Абсолютная и условная сходимости рядов

Возьмем знакопеременный ряд , где числа могут быть как положительными, так и отрицательными, причем их расположение в ряде произвольно.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда .

Определение: Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов .

Из сходимости ряда следует сходимость ряда .

Определение: Если ряд расходится, а сам знакопеременный ряд сходится, то он называется условно сходящимся.

Так как ряд является рядом с положительными членами, то для исследования вопроса о его сходимости можно применять рассмотренные раннее признаки сходимости: признаки сравнения, Даламбера, интегральный и др.

 

Пример 1: Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Решение: Составим ряд из модулей: - это гармонический ряд, он расходится. Для исследования на сходимость исходного знакочередующегося ряда применим признак Лейбница: - первое условие выполнено;

- второе условие выполнено.

Таким образом, по признаку Лейбница ряд сходится.

Так как ряд из модулей расходится, а сам знакочередующийся ряд сходится, значит, он сходится условно.

Пример 2: Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов дан-

ного ряда: - это обобщенно-степенной ряд. Так как показатель степени , то он сходится. Если сходится ряд из модулей, то знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

 

Степенные ряды

Определение: Выражение вида называется функциональным рядом.

Определение: Степенным рядом называется функциональный ряд вида где x – независимая переменная, - фиксированное число, - постоянные коэффициенты.

При степенной ряд принимает вид:

.

Определение: Областью сходимости степенного ряда называется совокупность всех значений x, при которых данный ряд сходится.

 

Нахождение области сходимости состоит из двух этапов:

1) Определяется интервал сходимости степенного ряда, т.е. интервал числовой оси, симметричный относительно точки x=0 и обладающий тем свойством, что при всех - ряд сходится. R – радиус сходимости находится по формуле: .

2) Исследуется сходимость ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках x= -R и x=R.

В зависимости от результатов исследования, область сходимости запишется одним из следующих неравенств:

или ;

или ;

или ;

или .

Для степенного ряда вида интервал сходимости имеет вид или .

Пример 1: Найти область сходимости степенного ряда .

Решение: Найдем радиус сходимости степенного ряда.

В данном случае , тогда

Запишем интервал сходимости: . Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При получаем числовой ряд - это гармонический ряд, он расходится.

При получаем знакочередующийся ряд . Исследуем его на сходимость с помощью признака Лейбница: и

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно ряд сходится.

Рассмотрим ряд из модулей его членов . Как показано выше данный ряд расходится. Отсюда можно сделать вывод, что при заданный степенной ряд сходится условно.

 

Ответ: Область сходимости ряда .