в виде серии равных платежей

На практике при проведении большинства финансовых операций возникают потоки платежей, распределенные во времени.

Поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами постоянны, называют аннуитетом. В финансовой практике часто встречаются так называемые простые, или обыкновенные, аннуитеты, которые предполагают получение или выплаты одинаковых по величине сумм в течение всего срока операции в конце (или начале) каждого периода. Примеры аннуитетов – выплаты по облигациям, банковским кредитам, страховым полисам, формирование различных фондов и др.

Согласно определению простой аннуитет обладает двумя важными свойствами:

1) все его k элементов равны между собой CF ₁ = CF ₂ = … = CF_k = CF;

2) отрезки времени между выплатой/получением сумм CF одинаковы, т. е. t_k – t_{k -1} = t ₂ – t ₁.

В отличие от разовых платежей для количественного анализа аннуитетов нам понадобятся все выделенные выше характеристики денежных потоков: FV, PV, CF, r и n.

Вывод формул для расчета характеристик аннуитетов сложнее, чем для расчета характеристик элементарных потоков платежей. Данные формулы мы рассматривать не будем, о них можно прочитать в специальной финансово-экономической литературе.

 

Пример 3

Финансовая компания создает фонд для погашения обязательств путем первоначального помещения в банк суммы 100000 у. е. с последующим ежегодным пополнением суммами по 35000 у. е. Ставка по депозиту равна 10% годовых, начисляемых раз в год. Какова будет величина фонда к концу 3-го года?

 

На рис. 2.3.17 показано решение примера 3.

 

	A	B	C	D	E	F
	Пример 3
	PV	r	n	m	CF	FV
	-100000,00	10%			-35000,00	248 950,00

Рис. 2.3.17

 

В ячейке F19 содержится формула:

 

=БC(B19/D19;C19*D19;E19;A19;0).

 

¨ Замечание. Функция БС правильно рассчитывает значение FV только тогда, когда число платежей в году совпадает с числом начислений процентов (вообщем-то, такой случай является наиболее распространенным на практике). Несоблюдение этого условия приводит к ошибкам (например, в работе [6] на стр. 237 в примере 1 как раз встречается такая ошибка; платежи необходимо перечислять в конце каждого квартала).

 

Для расчета величины CF (величины периодического платежа аннуитета) используется функция ПЛТ, работа с которой демонстрируется в примере 4. Данная функция использует те же самые аргументы, что и в вышерассмотренных функциях.

 

Пример 4

Финансовая компания создает фонд для погашения обязательств путем первоначального помещения на депозит суммы 100000 у. е. под 10% годовых с ежемесячным начислением процентов. Какую сумму должна ежемесячно перечислять компания на депозит, чтобы по истечении 3 лет величина фонда составила 250000 у. е.?

 

На рис. 2.3.18 показано решение примера 4.

 

	A	B	C	D	E	F
	Пример 4
	PV	r	n	m	CF	FV
	-100000,00	10%			-2 756,74	250 000,00

Рис. 2.3.18

 

В ячейке E24 содержится формула:

 

=ПЛТ(B24/D24;C24*D24;A24;F24;0).

 

¨ Замечание. Сравнивая пример 4 с примером 3, можно заметить, что по истечении 3-х лет сумма, перечисленная в примере 4, будет меньше, чем в примере 3 (3 ´ 35000 = 105000, 3 ´ 12 ´ 2756,74 = 99242,81). Это естественно, т. к. проценты в примере 4 начисляются ежемесячно.

Разработка планов погашения кредитов

Разработка планов погашения кредитов – одна из важнейших и часто встречающихся на практике задач. Как правило, кредит погашается одинаковыми платежами, равномерно распределенными во времени. Такой метод часто называют амортизацией долга. Возникающие при этом денежные потоки представляют собой уже хорошо знакомый нам простой аннуитет.

Основная задача планирования поступлений (выплат) по кредитам сводится к исчислению составных элементов платежей и распределению их во времени. Для этих целей в MS Excel реализована специальная группа функций, среди которых нами будут рассмотрены функция ПРПЛТ (по всей видимости, «процентный платеж») и функция ОСПЛТ («основной платеж»). Указанные функции, кроме известных нам аргументов, рассмотренных выше, используют также аргумент Период – номер периода выплаты.

Поясним финансовую сущность функций ПРПЛТ и ОСПЛТ. Дело в том, что периодический платеж (например, по кредиту) состоит из 2-х основных частей – основной части (направлена на погашение основного долга) и процентной части (процентные выплаты по кредиту). Такое деление платежа как для банка, так и для заемщика представляет большой интерес. Для банка процентная часть платежа составляет доход от операции, а для заемщика – сумму, вычитаемую из налогооблагаемой базы. При этом соотношение между основной и процентной частями платежа во времени меняется, но неизменной остается их сумма:

 

, (2.15)

 

или в «терминологии» функций MS Excel:

 

ПРПЛТ() + ОСПЛТ() = ПЛТ().

 

Таким образом, функция ПРПЛТ рассчитывает процентную часть платежа, а функция ОСПЛТ – основную часть платежа.

 

Пример 5

Банком выдан кредит в 10000 у. е. на 5 лет под 10% годовых, начисляемых один раз в конце каждого года. По условиям договора кредит должен быть погашен в течение указанного срока равными долями, выплачиваемыми в конце каждого года. Разработать план погашения кредита для банка.

 

На рис. 2.3.19 показано решение примера 5.

 

	A	B	C	D	E	F
	Пример 5
	PV	r	n	m	CF	FV
	-10000,00	10%			2 637,97	0,00
	№ пер. (год)	CF (основ.)	CF (проц.)	СF
		1 637,97	1 000,00	2 637,97
		1 801,77	836,20	2 637,97
		1 981,95	656,03	2 637,97
		2 180,14	457,83	2 637,97
		2 398,16	239,82	2 637,97
	Итог	10 000,00	3 189,87	13 189,87

Рис. 2.3.19

 

Первая таблица служит для определения величины периодического платежа CF. Так как к концу срока договора кредит должен быть полностью погашен, то величина FV = 0.

В ячейке E35 содержится формула:

 

=ПЛТ(B35/D35;C35*D35;A35;F35;0).

 

Вторая таблица демонстрирует изменение во времени соотношения между основной и процентной частями платежа. При вводе формул во вторую таблицу следует обратить внимание на совместное использование абсолютной и относительной адресации ячеек.

В ячейке B38 содержится формула:

 

=ОСПЛТ($B$35/$D$35;A38;$C$35*$D$35;$A$35;$F$35;0),

 

в других ячейках (B39:B42) содержатся аналогичные формулы с соответствующим смещением ячеек.

В ячейке C38 содержится формула:

 

=ПРПЛТ($B$35/$D$35;A38;$C$35*$D$35;$A$35;$F$35),

 

в других ячейках (C39:C42) содержатся аналогичные формулы с соответствующим смещением ячеек.

В ячейке D38 содержится формула:

 

=СУММ(B38:C38),

 

в других ячейках (D39:D42) содержатся аналогичные формулы с соответствующим смещением ячеек.

В ячейке B43 содержится формула:

 

=СУММ(B38:B42),

 

в других ячейках (C43:D43) содержатся аналогичные формулы с соответствующим смещением ячеек.

 

На рис. 2.3.20 показана диаграмма, отражающая изменение во времени соотношения между основной и процентной частями платежа (для этого лучше использовать диаграмму с областями с накоплением).

 

Рис. 2.3.20

 

¨ Замечания:

а) пример рассматривался с позиций банка;

б) для быстрого задания абсолютной адресации ячеек можно использовать клавишу F4;

в) графа CF является проверочной, она демонстрирует выполнение соотношения (2.15).