Метод Крамера (методом вычисления определителей)

Лабораторная работа № 12

Тема: Электронная таблица Microsoft Excel. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Содержание:

 

Матричные (групповые) операции.. 1

Операции с матрицами. 1

Сложение матриц. 1

Умножение матрицы на число. 2

Методы решения СЛАУ.. 2

Метод Крамера. 3

Матричный способ решения. 3

Задания по лабораторной работе. 3

Задание 1. Решение системы линейных алгебраических уравнений. 3

Контрольные вопросы.. 5

 

Матричные (групповые) операции

Табличные формулы или формулы массива – очень мощное вычислительное средство Excel, позволяющее работать с блоками рабочего листа как с отдельными ячейками. Табличные формулы в качестве результата возвращают массив значений. Поэтому перед вводом такой формулы необходимо:

þ выделить диапазон ячеек, куда будут помещены результаты;

þ набрать формулу;

þ по окончании ввода нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter!!!

 

Формула вводится во все ячейки выделенного интервала. При активизации любой ячейки из интервала, содержащего формулу массива, в строке формул отображается введенная формула, заключенная в фигурные скобки. Именно фигурные скобки являются признаком табличной формулы. Для выделения всего блока, содержащего табличную формулу, необходимо выделить одну из его ячеек, после чего нажать комбинацию клавиш Ctrl+/. Невозможно редактировать содержимое только одной ячейки из интервала с табличной формулой. Изменить можно только весь блок целиком, для чего он и должен быть предварительно выделен.

 

Операции с матрицами

К простейшим операциям с матрицами принято относить следующие:

þ сложение и вычитание матриц,

þ умножение и деление матрицы на число,

þ перемножение матриц,

þ транспонирование,

þ вычисление обратной матрицы.

 

Умножение (деление) матрицы на число, сложение (вычитание) матриц в Excel реализуются достаточно просто: с помощью обычных формул (поэлементное сложение или вычитание, умножение или деление на число), либо с использованием табличных формул, как это описано ниже.

 

Сложение матриц

Например, пусть необходимо сложить две матрицы размера 3 ´ 3.

Элементы первой матрицы (9 элементов) разместим в интервале A1:C3, второй – в диапазоне E1:G3. Под результат выделим интервал A5:C7. После чего, не снимая выделения, введем формулу =A1:C3+E1:G3, нажав комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. В ячейках интервала A5:C7 отобразится результат – сумма соответствующих элементов матриц, а в строке формул мы увидим {=A1:C3+E1:G3}.

 

Умножение матрицы на число

Пусть вместо сложения нам надо умножить первую матрицу на число 2. Для этого перемещаемся внутрь интервала A5:C7, выделяем его, нажав комбинацию Ctrl+/, вносим в формулу исправления =A1:C3*2 и нажимаем Ctrl+Shift+Enter. В интервале A5:C7 увидим результат умножения, а в строке формул – табличную формулу {=A1:C3*2}.

 

Для остальных матричных операций в Excel предусмотрены функции:

 

МОПРЕД(матрица)	вычисление определителя матрицы
МОБР(матрица)	вычисление обратной матрицы
МУМНОЖ(матрица1;матрица2)	произведение матриц
ТРАНСП(матрица)	транспонирование матрицы

Первая из этих функций в качестве результата возвращает число (определитель матрицы), поэтому вводится как обычная формула (Enter). Последние три возвращают блок ячеек, поэтому должны вводиться как табличные формулы (Ctrl+Shift+Enter).

Методы решения СЛАУ

Cистему линейных уравнений вида:

принято называть системой n линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными. При этом произвольные числа a_ij (i = 1, 2,…, n; j = 1, 2,…, n) называются коэффициентами системы (коэффициентами при неизвестных), а числа b_i (i = 1, 2,…, n) – свободными членами. Такая форма записи алгебраической линейной системы называется нормальной. Решением СЛАУ называется совокупность чисел x_i (i = 1, 2,…, n), при подстановке которых в систему каждое из ее уравнений обращается в тождество.

Систему можно записать в матричной форме AX=B, где A – матрица коэффициентов при неизвестных (матрица системы):

X – вектор-столбец неизвестных, B – вектор-столбец свободных членов, целое число n называется размерностью системы. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной – в противном случае. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения.

Метод Крамера (методом вычисления определителей).

 

Решение СЛАУ можно найти по формулам Крамера

где det A = |A| – определитель матрицы системы (главный определитель), det A_i = | A_i | (i = 1, 2, …, n)– определители матриц A_i (вспомогательные определители), которые получаются из A заменой i -го столбца на столбец свободных членов B. Линейная алгебраическая система несовместна (не имеет решений), если det A =0.

 

Матричный способ решения

 

Матричный способ решения СЛАУ достаточно прост. Обе части матричного равенства AX=B умножим слева на обратную матрицу А ^-1. Получим A ^-1 ´A´X = A ^-1 ´B. Т.к. A ^-1 ´A = E, где E – единичная матрица (диагональная матрица, у которой по главной диагонали расположены единицы). Тогда решение системы запишется в следующем виде X = A ^-1 ´B Т.е. для решения системы необходимо найти для матрицы A обратную A ^-1 и умножить ее справа на вектор-столбец B свободных членов.

Для реализации этого метода в Excel необходимо воспользоваться функциями МУМНОЖ(матрица1;матрица2) и МОБР(матрица).