Вывод дифференциального уравнения

Уравнение выходного звена

Запишем уравнение моментов относительно точки О.

 

 

 

Для перехода к безмерной форме записи введем обозначения:

 

 

Тогда уравнение запишется в виде:

 

 

Разделим обе части выражения на

 

 

 

Обозначим:

 

 

Тогда:

 

3. ПОСТРОЕНИЕ СТРУКТУРНОЙ СХЕМЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Уравнения звеньев САР сведем в систему:

 

выходное звено;

чувствительный элемент;

сервопоршень усилителя первого каскада.

Система уравнений содержит 6 переменных (), т. е.,за исключением управляющего воздействия и возмущающего воздействия , число переменных равно числу уравнений. Систему дифференциальных уравнений записываем в операторной форме:

 

 

Изобразим структурную схему выходного звена, описываемого уравнением:

 

 

Предварительно выразив для упрощения построения:

 

 

Рисунок 3 – Структурная схема выходного звена.

Изобразим структурную схему чувствительного элемента, описываемого уравнением:

 

 

Предварительно выразив для упрощения построения:

 

 

Рисунок 4 – Структурная схема чувствительного элемента.

 

Изобразим структурную схему сервопоршня, описываемого уравнением:

 

 

Предварительно выразим для упрощения построения схемы:

 

Рисунок 5 – Структурная схема сервопоршня.

Изобразив схемы отдельных элементов системы, сгруппируем эти схемы. С помощью такой операции получим структурную схему САР. При группировке учтем, что у нас одно управляющее воздействие , и одно возмущающее воздействие .

 

 

Рисунок 6 – Структурная схема САР.

 

 

 

Рисунок 7 – Структурная схема САР по управляющему воздействию δy.

 

Для определения передаточной функции САР в разомкнутом состоянии в структурной схеме условно размыкается основная обратная связь и вводятся входной δy_вх и выходной δy_вых параметры разомкнутой системы. Тогда передаточная функция разомкнутой САР определяется как отношение:

При этом предполагается:

Выражение для по управляющему воздействию определяется как произведение:

 

 

где

 

Передаточная функция замкнутой САР по управляющему воздействию δp_у, определяется по формуле:

 

 

где

 

Собственные операторы замкнутой и разомкнутой САР имеют вид:

 

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ САР

D-разбиение

Пусть параметром, в плоскости которого строится D-разбиение, является коэффициент К₃, который входит в выражение для собственного оператора. Величины остальных коэффициентов считаются заданными. Решается уравнение или

относительно коэффициента К₃:

Выражение для К₃ приводится к стандартной (удобной для подсчета на ЭВМ)форме:

где

В выражение для коэффициентов уравнения подставляются численные значения параметров САР:

После подстановки численных значений получаем:

Воспользовавшись программой MathCad определим мнимую и действительную составляющие частотной функции К₁ для ряда значений частот. Наибольшую частоту колебаний принимают . В результате расчета и построения получим кривую D-разбиения для положительных частот. Зеркальным отображением кривой относительно действительной оси дополняют D-разбиение для отрицательных частот колебаний. Кривая D-разбиения заштриховывается с левой стороны по мере возрастания частоты колебаний ω. Воспользовавшись правилом подсчета корней характеристического уравнения для каждой из выделенных областей D-разбиения, определяют область, соответствующую наибольшему числу корней с отрицательной вещественной частью, т.е. более вероятную область устойчивости САР.

 

 

Рисунок 8 – D-разбиение в плоскости коэффициента К₁.

 

Зеркальным отображением кривой относительно действительной оси дополняем кривую D-разбиения для отрицательных частот колебаний. Кривая D-разбиения заштриховывается с левой стороны по мере возрастания частоты колебаний f. Воспользовавшись правилом подсчёта корней характеристического уравнения для каждой из выделенных областей D- разбиения определяем область I, соответствующую наибольшему числу корней с отрицательной вещественной частью, т.е. более вероятную область устойчивости САР.