Классическое определение вероятности

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

образования "Уральский государственный университет им. А.М. Горького"

 

Факультет "Связи с общественностью и рекламы"

 

Учебно-методическое пособие по курсу

Основы статистики

 

 

Екатеринбург

Шкалы измерений.

Номинальная шкала ‑ позволяет различать объекты

Дихотомическая шкала – номинальная с двумя пунктами

Ранговая шкала – позволяет упорядочить объекты, но не нельзя определить разность.

Интервальная шкала – диапазон изменения параметра разбивается на заданное число интервалов. Позволяет сравнивать объекты и выполнять основные математические операции, но ноль шкалы может не соответствовать отсутствию измеряемого свойства.

Относительная или шкала отношений ‑ наиболее совершенная. Происходит сравнение измеряемой величины с заданной единицей. Позволяет проводить любые математические операции с результатами измерений.

Случайное событие

Событие называется детерминированным, если в результате опыта оно происходит или не происходит наверняка. В детерминированном случае мы точно знаем, что данная причина приведет к единственному, вполне определенному следствию.

Событие называется случайным, если в результате опыта мы не можем заранее предсказать - произойдет событие или нет. При этом предполагается, что опыт можно повторять неограниченное число раз при неизменных условиях.

События, исход которых нельзя предсказать, но и невозможно повторять многократно, называются неопределенными.

События и называются несовместными, если появление одного исключает появление другого.

Событие следует из события , если событие происходит всегда, когда произошло событие . Это обозначается тем же символом, что и подмножество: . Будем говорить о равенстве двух событий и , если из следует и из следует .

Событие называется невозможным, если оно не может произойти никогда при данных условиях.

Событие называется достоверным, если оно происходит всегда при данных условиях.

Пусть случайный эксперимент проводится раз, и событие A произошло раз. Тогда говорят, что относительная частота события есть . Частота события связана с его вероятностью.

Относительную частоту называют еще эмпирической вероятностью именно потому, что по частоте события мы оцениваем возможность его появления в будущем. Эмпирическую вероятность будем обозначать . Знак ~ (тильда) указывает на то, что это эмпирическая вероятность, а - количество случайных экспериментов:

Свойства эмпирической вероятности. Для любого случайного события

.

Алгебра событий.

Суммой двух событий и называется событие , состоящее в том, что произошло событие или событие . В данном случае "или" употребляется в не исключающем значении: А или означает, что произошло событие , событие или оба этих события одновременно. Сложение событий удовлетворяет коммутативному и ассоциативному законам:

,

.

Коммутативность и ассоциативность позволяют складывать любое число событий в любом порядке. Свойство: из события следует сумма этого события с любым бытием :

.

Произведением двух событий и называется событие , состоящее в том, что события и произошли одновременно. Умножение событий так же, как и сложение, коммутативно и ассоциативно:

,

.

Свойство: из события следуют событие и событие

и .

Сложение и умножение событий удовлетворяют двум дистрибутивным законам.

Разностью событий и называется событие , состоящее в том, что произошло событие и не произошло событие .

Событие называется противоположным событию , если оно состоит в том, что не произошло событие .

 

Элементарные исходы

· не представимы в виде суммы двух других

· попарно несовместны

· никакие другие исходы в результате опыта произойти не могут

События образуют полный набор, если они несовместны, а их сумма есть достоверное событие. Полный набор исходов называют также пространством элементарных исходов и обозначают обычно буквой .

Элементы комбинаторики

Число перестановок определяется функцией (n - факториал, произведение целых чисел от 1 до n). Иное определение факториала: .

Число расстановок

Число сочетаний

Некоторые свойства:

,

5. Основные теоремы: вероятность суммы событий, вероятность произведения.

Пусть и - несовместные события. Тогда , то есть эмпирическая вероятность суммы несовместных событий равна сумме их эмпирических вероятностей..

Данное свойство выполняется для любого конечного набора попарно несовместных событий :

Пусть события образуют полный набор. Тогда

 

Классическое определение вероятности

Вероятностью Р(А) события называется отношение числа благоприятных исходов т(А) к общему числу несовместных равновозможных исходов:

Свойства вероятности.

I. Для любого случайного события А .

2. Пусть события и несовместны. Тогда .