Тема 3. Теорема гипотез. Формула байеса

 

3.1. В пирамиде установлено 10 винтовок, из которых 4 с оптическим прицелом. Стрелок попадает в мишень из винтовки с оптическим прицелом с Р=0.95, без оптического прицела с Р=0.8. Известно, что мишень была поражена. Что более вероятно: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него.

3.2. Некто, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда вело 5 дорог. Известно, что вероятность выхода из леса за час для различных дорог соответственно равна: 0.6; 0.3; 0.2; 0.1; 0.1. Чему равна вероятность того, что заблудившийся пошёл первой дорогой, если известно, что он вышел из леса через час.

3.3. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания первого охотника равна 0.2, а второго - 0.6. В результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность того, что промахнулся первый охотник.

3.4. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина равна 0.1, а легковая - 0.2. К бензоколонке подъехала машина для заправки. Найти вероятность того, что машина грузовая.

3.5. Имеется 10 одинаковых по виду урн, из которых в 9 находится, но 2 черных и 2 белых шара, а в одной 5 белых и 1 черный шар. Из наугад взятой урны извлечён шар. Чему равна вероятность того, что этот шар взят из урны, содержащей 5 белых шаров, если он оказался белым шаром.

3.6. Урна содержит 10 белых и 10 черных шаров. Один шар неизвестного цвета утеряй. При испытаниях были вынуты наудачу 1 белый и 1 черный шары. Определить вероятность того, что был утерян белый шар.

3.7. На склад поступает продукция трёх фабрик, причём продукция 1-й фабрики составляет 20%, 2-й - 46%, 3-й - 34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для 1- 3%, 2 - 2%, 3 - 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие сделано на 1-й фабрике, если оно стандартно.

3.8. В спец.больницу поступают в среднем 50% больных болезнью К, 30% болезнью L, 20% - М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0.7; L -0.8; М - 0.9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Какова вероятность того, что этот больной болел болезнью К.

3.9. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадёт к. Первому товароведу, равна 0.55, а ко второму - 0.45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным для первого товароведа равна 0.99, а для второго - 0.98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что изделие проверил второй товаровед.

3.10. Имеется три партии деталей по 20 штук в каждой. Число стандартных изделий в 1,2,3 партиях соответственно равно 20,15,10. Из наудачу выбранной партии взята деталь, оказавшаяся стандартной. Найти вероятность того, что деталь была взята из третьей партии.

3.11. Батарея из трёх орудий произвела залп, причём 2 снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель 1-м, 2-м и 3-м орудиями соответственно равны 0.4,0.3,0.5.

3.12. Три стрелка произвели залп, причём одна пуля поразила мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания 1-м, 2-м и 3-м стрелками соответственно равны 0.6, 0.5,0.4.

3.13. Две из 4-х независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали 1-я и 2-я лампы, если вероятности отказа ламп соответственно равны 0.1; 0.2; 0.3; 0.4.

3.14. Один из трёх стрелков вызывается на линию огня и производит выстрел. Цель поражена. Вероятности попадания при одном выстреле для 1,2 и 3-го стрелков соответственно равны 0.3; 0.5; 0.8. Найти вероятность того, что выстрел произведён вторым стрелкам.

3.15. Известно, что 5% всех мужчин и 0.25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число.)

3.16. Телеграфное сообщение состоит из символов "точка" и "тире". Статистические свойства помех таковы, что искажается в среднем 2/5 сообщений "точка", превращаясь в "тире", и 1/3 сообщений "тире", превращаясь в "точку". Известно, что среди передаваемых сигналов "точка" и "тире" встречаются в соотношении 5:3. Определить вероятность того, что передавалась "точка", если принят сигнал "точка".

3.17. Восемнадцать стрелков стреляют в мишень. 5 стрелков имеют вероятность попадания 0.8; 7 стрелков - 0.7; 4 стрелка - 0.6; 2 стрелка - 0.5. Один из восемнадцати стрелков выстрелил и не попал. Определить вероятность, что он из 1-й группы стрелков.

3.18. Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который был убит одной пулей. Определить вероятность того, что вепрь убит первым охотником, если вероятности для них равны соответственно 0.2, 0.4, 0.6.

3.19. Условие задачи 3.16. Определить вероятность того, что передавалась "точка", если принят сигнал "тире".

3.20 Прибор содержит два блока, исправность каждого из которых необходима для функционирования прибора. Вероятности безотказной работы в течение времени Т для этих блоков соответственно равны 0.4 и 0.5. Прибор испытывался в течение времени Т и вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал первый блок.

3.21 Из ящика, содержащего 2 белых и 4 черных шара вытаскивают 3 шара и перекладывают в другой ящик, где имелось 5 белых шаров. Затем из 2-го ящика вытаскивают шар, который оказался черным. Определить вероятность того, что из 1-по во 2-й переложено 2 черных и 1 белый шары.

3.22 Условие задачи 3.21. Определить вероятность, что из 1-го во 2-й переложен 1 черный и 2 белых шара.

3.23. Условие задачи 3.20. Определить вероятность того, что отказал второй блок.

3.24. Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который был убит одной пулей. Определить вероятность того, что вепрь убит вторым охотником, если вероятности для них равны соответственно 0.2; 0.4; 0.6,

3.25. По линии связи передаётся кодированный с помощью букв А,В,С текст. Вероятности передачи отдельных букв таковы: Р(А)=0.5; Р(В)=0.3; Р(С)=0.2. вероятности искажения при передаче отдельных букв равны соответственно 0.01; 0.03; 0.02. Установлено, что сигнал из двух букв принят без искажений. Чему равна вероятность, что передавался сигнал АВ?

3.26. Условие совпадает с задачей 3.20. Определить вероятность того, что отказали оба блока.

3.27. Имеется две партии деталей, причём известно, что в одной партии все детали удовлетворяют техническим условиям, в другой партии 1/4 деталей недоброкачественные. Деталь, взятая из наудачу выбранной партии, оказалась доброкачественной. Определить вероятность того, что вторая деталь из этой же партии окажется недоброкачественной, если первая деталь после проверки возвращена в партию.

3.28. На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0.6 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0.4 только, одна помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0.8, если только помеха - с вероятностью 0.2. Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе имеется полезный сигнал.

3.29. Счетчик регистрирует частицы трёх типов А,В,С. Вероятности появления этих частиц Р(А)=0.2; Р(В)=0.5; Р(С)=0.3. Частицы каждого из этих типов счётчик улавливает соответственно с вероятностями 0.8; 0.2; 0.4. Счётчик отметил частицу. Определить вероятность того, что это была частица В.

3.30. Два из трёх независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказал» 1-й и 2-й элементы, если вероятности отказа 1, 2 и 3 элементов соответственно равны 0.2; 0.4; 0.3.