышлением. Но ведь это метафора, т.е. аналогия, а не логическое понятие. А всякая метафора фиксирует только одну сторону явления, и, следовательно, явление можно описать бесчисленным множеством метафор, отражающим бесчисленное множество связей и сторон явления.
Платон устами Сократа указывает на отсутствие доказательства положения, которое выдвигает натурфилософ, ибо с помощью метафоры можно только показать, но не доказать явление. Он (натурфилософ) может указать аналогию в виде определенного частного явления, которая им распространяется на весь мир вообще. Метафорическое мышление родственно мифологическому, которое также не требует доказательства. Любое явление можно объяснить через что-то другое, а этих других - много. У Платона есть пример. Так двойку можно определить и как результат деления на две части одной какой-то единицы и как результат сложения двух раздельно существовавших единиц. Но ведь тогда мы даем разные определения двойки, мы берем ее в разных отношениях, значит, и двойки наши будут разные. То, что эти разные двойки подтверждают современные взгляды на природу числа (Р. Штейнер, Г. Кантор, Э. Биндель), которые наглядно демонстрируют противоположность 2-х подходов к числу:

связывая правый столбец с механистической(аналитической) философией и наукой, а левый с органической(синтетической).
Поэтому по Платону, прежде чем что-либо определять, надо понять, что такое определение. Прежде, чем что-либо понимать, надо выяснить, что такое понятие, прежде, чем мыслить надо дать себе отчет, что такое мышление. Натурфилософы оперировали в своих построениях такими понятиями как «влажное и сухое», «холодное и теплое», «сладкое и горькое», «твердое и мягкое». Исходя из этих противоположностей, они давали определение и объяснение природных явлений и процессов. Но эти определения, согласно Платону, не могут дать никакого доказательного знания, ибо они в строгом смысле определениями не являются. Натурфилософы имели, в сущности, дело с неопределенно-количественными характеристиками, с теми самыми «более или менее», которые не могут ухватить определяемый предмет, не могут ввести его в твердые границы, ибо не располагают для этого мерным отношением - числом /1/.
2. Платоновская математическая программа и ее выходы в физику. «Молекулярное» учение Платона.
Свое представление о природе Платон выразил в диалоге «Тимей»/4/. Платон считал, что чувственный мир (природа) не может быть предметом научного знания не только высшего (диалектика), но и промежуточного, математического уровня. Физика, по Платону, не может и не должна претендовать на статус науки - таковой является лишь математика «...нам приходится довольствоваться в таких вопросах правдоподобным мифом, не требуя большего». О вещах, относящихся к миру чистых идей, можно судить, согласно Платону, с уверенностью, все взвешивая, испытывая и разбирая чисто диалектическим путем. В области же природы, где наши знания основываются, главным образом, на наблюдениях, мы можем иметь суждение лишь «о наиболее правдоподобном». Причем и при рассмотрении природы «наиболее важными ему кажутся прежде всего математические законы природы, находящиеся за явлениями, а не сам многогранный мир явлений. Никакая другая задача науки о природе не кажется ему столь существенной, как задача открытия неизменных законов в постоянно меняющихся явлениях» /1/.
И, тем не менее, по мнению некоторых современных исследователей /5,6/ «всего лишь правдоподобная» модель физического мира Платона - является наиболее детально разработанным атомно-молекулярным учением античности. Впрочем, многие историки физики с этим не согласны. П.С. Кудрявцев / 7/: «Для истории физики воззрения их (Сократа и Платона) не представляют интереса». Б.Спасский /8/: «Деятельность Платона была реакционной и в области науки и в политической жизни. Однако, усомнимся в этом.
Предмет физики по Платону /3/ - изучение природы универсума (термин, обозначающий всю объективную реальность во времени и пространстве, у Платона - видимый мир), человек как живое существо и его место в мире, промысел божий о мировом целом и подчинение ему других богов, отношения между людьми и богами.
Универсум имеет 3 начала.
1. Материя. Платон называет ее «принимающей любые оттиски», всеприемницей, кормилицей, матерью и пространством. Ей свойственно вмещать всякое рождение, причем сама она остается лишенной формы, качества и вида, хотя и создает в себе их слепки и отпечатки. Материя, чтобы полностью вместить все виды, должна быть субстратом, совершенно их лишенным, не имеющем - ради восприятия видов - ни качества, ни вида.
2. Помимо материи Платон в качестве начал признает образец - идеи. Для материи идея есть мера. У Космоса, в частности, тоже есть свой первообраз.
3. бог-демиург (создатель).
Демиург создает из той сущности, которая неделима и вечно тождественна (образец-идея) и той, которая претерпевает разделение в телах (материя) путем смешения в третий, средний вид сущности - душу. Затем все три начала слил в единую идею живого Космоса, силой принудив не поддающуюся смешению природу к сопряжению с тождественным. Космос у Платона - живое и одушевленное тело, образцом и подобием этого живого и одушевленного космоса является и человек.
Однако, на этом не завершается создание космоса. Полученное единое целое Демиург, в свою очередь, разделил на нужное число частей (в соответствии с пифагорейским учением о пропорциональных отношениях) как 1/2/3/4/8/9/27. В этих отношениях выражается отношение сфер, вращающихся вокруг Земли, расположенной в центре, Луны (1), Солнца (2), Венеры (3), Меркурия (4), Марса (8), Юпитера (9), Сатурна (27). Последняя сфера - сфера неподвижных звезд, которая занимает особое место среди остальных сфер. В этих «долях» выражаются все виды пропорциональных отношений между числами: геометрическая, арифметическая и гармоническая пропорции. Далее идет достаточно сложная мистико-числовая теория.

Как видим, космогония Платона сама в значительной мере мифологична. Перейдем к другому уровню устроения материи.
Что есть природные стихии, элементы, из которых состоят вещи? Платон, как и Эмпедокл, выделяет четыре природных элемента: земля, вода, воздух, огонь. Демиург, по Платону, приступая к построению Космоса, начал с того, что упорядочил эти четыре рода с помощью образов и чисел. Платон говорит о частицах 4-х видов, соответствующих 4-м первообразам, первоэлементам, но в отличие от Эмпедокла, Демокрита и Эпикура, он подчеркивает их способность превращаться друг в друга. Скорее это четыре структурных, агрегатных состояния, ибо Платон подчеркивает: «имеющие свойства земли или воды, или воздуха, или огня». К землеобразным телам Платон относит камни, руды и тому подобные практически неплавящиеся вещества. Все расплавляющиеся тела относятся к «водообразным», все паро- и газообразные - к воздухообразным, а все воспламеняющиеся пары - к огнеобразным.
Но сущность первооснов определяется не тем, что мы различаем как свойства природных элементов и вообще воспринимаем с помощью нашего тела - что, например, огонь красен и горюч, а земля плотна, тяжела и непрозрачна и т.д. - все эти свойства чаще ничего не говорят нам о том, что такое огонь и земля сами по себе. Чтобы узнать это, нужно выяснить, с помощью каких образов и чисел упорядочил бог эти стихии, т.е. нужно выяснить математические определения этих стихий. И Платон получает геометрические образы первоэлементов исходя их следующих соображений:
- Огонь, земля, вода и воздух суть тела, следовательно, должны быть объемны. Четыре геометрических образа должны все же обуславливать основные физические свойства (твердость, плавкость, воздухообразность, огнеобразность)
- Первостихии по крайне мере 3-х видов (вода, воздух, огонь) должны превращаться друг в друга.
- «Научная эстетика». Первообразы (идеи) стихий должны быть правильными, эстетически и математически совершенными, а не как у Демокрита атомы - по форме крючки, веретена и т.п.
Как раз при жизни Платона математик Теэтет разработал геометрию правильных многогранников. Платон воспользовался этой математической новинкой.

Как известно из геометрии, возможны пять видов правильных многогранников - тетраэдр(1), октаэдр(2), икосаэдр(3), куб(4) и додекаэдр(5). У первых трех многогранников все грани одинаковы и представляют собой равносторонние треугольники, куб имеет квадратные грани, а додекаэдр - пятиугольные.
Платон приписал куб первообразу земли, потому что куб - самое устойчивое из геометрических тел, а земля отличается именно своей неподвижностью, устойчивостью. Огню - тетраэдр, ибо последний наиболее, вроде бы, сходствует с подвижной и легкой стихией огня, и к тому же имеет наиболее острые грани и углы (режет, жжет, всюду легко проникает). Аналогичны рассуждения о воздухе - октаэдре и воде - икосаэдре.
«Земле мы придаем кубическую форму - ибо среди этих четырех видов земля является наименее подвижной, а среди тел - наиболее крепкой. Равносторонняя четырехугольная плоскость и по своим частям и как целое неизбежно устойчивее, нежели равносторонняя треугольная. Приписывая земле эту основу, мы получаем наиболее вероятное представление. Воде мы, напротив, припишем из прочих возможностей менее трудноподвижную фигуру, огню наиболее легкоподвижную форму, а воздуху - промежуточную. Наименьшую телесность мы придаем огню, наибольшую, напротив, - воде, а воздуху - промежуточную. Из всех их то, что имеет меньше всего граней, должно быть наиболее подвижным и проникающим, поскольку оно наиболее остроконечно из всех прочих и к тому же легче из всех, ибо оно состоит из наименьшего числа однородных частей. Второе должно обладать этим во второй степени, а третье - в третьей»/4/.
Как уже говорилось, пифагорейцы и Платон считали элементом n-мерной фигуры n-1 - мерную фигуру. Следовательно, геометрические образы, т.е. объемные фигуры состоят из плоскостей, притом всякая плоскость состоит из треугольников, причем «первичны два прекраснейших треугольника - прямоугольные: неравнобедренный и равнобедренный. Один угол неравнобедренного треугольника прямой, другой две трети прямого, третий - одна треть
Из этих-то треугольников и состоят грани многогранников. На каждой из треугольных сторон тетраэдра, октаэдра и икосаэдра укладывается 6 неравносторонних треугольников, на каждой грани куба - 8 равнобедренных.

Эти то треугольники и являются «атомами» Платона (он, впрочем, не употреблял такого термина). Куб состоит из 8*6=24 равнобедренных прямоугольных треугольников, тетраэдр из 6*4=24 неравнобедренных, октаэдр - 6*8=48, икосаэдр - 6*20=120 прямоугольных треугольников. Последние три пустотелые фигуры могут, распадаясь на составляющие их треугольники, складываться заново, превращаясь друг в друга. Только куб (и додекаэдр), распадаясь, не могут превращаться затем в другую фигуру.
Фигуры элементов настолько малы, что «каждое отдельное составляющее всех этих видов само по себе не может быть видимо нами, но множество их становится заметным».
Многогранники вовсе не эквивалентны атомам, как это иногда указывается, а скорее соответствуют чему-то вроде «молекул» (а м.б. и кристаллов), т.е. структурных составляющих данного агрегатного состояния. «Этим четырем - не буквам, клянусь Зевсом, а слогам, - космический демиург придал очертания пирамиды, куба, октаэдра, икосаэдра /3/. А вот треугольники - своеобразные «атомы», хотя о делимости или неделимости их Платон нигде не говорит, судя по всему, считая подобные термины неприемлемыми.
Существуют разногласия во мнениях, считать ли эти треугольники физическими частицами (имеющими, пусть и малый, объем и массу) или чисто математическими конструкциями. Дорфман /5/ склоняется к первому мнению Действительно, Платон упоминает о весе многогранников, он упоминает, что треугольники в реальных многогранниках скреплены между собой бесчисленным множеством штифтов, незримых, благодаря их малости, между тем, как в идеальной модели (идее) они скреплены нерушимыми связями. Большинство же имеет второе суждение. Еще Аристотель отмечает: «Платон в Тимее говорит, что материя и пространство - одно и то же». А намеки Платона на «физичность» можно отнести за счет того - «не истинного, а лишь правдоподобного» - способа рассуждения, о котором упомянуто ранее. Судя по всему, Платон действительно не разделял материю и пространство. Материя (атомы) понимается не как вещество, а как пространство. Треугольники представляются как дискретные порции континуума. В.Гейзенберг /6/отмечает близость фигур и треугольников как математических элементов идеям современной физики о том, что элементарная частица есть математическая формула, только значительно более сложная, чем «геометрическая формула» Платона.
Итак, вода, воздух и огонь могут переходить друг в друга. Землееобразные же тела не могут участвовать в подобных превращениях. В тех случаях, когда «землеобразные тела» как будто плавятся, Платон рассматривает такой переход лишь как временное расчленение кубических частиц под ударами проникающих в промежутки между ними «острых и колючих» тетраэдров огня. Также и растворение твердых веществ в воде происходит при благоприятных обстоятельствах, когда октаэдры жидкого растворителя проникают в промежутки между кубами твердого тела и, так сказать, размывают его.
Процессы взаимного превращения многогранников осуществляются благодаря непосредственным столкновениям движущихся структурных частиц с частицами огня или друг другом. Движения же частиц возникают исключительно вследствие наличия неоднородностей. Платон подчеркивает, что в строго однородной среде никогда не может возникнуть движение.
Все эти превращения он представляет себе настолько наглядно, что даже составляет уравнение, которое в современном написании имеет вид:
1 «вода» = 2 «воздуха» + 1 «огонь»
Или, по числу первичных треугольников 120 = 2*48+24. Это первое в истории науки уравнение баланса. Более того, оно мало отличается от современного термохимического уравнения:
H2O = H2 + 0.5O2 + Q,
Где слева находится одна вода, а справа 1.5 газа («воздуха») и Q - тепловой эффект реакции («огонь»). Тем более, что в «огне» Платон различал несколько видов: свет, пламя, а также то, что остается от огня в накаленных телах, когда пламя потушено, т.е. некая материя тепла (теплород - понятие очень важное в истории химии).
Далее, Платон вовсе не уподобляет все водообразное именно воде. Существует множество водообразных икосаэдров, отличающихся только размерами, каждый из которых соответствует конкретному водообразному веществу. Также и для остальных агрегатных состояний. Земля же это не столько твердое, сколько неплавящееся вещество. «Что касается тел, которые мы назвали плавкими, то наиболее плотное среди них, образуется из наиболее тонких и наиболее однородных частиц... и характеризуется своим блеском и желтым цветом. Это золото. Нечто близкое золоту по составным частям («молекулам»), но заключающее в себе более одного их вида (по размерам), а по плотности стоящее еще выше золота, принявшее в себя для увеличения твердости малую и тонкую часть земли, но вследствие больших внутренних промежутков более легкое, образовало один из блестящих и застывших видов воды - бронзу. Но то, что ей примешано от земли, получило название ржавчины, когда от давности оба рода отделяются друг от друга, и примесь вновь обособляется. Вовсе не трудно дать себе отчет в других явлениях такого рода, если следовать выявлению наиболее вероятного»/4/.
Вот, например, процесс затвердевания жидкости (это не процесс перехода икосаэдра в куб, а процесс уплотнения икосаэдров). «Бывает, что огонь вновь удаляется из воды (между икосаэдрами тетраэдры), а поскольку он уходит не в пустоту, то окружающий воздух, теснимый огнем, давит на еще легкоподвижную, жидкую массу, заставляет ее заполнить те промежутки, где ранее находился огонь, и вплотную прижимается к ней. Сжатая таким образом жидкость, вновь становится однородной, поскольку огонь, создавший в ней неоднородность, удалился, и она снова превращается в сплошную массу. Удаление огня было названо охлаждением, а уплотнение, сопровождающее этот уход огня, получило название затвердевания». Т.о. «жидкость» жидка, когда в ней присутствуют неоднородности (связанные с наличием огня) и, тем самым, ее частицы приобретают возможность движения. Существуют также виды жидкости, которые в силу наличия частиц (икосаэдров) разных размеров неоднородны, а, следовательно, подвижны и жидки.
Надо сказать, что эти рассуждения значительно более ясны, правдоподобны и близки современным представлениям, чем рассуждения об этих же явлениях Эпикура, да и всех других философов античности. Человеку, знающему учение о фазовых равновесиях, подход Платона представляется весьма плодотворным. Дорфман на основе текста «Тимея» формулирует три правила фазового равновесия:
1. Однофазная, однородная система находится в устойчивом равновесии, и в ней не происходят никакие движения или изменения.
2. В двухфазной системе фаза, количественно преобладающая и более устойчивая, постепенно либо уничтожает, либо вытесняет менее устойчивую фазу.
3. Наоборот, в двухфазной системе менее устойчивая фаза или находящаяся в меньшем количестве, должна либо исчезнуть путем превращения в преобладающую фазу, либо выделиться из смеси.
Таким образом, за счет проясненности понятий и самой логики рассуждений и убежденности (родственной пифагорейской), что строение и функционирование Вселенной основано на неизменных количественных закономерностях «идеалист» Платон способен объяснить природные явления более точно, чем современные ему «материалисты» (Демокрит, Эпикур).
Учение Платона о первообразах имело развитие. Прокл (410- 485 гг. н.э.) подчеркивал, что «концепция о способности острого угла вызывать нагревание, ошибочна. Помимо этого (для режущей способности) требуется еще быстрота движения». Так впервые была высказана идея о том, что частички огня или тепла должны обладать быстрым движением.
Плодотворность школы Платона объясняется ее не догматичностью в физике. Прокл/3?/: «...возможно, что пифагорейцы и Платон вовсе не постулировали строение предметов из треугольников как нечто абсолютное. Эта их процедура подобна тому, как различные астрономы строили гипотезы, основанные на твердом убеждении, что особенности небес не являются тем, чем они кажутся, но можно «спасти явление» (рационально объяснить), если принять за основу предполо