Рента постнумерандо (обычная рента)

Финансовые операции часто предполагают не разовые платежи, а последовательность платежей во времени. Например, погашение задолженности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплата пенсий и т.д. Такие последовательности платежей называются потоком платежей. Отдельный элемент этого потока называется членом потока. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называется финансовой рентой (аннуитетом). Рента характеризуется следующими параметрами: член ренты (R) – размер отдельного платежа, период ренты – временной интервал между двумя последовательными платежами, срок ренты (n) – время от начала первого периода ренты до конца последнего периода, процентная ставка (i).

Классификация ренты:

1. По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые (выплата один раз в году) и p -срочные (p – число выплат в году).

2. По количеству начислений процентов в году ренты делятся на ренты с ежегодным начислением процентов, с начислением m раз в году, с непрерывным начислением.

3. По величине своих членов ренты делятся на постоянные (с одинаковыми платежами) и переменные. Члены переменных рент изменяют вои размеры во времени, следуя какому-либо закону, например, арифметической или геометрической прогрессии, либо неистематично (задаются таблицей).

4. По вероятности выплат ренты делятся на верные (платежи идут в любом случае) и условные (выплаты происходят в зависимости от наступления некоторого случайного события). В случае верной ренты число членов ренты заранее известно. В условной ренте число ее членов заранее неизвестно. Примером условной ренты является пенсионное страхование, когда выплата пенсии производится при достижении установленного возраста.

5. По количеству членов ренты делятся на ренты с конечным числом членов, т.е. ограниченные по срокам и бесконечные или вечные ренты.

6. По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты (например, начало действия контракта или дата его заключения), ренты делятся на немедленные и отложенные или отсроченные.

7. По моменту выплат платежей в пределах периода ренты делятся на постнумерандо (если платежи идут в конце периода) и пренумерандо (если платежи производятся в начале периода).

 

Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо

 

Наращенная сумма (S) – это сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

1. Годовая рента (платежи идут раз в году). Сумма для первого платежа, проценты на который будут начисляться (n - 1) раз составит R(1+i)^n-1. Для второго платежа проценты будут начисляться на один год меньше и наращенная сумма составит R (1 + i)^n-2. На последний платеж, произведенный в конце n -ого года, проценты не начисляются. Таким образом, поток платежей образует последовательность R(1+i)^n-1, R (1 + i)^n-2, …, R. Перепишем этот ряд в обратном порядке R, R (1 + i), …, R (1 + i)^n-2, R(1+i)^n-1

Как видно, он представляет геометрическую прогрессию со знаменателем (1+ i) и первым членом R. Число членов прогрессии равно n. Наращенная сумма S равна сумме членов геометрической прогрессии. Используя формулу для нахождения суммы членов геометрической прогрессии, известную из курса математики средней школы, можно вывести формулу наращенной суммы ренты постнумерандо:

S = R .

Множитель называется коэффициентом наращения ренты. Значения коэффициентов наращения для различных i и n приводятся в специальных таблицах.

Аналогично выводятся формулы для других рент.

 

2. Годовая рента, начисление процентов m раз в году:

S = R .

3. Рента p-срочная начисление процентов 1 раз в год:

S = R .

 

4. Рента p-срочная, начисление процентов m раз в году (m = p):

S = .

Пример 20.

Создается фонд, взносы производятся в течение 10 лет в конце года по 40 тыс. руб. на собранные средства начисляются проценты по ставке 10% годовых. Определить размер фонда к концу срока.

Решение:

Рента годовая, постнумерандо, начисление процентов один раз в году, поэтому используем формулу:

S = R = 40000 = 63748 (руб.).

Пример 21.

Взносы в специальный фонд вносятся в конце каждого квартала с ежеквартальным начислением процентов по номинальной ставке 80% годовых. Определите размер взноса для накопления в течении 5 лет суммы 10 млн.руб.

Решение:

Рента p -срочная постнумерандо (p = 4), начисление процентов 4 раза в году (p = m = 4). Используем формулу:

S = .

10000000 = R , откуда получаем R = 260840,5 (руб.)

Размер ежегодного взноса составляет 260840,5 руб., размер платежа в квартал – 65210,13 руб.

 

Современное значение ренты постнумерандо

 

Под современным значением (А) понимают сумму всех членов ренты, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени.

1. Годовая рента постнумерандо

Дисконтированная величина первого платежа равна , второго платежа , для последнего платежа . Как видим эти величины образуют ряд R (1 + i)^-1, R (1 + i)^-2, …, R (1 + i)^-n. Сумма этого ряда определяется по формуле суммы членов геометрической прогрессии

A = R .

Аналогично выводятся формулы для других рент.

2. Рента годовая, начисление процентов m раз в году:

A = R .

3. Рента p-срочная, начисление процентов один раз в году

A = R .

4. Рента p-срочная, начисление процентов m раз в году (p =m):

A = R .

Пример 22.

Рента постнумерандо характеризуется следующими параметрами: R = 4000 руб., n = 5, i = 18,5% годовых. Определить современную стоимость ренты.

Решение:

Рента годовая, поэтому используем формулу:

A = R = 4000 = 12369,7 (руб.)

То есть все будущие платежи оцениваются в настоящий момент в сумме 12369 руб. Эта сумма обеспечивает ежегодную выплату по 4000 руб. в течении 5 лет.

Рента пренумерандо

 

Аннуитет пренумерандо предполагает выплату в начале периода. Различие между рентами постнумерандо и пренумерандо заключается в числе периодов начисления процентов. Каждый член поступлений из указанных рент «работает» на дин период больше, чем в ренте постнумерано. Обозначим – наращенная сумма ренты пренумерандо, Ä – современное значение ренты пренумерандо. Эти величины определяются на основе S и A ренты постнумерандо.