Аксиомы сложения и умножения вероятностей

Объединением (или суммой) нескольких случайных событий называется событие, состоящее в осуществлении по крайней мере одного из данных событий. Объединение событий А₁, А₂,..., А_nобозначается через А₁∪ А₂∪... ∪ А_n или А₁ + А₂ +... + А_n. Если объединяемые события несовместны (никакие два из них не могут произойти одновременно), то вероятность объединения нескольких событий равна сумме вероятностей объединяемых событий (аксиома сложения вероятностей):

P(А₁∪ А₂∪... ∪ А_n) = P(А₁) + P(А₂) +... + P(А_n)

Событие, состоящее в ненаступлении случайного события А, называется событием, противоположным событию А, и обозначается через . Объединение событий А и дает событие достоверное, а так как события А и несовместны, то

P(A) + P() = 1, или Р() = 1 - Р(А).

Если в результате данного испытания может наступить лишь одно из несовместных событий А₁, А₂,..., А_n, то события А₁, А₂,..., А_n образуют так называемую полную группу событий. Так как объединение событий полной группы является событие достоверным, то для таких событий имеет место равенство

P(А₁) + P(А₂) +... + P(А_n) = 1

Пересечением (или совмещением, произведением) двух случайных событий А₁ и А₂называется сложное событие, заключающееся в одновременном или последовательном осуществлении обоих событий. Совмещение событий А₁ и А₂ обозначается через А₁∩А₂ или А₁А₂. Под условной вероятностью события А₂ по отношению к событию А₁ [обозначается Р(А₂/А₁)] понимается вероятность осуществления события А₂, определенная в предположении, что событие А₁имело место. Вероятность совмещения двух событий А₁ и А₁ равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго по отношению к первому (аксиома умножения вероятностей):

P(А₁∩А₂) = P(А₁) · Р(А₂/А₁) = P(А₂) · Р(А₁/А₂).

Два случайных события А₁ и А₂ называются независимыми, если условная вероятность одного из них по отношению к другому равна безусловной вероятности этого же события: Р(А₂/А₁) = P(А₂). В этом случае имеют место равенства:

P(А₂/ ₁) = P(А₂/A₁) = P(А₂); P(А₁/A₂) = P(А₁/ ₂) = P(А₁);

Для независимых событий вероятность их совмещения равна произведению их вероятностей:

P(А₁∩А₂) = P(А₁) · Р(А₂)

Пример 1. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих, 254 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: белый; черный; синий; красный; белый или черный; красный или синий; белый,черный или синий.

Решение. Имеем n=10+15+20+25=70, Р(Б)=10/70=1/7, Р(Ч)=15/70=3/14, Р(С)=20/70=2/7, Р(К)=25/70=5/14. Применив аксиому сложения вероятностей получим:

Р(Б+Ч)=Р(Б)+Р(Ч)=1/7+3/14=5/14

Р(С+К)=Р(С)+Р(К)=2/7+5/14=9/14

Р(Б+Ч+С)=1 - Р(К)=1-5/14=9/14

Пример 2. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров, во втором ящике 8 белых и 4 черный шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?

Решение. В данном случае речь идет о совмещении событий А и В, где событие А – появление белого шара из первого ящика. При этом В и А – независимые события. Имеем Р(А)=2/12=1/6, Р(В)=8/12=2/3. Применим аксиому умножения вероятностей, находим:

Р(А*В)=(1/6)*(2/3)=1/9

Пример 3. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго - 0,8, для третьего - 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель и вероятность того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.

Решение. Имеем Р(A) = 0,75, P(B)=0,8, P(C)=0,9. Тогда вероятность, что все три стрелка попадут в цель Р(А∩В∩С)=P(A)·P(B)·P(C)=0,75·0,8·0,9=0,54.

Вероятность промаха первого стрелка: Р()=1-Р(А)=1-0,75=0,25. Вероятность промаха второго и третьего стрелка соответственно 0,2 и 0,1. Тогда вероятность одновременного промаха всех стрелков 0,25·0,2·0,1=0,005. Но событие, противоположное к этому, является событие, заключающееся в поражении цели хотя бы одним стрелком. Следовательно, искомая вероятность равна 1-0,005=0,995.