Область существования функции

Задача2.19

Найти область существования функции .

Решение.

Заданная функция – целая рациональная функция. Ее областью существования являются бесконечный интервал , или в другой записи .

Задача2.20

Найти область существования функций:

1) ;

2) ;

3) .

Решение.

1) Функция —дробная рациональная функция. Она существует при всех значениях независимой переменной , кроме тех, которые обращают в нуль ее знаменатель, т.е. в данном случае кроме . Область существования этой функции состоит из двух бесконечных интервалов и , или в другой записи и .

2) Функция также определена при всех значениях , кроме того его значения, при котором , т.е. кроме . Область существования состоит из двух бесконечных интервалов ; , или в другой записи ; .

3) Решив уравнение , найдем, что . Область существования функции состоит из двух бесконечных интервалов ; , или в другой записи и .

Задача2.21

(для самостоятельного решения). Определить область существования функций:

1) ;

2) .

Ответ.

1) ; , или и .

2) ; , или и .

Задача2.22

Найти область существования функции .

Решение.

Заданная функция – дробная рациональная функция. Она определена при всех действительных значениях , кроме тех, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. кроме значений и (эти значения найдены из уравнения ). Область существования заданной функции состоит из трех интервалов: ; ; , или в другой записи: ; ; .

Задача2.23

(для самостоятельного решения). Определить область существования функций:

1) ;

2) .

Ответ.

1) Область существования состоит из трех интервалов: ; ; .

2) Область существования состоит из трех интервалов: ; ; .

Задача2.24

Найти область существования функции .

Решение.

Приравняв нулю знаменатель дроби и решив квадратное уравнение , убедимся что его корни – комплексные числа: . Ни при одном действительном значении многочлен в ноль не обращается. Поэтому заданная функция определена при всех действительных значениях . Ее областью существования является бесконечный интервал .

Задача2.25

(для самостоятельного решения). Найти область существования функций:

1) ;

2) .

Ответ.

1) Бесконечный интервал .

2) Бесконечный интервал .

Задача2.26

(для самостоятельного решения). Найти область существования функций:

1) ;

Ответ.

1) Функция существует в двух бесконечных интервалах: и , т.е. При любом значении , кроме .

2) Знаменатель дроби имеет один действительных корень . Функция существует в двух бесконечных интервалах: и , т.е. при любом значении , кроме .

Задаче2.27

(для самостоятельного решения). Найти область существования функций:

(знаменатель дроби имеет действительный корень );

Решение.

1) Для того чтобы функция принимала только действительные значения, величина , стоящая под корнем, не должна принимать отрицательных значений, т.е. должно быть , откуда . Областью существования функции является совокупность действительных значений , меньших или равных 2, т.е. полуотрезок .

2) Чтобы определить область существования функции, составим неравенство , из которого получаем, что .

Задача2.28

(для самостоятельного решения). Найти область существования функций:

1) и 2) .

Ответ.

1) Полуотрезок .

2) Полуотрезок .

Задача2.29

Найти область существования функций

1) ;

2) ;

3) .

Решение.

1) Выражение принимает действительное значение, когда , т.е. когда . Но при имеем , знаменатель дроби обращается в ноль, дробь теряет числовой смысл, а поэтому значение не может входить в область существования функции. Значит, функция существует при значениях , область существования представляет собой бесконечный интервал .

2) Областью существования функции является бесконечный интервал .

3) Область существования состоит из двух бесконечных интервалов и . Это же заключение можно записать с помощью неравенств: и .

Задача2.30

(для самостоятельного решения). Определить область существования функций:

1) ;

2) ;

3) .

Ответ.

1) Два бесконечных интервала ; .

2) Бесконечный интервал .

3) Бесконечный интервал .

ТРЕТЬЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

Содержание. Продолжение упражнений в определении области существования функции.

Задача 3.1

Найти область существования функций:

1) ;

Решение.

1) Для того чтобы функция принимала только действительные значения, надо, чтобы , т.е. . Это неравенство выполняется тогда, когда и , и, таким образом, область существования функции состоит из двух полуотрезков: и , или в другой записи и .

2) Должно выполнятся неравенство , т.е. . Отсюда следует, что и .

Областью существования функции является отрезок .

Это можно записать иначе: .

Задача 3.2

(для самостоятельного решения). Найти область существования функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Ответ.

1) Отрезок , иначе .

2) Два полуотрезка и , иначе и .

3) Интервал , или (значения отбрасываются, так как при знаменатель дроби обращается в ноль и дробь теряет числовой смысл).

4) Два интервала и , или и (значения отбрасываются, так как при знаменатель дроби обращается в ноль и тем самым дробь теряет числовой смысл).

Задача 3.3

(для самостоятельного решения). Определить область существования функции .

Указание. Должно выполнятся неравенство .Для определения тех значений ,при которых это имеет место следует решить системы неравенств:

Из решения этих неравенств следует, сто областью существования является полуотрезок и интервал . Это можно записать иначе: и . Значение рассматриваться не может, так как тогда и дробь теряет числовой смысл.

Задача 3.4

(для самостоятельного решения). Найти область существования функции .

Указание. Рассмотрим неравенство .

Ответ.

и .

Задача 3.5

Найти область существования функции .

Решение.

Учитывая, что если основание логарифмов положительно, то ни ноль ни отрицательное числа логарифмов не имеют, область существования данной функции найдем из требования, чтобы , откуда следует, что должно быть . Функция существует для значений , т.е. на бесконечном интервале .

Задача 3.6

(ля самостоятельного решения). Найти область существования функций.

1) ;

2) .

Ответ.

1) ;

2) и .

Указание. В случае 2) рассмотреть неравенство .

Задача 3.7

(для самостоятельного решения). Найти область существования функции .

Ответ.

и , т.е. Функция определена при любом значении , кроме .

Задача 3.8

Найти область существования функции .

Решение.

Функция определена при любом значении аргумента . Значит, выражение , стоящее под знаком синуса, может принимать любое значение, откуда следует, что может принимать любое значение. Областью существования функции является бесконечный интервал . Это заключение можно написать и иначе: .

Задача 3.9

(для самостоятельного решения). Найти область существования функции .

Ответ.

Все действительные числа кроме и .

Задача 3.10

Найти область существования функции .

Решение.

Функция определена при всех действительных значениях , кроме . Где —любое целое число. Значит, в нашем случае величина , стоящая после знака тангенса, не должна быть равна , т.е. , а . Таким образом, область существования функции состоит из всех действительных чисел, кроме значений , где —любое целое число.

Задача 3.11

(для самостоятельного решения). Найти область существования функций: 1) ; 2) ; 3) и .

Ответ.

1) Множество всех действительных чисел, кроме значений .

2) Множество всех действительных чисел, кроме значений .

3) Множество всех действительных чисел, кроме .

4) Множество всех действительных чисел, кроме .

(всюду —любое целое число)

Задача 3.12

Найти область существования функции .

Решение.

Областью существования функции является отрезок . Поэтому область существования данной функции указывается неравенствами . , откуда уже следует, что функция существует для значений .

Задача 3.13

(для самостоятельного решения). Найти область существования функций:

1) ;

2) .

Ответ.

1) .

2) .

Задача 3.14

(для самостоятельного решения). Найти область существования функций:

1) ;

2) .

Ответ.

1) .

2) .

Задача 3.15

(для самостоятельного решения). Найти область существования функции .

Ответ.

Данное аналитическое выражение не определяет никакой функции, так как ни при одном значении не имеют место неравенства .

Указание. К решению задач 3.16—3.23.

Если требуется область существования алгебраической суммы некоторых функций, то надо поступить так:

1) Определить область существования каждой из слагаемых функций;

2) Определить часть, общую для всех найденных областей. Эта общая часть и будет искомой.

Если такой общей части у областей, найденных в п.1), не окажется, то заданное аналитическое выражение, представляющее алгебраическую сумму нескольких функций, не определяет никакой функции в области действительных чисел.

Это указание распространяется также на производные нескольких функций и на частное двух функций, причем при определении области существования частного двух функций должны быть исключены точки, в которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Задача 3.16

Найти область существования функции .

Решение.

Областью существования функции является совокупность всех значений , удовлетворяющих неравенству , т.е. интервал .

Областью существования степенной функции является интервал .

Общей частью этих двух интервалов является интервал . Таким образом, данная функция существует для значений .

Задача 3.17

Найти область существования функции .

Решение.

Функция существует для значений . Функция существует для значений .

Общей частью найденных двух областей является отрезок , а поэтому данная функция существует для значений .

Задача 3.18

(для самостоятельного решения). Найти область существования функции .

Ответ.

, т.е. отрезок .

Задача 3.19

(для самостоятельного решения). Найти область существования функции

Ответ.

, т.е. .

Задача 3.20

(для самостоятельного решения). Найти область существования функции .

Ответ.

Функция существует для значений и ,т.е. в интервалах и .

Задача 3.21

(для самостоятельного решения). Найти область существования функции .

Ответ.

Функция существует при всех значениях , кроме значений , где —любое целое число.

Задача 3.22

Найти область существования функции .

Решение.

Функция существует в бесконечном интервале .

Функция существует в интервалах и . Но следует иметь ввиду, что функция стоит в знаменателе дроби, а поэтому из этих двух интервалов надо исключить точки, в которых эта функция, обращается в нуль, т.е.точки, для которых , или , а . Таким образом, функцию следует рассматривать в интервалах:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Общей частью, принадлежащей бесконечному интервалу , в котором определена функция , и только что найденными интервалами являются именно эти интервалы, а поэтому данная функция существует в интервалах:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Задача 3.23

(для самостоятельного решения). Найти область существования функции .

Ответ.

Два бесконечных интервала: и .

ЧЕТВЕРТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

Содержание. Построение графиков функции.

Это практическое занятие посвящается упражнениям на построение графиков функций, заданных аналитически.

В инженерной практике с построением графиков функций приходится встречаться очень часто. При изучении таких предметов, как сопротивление материалов, теория упругости, гидравлика, электротехника, радиотехника, к построению графиков функций приходится прибегать буквально на каждом шагу.

Поэтому студенту следует с исключительной серьезностью отнестись к этому практическому занятию.

К построению графиков более сложных функций мы еще возвращаемся на практическом занятии №35 и используем для этого уже аппарат дифференциального исчисления.