Задания для подготовки к экзамену. 1. Изобразить годограф вектор-функции r = costi + j+sintк.

1. Изобразить годограф вектор-функции r = cos t i + j + sin t к.

2. Найти производную функции z = x³ – 3x²y + 3xy² + 1 в точке М₁(3;1) в направлении, идущем от этой точки к точке М₂(6;5).

3. Найти угол между градиентами функции z = (x² + y²) в точках А(3;4) и (6;8).

4.Найти наибольшую крутизну подъёма поверхности z = ln(x² + 4y²) точке Р(6;4;ln100).

5. Вычислить поверхностный интеграл , где x² + y² + z² = R²/

6.Вычислить координаты центра тяжести части плоскости z = x, ограниченной плоскостями x + y = 1, y = 0 и x = 0, если поверхностная плотность F в каждой точке равна 1.

7.Найти поток векторного поля F = (2z – x) i +(x +2z) j +3z k через сторону треугольника S, вырезанного из плоскости x + 4y + z – 4 = 0 координатными плоскостями в том направлении нормали к плоскости, которая образует с осью Oz острый угол.

8.Найти циркуляцию вектора F = y i - x j + а k по окружности x = a cos t, y = a sin t, z = 0в положительном направлении.

9. Найти потенциал ньютоновского поля притяжения, если F = .

10. Тело вращается вокруг оси с постоянной угловой скоростью w. Найти вихрь скорости в произвольной точке тела.

11.Записать число z= 1+ i в тригонометрической форме.

12. На комплексной плоскости изобразить множество точек, задаваемое уравнением

z(t) = + ti.

13. На комплексной плоскости задана прямая Im z= с, где с = const. Какое множество точек является её образом в отображении функцией w = z²?

14. Показать, что функция f(z) = z Re z дифференцируема во всех точках комплексной плоскости, но не является аналитической ни в одной точке этой плоскости.

15. Найти аналитическую функцию, у которой действительная часть равна

u(x,y) = ln(x² + y²).

16. Вычислить интеграл , где L – отрезок прямой от т.Z₁=0 до т.Z₂= i.

17. Вычислить интеграл типа Коши

18. Разложить в ряд Тейлора функцию f(z) = sin z² в окрестности точки z= 0.

19. Разложить в ряд Лорана функцию w = в кольце 1< < 2.

20. Вычислить: а) Ln(-1+3i); б) sin(1-2i); в) e ^{-2 + i}.

1. Записать число z= 1– i в тригонометрической форме.

2. На комплексной плоскости изобразить множество точек, задаваемое уравнением

z = 1 + i sin t, где .

3. На комплексной плоскости задана окружность =r, где r > 0. Какое множество точек является её образом в отображении функцией w = ?

4. Является ли функция f(z) = x ³+ y ³аналитической в каких-нибудь точках комплексной плоскости?

5. Найти аналитическую функцию, у которой действительная часть равна

u (x,y) = x ³ – 3 xy ² + 2 xy.

6. Вычислить интеграл , где L – отрезок прямой, соединяющий точки z₁ = –1 + 2i и z₂ = 0.

7. Вычислить интеграл типа Коши

8. Разложить в ряд Тейлора функцию f(z) = sin3 z в окрестности точки z = i.

9. Разложить в ряд Лорана функцию w = по степеням z ^-1.

10. Вычислить: а) 3^1+I; б) cos(1 + 2i); в) i Ln i.

11. Изобразить годограф вектор-функции: r = a cos t i + a sin t j + ct к.

12. Найти производную функции z = x²y² – xy³ – 3y – 1 в точке М(2;1) в направлении, идущем от этой точки к началу координат.

13. Найти угол между градиентами функций z = (x² + y²) и z = x –3y + в точке А(3;4).

14. Найти направление наибольшего возрастания функции z = ln(x² + 4y²) в т. Р(6;4).

15. Вычислить поверхностный интеграл , где S – часть конической поверхности x² + y² = z², заключённый между плоскостями z = 0 и z = 1.

16. Найти координаты центра тяжести чаcти поверхности z = 2 – x² + y² / 2, расположенной над плоскостью xOy, если поверхностная плотность равна 1.

17. Найти поток радиуса-вектора r = x i + y j + z k через замкнутую поверхность

z = 1 – (x² + y²) , z = 0 (0 .

18.Найти циркуляцию векторного поля F = (x + 3y + 2z) i + (2x +z) j + (x – y) k по контурутреугольника с вершинами в точках M(2; 0; 0), N(0; 3; 0), P(0; 0; 1).

19. Найти вихрь векторного поля, заданного вектором r = y² i – x² j + xz² k.

20. Показать, что поле F = (2xy + 3y² + 9y) i + (x² + 6xy + 9x) j является потенциальным, и найти потенциал этого поля.