Теорема существования двойного интеграла

Н.С. Шулаев, Т.В. Григорьева

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ, ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И

ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

.

 

 

Учебное пособие

 

 

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

Н.С. Шулаев, Т.В. Григорьева

 

КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ, ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И

ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

 

 

Учебное пособие

 

Уфа 2011

УДК 517.37

ББК 22.161.1

Ш96

 

 

Утверждено Редакционно-издательским советом УГНТУ в качестве учебного пособия

 

Рецензенты:

 

Зав. кафедрой АТИС филиала ФГБОУ ВПО УГНТУ в г.Стерлитамаке, д.т.н., профессор А.И.Каяшев

кандидат физико-математических наук, доцент СГПА им. Зайнаб Биишевой З.А.Булатова

.

Шулаев Н.С., Григорьева Т.В.

 

Ш96 Кратные криволинейные, поверхностные интегралы и их приложения: Учеб. пособие. – Уфа: Изд-во УГНТУ, 2011 - 207с.

 

Пособие включает в себя основные теоретические положения и методические указания, необходимые для решения типовых задач и выполнения тестовых заданий, предусмотренных программой курса “Высшая математика” для специальностей технического профиля. Задачи и упражнения для самостоятельного решения подобраны с учетом специфики подготовки технических кадров, обращено внимание на часто встречающиеся ошибки.

Книга предназначена для студентов высших технических заведений, колледжей и может быть полезна также преподавателям, ведущим практические занятия.

 

УДК 517.37

ББК 22.161.1

 

Уфимский государственный нефтяной

технический университет, 2011

© Н.С. Шулаев, Т.В. Григорьева, 2011

 

Содержание
1. Двойные интегралы
1.1 Объем цилиндрического тела
1.2 Определение двойного интеграла
1.3 Свойства двойного интеграла
1.4 Вычисление двойного интеграла в декартовой
системе координат
1.5 Замена переменных в двойном интеграле
1.6 Вычисление двойного интеграла в полярной системе
координат
1.7 Объем тела
1.8 Площадь плоской фигуры
1.9 Площадь поверхности
1.10 Масса плоской фигуры
1.11 Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры
1.12 Момент инерции
1.13 Тестовые задания для самостоятельной работы
2. Тройные интегралы
2.1 Задача о массе неоднородного тела, приводящая к понятию тройного интеграла
2.2 Определение тройного интеграла
2.3 Свойства тройного интеграла
2.4 Вычисление тройного интеграла
2.5 Замена переменных в тройном интеграле
2.6 Переход в тройном интеграле к цилиндрическим координатам
2.7 Тройной интеграл в сферических координатах
2.8 Найдем формулу перехода в тройном интеграле от декартовых координат к сферическим
2.9 Приложения тройного интеграла
2.9.1 Объем тела
2.10 Масса тела
2.11 Статические моменты и центр тяжести тела
2.12 Моменты инерции
2.13 Тестовые задания для самостоятельной работы
3. Криволинейные интегралы
3.1 Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные интегралы по длине дуги)
3.2 Криволинейный интеграл II рода (по координатам)
3.2.1 Основные свойства криволинейного интеграла
по координатам
3.2.2 Вычисление криволинейных интегралов
3.2.3 Формула Грина
3.3 Вычисление площадей фигур с помощью криволинейного интеграла
3.4 Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
3.5 Механические приложения криволинейных интегралов
3.6 Тестовые задания для самостоятельной работы
4. Поверхностные интегралы
4.1 Определение поверхностного интеграла первого рода
4.2 Вычисления поверхностных интегралов I рода
4.3 Поверхностные интегралы II рода
4.4 Вычисления поверхностного интеграла II рода
4.4.1 Связь между поверхностными интегралами I и II рода
4.5 Формула Остроградского
4.5.1 Связь между поверхностным интегралом и тройным интегралом
4.6 Связь поверхностного интеграла с криволинейным
интегралом
4.6.1 Теорема Стокса
4.7 Тестовые задания для самостоятельной работы
Расчетное задание 1. «Кратные интегралы»
Расчетное задание 2. «Криволинейные интегралы»
Расчетное задание 3. «Поверхностные интегралы»
Библиографический список

 

 

1 Двойные интегралы

1.1 Объём цилиндрического тела

Подобно тому как задача о вычислении площади криволинейной трапеции привела нас к понятию простого определённого интеграла, так и задача о вычислении объёма цилиндрического тела приводит к новому понятию – понятию двойного (определённого)интеграла (эта задача даёт геометрическое толкование двойного интеграла).

Рассмотрим цилиндрическое тело, ограниченное (рис 1.1):

 

 

1) сверху поверхностью z = f (x,y), где f(x,y) – непрерывная неотрицательная в области D функция;

2) с боков – некоторой цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ;

3) снизу – частью плоскости ОХУ – замкнутой областью D.

Вычислим объём V этого тела.

Разобьём основание цилиндрического тела областью D кривых на n замкнутых ограниченных областей D_i (i= 1,2,...,n), имеющих площади DS_i (i= 1,2,...,n).

В каждой из областей D_i выберем по точке (x_i; h_i) и составим произведения вида V_i = f (x_i; h_i) DS_i (i = 1,2,...,n).

Каждое из таких произведений геометрически представляет собой объём прямого цилиндра с высотой h_i = f(x_i; h_i) и основанием D_i,а сумма

 

V_n = S V_i = S f (x_i; h_i) DS_i – объём " ступенчатого тела ", составленного из всех таких цилиндров.

Диаметром области называется наибольшая её хорда. Или: диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура области.

Если теперь стремить число разбиений n к бесконечности, причём так, чтобы диаметры всех элементарных областей D_i стремились к нулю, то V_n, как представляется очевидным, будет иметь предел, равный объёму данного цилиндрического тела:

(1.1)

 

Задача разыскания предела таких сумм и приводит к понятию двойного интеграла.

 

1.2 Определение двойного интеграла

 

Пусть дана функция z = f(x,y), определённая и непрерывная в некоторой замкнутой области D, граница Г которой простая замкнутая линия (такую замкнутую область называют простой областью).

Разобьём область D на n частичных (элементарных) областей (простых) D_i (i=1,2,...,n) (без общих внутренних точек) с помощью некоторой сети кривых.

Площади этих областей обозначим соответственно через DS₁, DS₂,..., DS_n.В пределах каждой частичной области D_i выберем произвольным

 

образом по точке (x_i; h_i) и составим сумму: .

Всякую такую сумму называют интегральной суммой для функции f(x,y) соответственной области D.

Меняя сеть разбиения и способ выбора точек в частичных областях, мы можем составить бесконечно много интегральных сумм, различных между собой.

Будем теперь неограниченно увеличивать число n разбиений области D на частичные области D_i, но так, чтобы все d(D_i) взятых областей стремились к нулю при этом.

Может случится, что тогда интегральная сумма s будет иметь предел, не зависящий ни от способа разбиения области D на частные области D_i; ни от способа выбора точек (x_i; h_i) в этих областях.

Этот предел I записывают следующим образом:

 

. (1.2)

Определение 1.2.1

Если при d(D_i) ® 0 интегральная сумма s имеет предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x,y), взятым по области D, и обозначается

 

.

 

Функция f(x,y) при этом называется интегрируемой в области D.

Следовательно, по определению

 

.

 

Символ dS называется элементом площади.

Возвращаясь к рассмотренной выше задаче, можно, исходя из приведённого определения, сказать, что в случае интегрируемости в D функции f(x,y) объём цилиндрического тела равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D:

 

. (1.3)

 

Эта формула показывает, что двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции геометрически выражает собой объём цилиндрического тела.

Элемент площади dS = dxdy, т.е. равняется произведению дифференциалов независимых переменных.

Доказано, если разбивать область D прямыми, параллельными осям ОХ и ОУ, то частичными будут служить прямоугольники.

 

 

Площадь каждой частичной области DS будет равна произведению DхDу.

Поэтому элемент площади dS = dxdy.

Таким образом òò является прямым обобщением понятия простого определения ò на случай функции двух переменных.

 

ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

Теорема 1.2.1

Интегральная сумма s, соответствующая 1) конечной области D и 2)непрерывной в этой области функции f(x,y), стремится к пределу при d(D_i)®0. Этот предел не зависит 1) ни от способа разбиения области D, 2) ни от выбора точек (x_i; h_i) в этих областях.

Теорему рассматриваем без доказательства.

 

1.3 Свойства двойного интеграла

Двойной интеграл обладает рядом простейших свойств, вполне аналогичных соответствующим свойствам простого интеграла.

Доказательство основных свойств двойного интеграла (подобно доказательству свойств простого интеграла) основано на его определении как предела интегральной суммы.

1. Двойной интеграл по области D от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов слагаемых по той же области.

Так для двух функций это свойство запишется следующим образом:

 

Доказательство

 

= по определению =

 

= по определению двойного интеграла = .

 

Замечание

Для любого конечного числа слагаемых свойство доказывается аналогично.

 

2.Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

 

.

 

Доказательство этого свойства проводится аналогично предыдущему (как и для определённого интеграла).

 

3.Если область D разбита на 2 области D₁ и D_II без общих внутренних точек, а функция f(x,y) непрерывна во всех точках области D, то:

 

 

Доказательство

Так как функция f(x,y) в области D, то предел интегрирования суммы для f(x,y) (в силу теоретического существования двойного интеграла) не зависит от способа составления этой суммы. А по тому мы можем условиться, составляя сумму s, брать линию L – границу областей D_I и D_II в качестве одной из линий деления области D на частичные области D_i, где i = 1,2,...,n.

 

Тогда каждое разбиение D на частичные области будет порождать некоторые разбиения на частичные области и каждой из областей D_I и D_II. Поэтому интегрируя сумму s по области D, можем представить следующим образом:

,

 

где в суммы и входят слагаемые, отвечающие частичным

областям, входящим в D_I и D_II соответственно, так что эти суммы будут интегрируемыми суммами функции f(x,y) по областям D_I и D _II.

По условию все эти суммы s, S, S имеют пределы при d(D_i)®0, равные соответствующим интегралам, поэтому, переходя в равенстве (*) к пределу, получим требуемое равенство.

 

4. Если f(x,y) и j(x,y) – интегрируемые в области D функции, то из неравенства

 

f (x,y) £ j (x,y), (x,y)ÎD

 

следует неравенство

 

 

(другими словами, неравенство можно почленно интегрировать!!)

Доказательство

Из условия теоремы при любом i

("_i = 1,2,...,n) f (x_i, h _i) £ j (x_i, h_i).

Тогда .

Переходя к пределу при (D_i) ® 0, получаем доказываемое неравенство.

5. Если функция f(x,y) интегрируема в области D, то и функция f(x,y) интегрируема в этой области и

 

ï ï £ ô f (x,y)ô dS.

 

Доказательство

Как получено выше, неравенства можно почленно интегрировать.

В частности, интегрируя очевидное неравенство

 

-ï f (x,y) ï £ï f (x,y)ï £ï f (x,y)ï,

 

получим

 

- , или .

 

Доказано, если -а £ х £ а, тоô х ô£ а.

 

6.Теорема об оценке двойного интеграла

Если функция f(x,y) непрерывна в области D и удовлетворяет неравенствам

 

m £ f (x,y) £ M, (x,y) Î D,

 

то ,

где m и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения

функции f(x,y) в замкнутой области D;

S – площадь области D.

Доказательство

Из условия теоремы m £ f(x_i, h_i) £ M, "_i = 1, 2,..., n. Умножим на DS_i и просуммируем от i = 1 до i = n:

 

.

Переходя к пределу, получим доказываемое неравенство.

7. Теорема о среднем значении

Разделим все части неравенства

 

на S;

 

положим .

Тогда m £ m £ M.

По теореме о промежуточных значениях в области D найдётся такая точка (x, h), что f (x, h) = m:

 

.

 

Последняя формула выражает собой теорему о среднем и показывает, что если функция f(х, у) непрерывна в замкнутой области D площади S, то в этой области найдётся такая точка (x, h), что

 

.

 

1.4 Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат

Рассмотрим способ вычисления двойного интеграла путём его приведения к повторному (двукратному) интегралу, т.е. последовательному вычислению двух простых интегралов.

Мы ограничимся не вполне строгим, но зато простым геометрическим выводом, основанным на том, что двойной интеграл представляет объём цилиндричес-кого тела с основанием D, ограниченного сверху поверхностью z = f (x,y).

В разделе " Определённый интеграл " мы уже имеем дело с задачей вычисления объёма тела по его поперечным сечениям.

Рассмотрим цилиндрическое тело, содержащееся между параллельными плоскостями х = а и х = b.

 

 

Рис. 1.5
Допустим, что в сечении тела плоскостью, проведённой через точку х = х₀, х₀ Î[ a,b], перпендикулярной оси Ох, получается фигура, имеющая площадь S(x₀) (причём S(x) – непрерывная функция, х Î[ a,b]).

Тогда, как известно, объём V тела вычисляется по формуле

 

. (1.4)

 

Пусть данное тело ограничено сверху поверхностью z = f(x,y) ³ 0, с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, снизу - плоской фигурой D на плоскости Оху (область D – простая).

Пусть y₂ = у₂(x) – уравнение ANB;

у₁ = у₁(x) – уравнение AМB.

Криволинейная трапеция MPQN ограничена сверху линией z = f (x₀,y), где у Î[ у₁,y₂ ]. Как известно, площадь криволинейной трапеции

 

.

 

Поскольку сечение х = х₀ было взято произвольно, то для любой точки х Î[ a, b] будем иметь

 

, (1.5)

 

где уже пределы интегрирования у₁(х) и у₂ (х) – переменные величины; они зависят от х.

Подставляя это значение в формулу (4), получим

 

. (1.6)

 

Выражение, стоящее в правой части формулы (1.6), называется повторным (двукратным) интегралом функции f(x,y) по области D.

Но объём цилиндрического тела выражается двойным интегралом:

 

. (1.7)

 

Сопоставляя равенства (1.6) и (1.7), получаем формулу

 

(1.8)

 

приводящую двойной интеграл к повторному, в котором интегрирование 1) сначала выполняется по у при произвольном, но постоянном х – внутреннее интегрирование, 2) а затем полученный результат интегрируется по х – внешнее интегрирование; при этом пределы внутреннего интеграла у₁ (х) и у ₂(х) – функции от х, а пределы внешнего интеграла - постоянные а и b.

Производя сечение цилиндрического тела плоскостями, параллельными плоскости Oxz, и рассуждая аналогичным образом, мы найдём, что

 

. (1.9)

 

Здесь интегрирование сначала производится по переменной х при постоянном у, а затем полученный результат интегрируется по у; при этом пределы внутреннего интеграла х₁ (у) и х ₂(у) – известные функции от у (мы их находим из уравнений контура), заданные в промежутке [ c,d ], а пределы внешнего интеграла – постоянные с и d, являющиеся ординатами крайних (снизу и сверху соответственно точек контура z (точек С и F).

Сопоставляя формулы (1.8) и (1.9), находим

 

. (1.10)

 

Последнее равенство показывает, что при перемене порядка интегрирования пределы внутреннего и внешнего интеграла изменяются (в зависимости от формы контура z).

Значение формул (1.8) и (1.9) состоит в том, что они сводят вычисление двойного интеграла по области D к последовательному вычислению двух "обычных "("однократных") определённых интегралов от функции одной переменной (методы вычисления таких интегралов уже ранее были изучены).

Какую из этих формул удобнее применить в том или ином случае, устанавливается в зависимости 1) от вида функции f (x,y) или от 2) вида области D.

Формулы (1.8) и (1.9) были установлены в предположении, что область D простая (т.е. граница области D пересекается прямыми, параллельными как оси Ох, так и оси Оу, не более чем в 2 точках.)

В ряде случаев область D интегрирования не является простейшей областью, но может быть разбита на несколько простых областей, например, на D_1,D₂,D₃ (рис.1.7).

 

В этих случаях, пользуясь свойством 3 двойного интеграла, двойной интеграл по всей области D представится в виде суммы интегралов по этим областям и каждый из них вычисляется путём сведения к повторному интегралу.

Если область интегрирования представляет собой прямоугольник D: а £ х £ b, c £ y £ d (т.е. со сторонами, параллельными осям координат), то пределы как внешнего, так и внутреннего интеграла постоянны.

 

 

Доказано, для любого значения х, заключённого между а и b, переменная у меняется в пределах от с до d. Обратно, для любого у меняется в пределах между с и d, переменная х меняется в пределах от а и b.

 

 

Следует твёрдо помнить, что в случае произвольной области интегрирования постоянны только пределы внешнего интеграла; пределы же внутреннего интеграла переменны (являются функциями переменной внешнего интеграла).

Практика показывает, что при вычислении двойных интегралов студент, как правило, испытывает трудности, связанные с расстановкой пределов интегрирования.

Рассмотрим ряд примеров

Пример 1.4. 1

Записать двойной интеграл в виде повторных интегралов двумя способами (по формулам (1.8) и (1.9)), если область D ограничена прямой у = х².

 

Решение

а. Сначала применим формулу (1.8) (т.е. интегрируем сначала по у, считая х постоянным, а затем по х в пределах от а= 0 до b = 1, представляющих собой абсциссы крайних точек контура области).

Чтобы найти пределы для у, поступают так: возьмём на оси Ох произвольную точку х между 0 и 1 и проведём через неё прямую, параллельную оси Оу, в направлении этой оси.

Точка входа этой прямой в области D лежит на параболе у = х², а точка выхода этой прямой из области D лежит на прямой у= х.

Уравнения этих линий дают нам соответственно нижний и верхний пределы внутреннего интеграла.

Таким образом имеем:

 

.

 

б. Применим теперь к двойному интегралу формулу (1.9).

В этом случае внутренний интеграл берётся по переменной х, считая у постоянным, а затем по у, уÎ [0,1] (где 0 и 1 – наименьшая и наибольшая ординаты крайних этих точек контура области D).

 

Чтобы установить, каковы будут пределы внутреннего интеграла по х, возьмём произвольную точку у на оси Оу в промежутке [0,1] и проведём через неё прямую. параллельную оси Ох, в направлении этой оси.

Так как точка входа этой прямой в области D лежит на прямой х = у, а точка выхода её из области D лежит на параболе , то из уравнения этих линий дадут нам нижний и верхний пределы внутреннего интеграла.

Следовательно имеем:

 

 

Пример 1.4.2

Вычислить

Область D: - 1 £ х £ 1, 0 £ у £ 2 (т.е. задана такими неравенствами)

 

Рис. 1.11

Пример 1.4.3

=? Область D: у = х, х = 2, ху = 1.

 

 

Решение

При +1 £ х £ 2 у изменяется от у = 1/х до у= х.

 

Пределы внешнего интеграла по переменной х: это будет абсциссы самых левых и самых правых точек области D.

Чтобы установить пределы внутреннего интеграла по у, возьмём произвольную точку х между 1и 2 на оси Ох и проведём через неё прямую, параллельную оси Оу. Точка входа этой прямой в область D лежит на гиперболе у = 1/х, а точка выхода на прямой у = х. Уравнения этих линий дают нам соответственно нижний и верхний пределы внутреннего интеграла.

 

Замечание

Легко заметить, что в примере 1.4.3 обратный порядок интегрирования (т.е. применение формулы (1.9)) был бы хуже, т.к. привёл бы к сумме 2-х повторных интегралов.

Это объясняется тем, что область D ограничена слева разнородными линиями, и поэтому часть прямых, параллельных оси Ох, входят в эту область на гиперболе, а часть - на прямой у = х.

При выбранном нами порядке интегрирования имеем дело с одним повторным интегралом (т.к. все прямые, параллельные оси Оу, входят в область D на гиперболе и выходят из неё на прямой у = х).