Понятие о теории проверки статистических гипотез

Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой и обычно обозначается . Наряду с рассматривают альтернативную (конкурирующую) гипотезу , то есть ту гипотезу, которая будет принята в случае, если нулевая гипотеза отвергается. Пусть, к примеру, рассматривается гипотеза о значении параметра т нормальной совокупности: : . Для этой гипотезы можно выдвинуть различные альтернативы:

Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретной формулировкой задачи.

Говорят, что такой подход к проверке статистических гипотез основан на статистическом критерии, или критерии значимости. Построение решающего правила на основе критерия значимости можно разбить на следующие основные шаги.

1. Сформировать нулевую () и альтернативную () гипотезы.

2. Назначить уровень значимости . В качестве уровня значимости обычно выбирается вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута. Поэтому - малое положительное число.

3. Выбрать статистику критерия для проверки гипотезы .

4. Найти плотность распределения статистики критерия в предположении, что гипотеза верна.

5. Определить на числовой оси критическую область из условия (условная вероятность того, что Z попадает в область , при условии, что гипотеза верна). Область в этом том случае называется областью принятия решения. Условия, задающие критическую область, называются просто критерием.

6. По выборке вычислить выборочное значение статистки критерия.

7. Принять решение:

· если, гипотеза отклоняется (то есть принимается гипотеза ):

· если , гипотеза не отклоняется.

Принятое решение носит вероятностный, случайный характер. Поэтому обычно применяют более осторожные формулировки. Вместо того чтобы сказать "гипотеза отклоняется, говорят: “данные эксперимента не подтверждают гипотезу ”, “гипотеза не согласуется с экспериментом ”.

По поводу предложенной схемы можно заметить следующее.

Значение уровня значимости не определяет критическую область однозначно.

Зная плотность распределения статистики , можно выделить сколько угодно областей на числовой оси, вероятность попадания в которые равна . В частности, этому условию удовлетворяют области , или , где через обозначены квантили распределения статистики .

Именно эти критические областиобычно и применяются. Критерий в этих случаях называют соответственно правосторонним, левосторонним или двухсторонним. На практике выбор критической области обычно определяется видом альтернативной гипотезы.