Прямое произведение множеств

Используя понятие кортежа, можно определить ещё одну, очень важную для приложений теоретико-множественную операцию – операцию прямого произведения. Прямым произведе-нием множеств X и Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех пар, первая компонента каждой из которых принадлежит X, а вторая - Y. Прямое произведение множеств X и Y, рассматриваемых в указанном порядке, обозначается знакосочетанием X ´ Y. Обратим вни-мание, что пока определено только прямое произведение двух множеств. Заметим также, что прямое произведение двух множеств является множеством кортежей длины 2, т.е. множеством пар.

Пример 2. Пусть A = { m, n }, B = { p, q }, C = { s, t }. Тогда A ´ B = {á m, p ñ, á n, p ñ, á m, q ñ, á n, q ñ}; B ´ C = {á p, s ñ, á p, t ñ, á q, s ñ, á q, t ñ}. Далее, (A ´ B)´ C = {áá m, p ñ, s ñ, áá n, p ñ, s ñ, áá m, q ñ, s ñ, áá n, q ñ, s ñ, áá m, p ñ, t ñ, áá n, p ñ, t ñ, áá m, q ñ, t ñ, áá n, q ñ, t ñ}; A ´(B ´ C) = {á m, á p, s ññ, á m, á p, t ññ, á m, á q, s ññ, á m, á q, t ññ, á n, á p, s ññ, á n, á p, t ññ, á n, á q, s ññ, á n, á q, t ññ}. Заметим, что (A ´ B) ´ C ≠ A ´ (B ´ C), поскольку эти множества состоят из разных объектов; в частности, их первые компоненты áá m, p ñ, s ñ и á m, á p, s ññ не равны друг другу ■

Тем не менее понятие прямого произведения легко распространяется на любое конечное число множеств. Пусть { Х_i } (1 ≤ i ≤ n) - конечное семейство множеств. Прямым произведени-ем семейства множеств называется множество, состоящее из всех тех и только тех кортежей длины n, первая компонента каждого из которых принадлежит X ₁, вторая - Х ₂,..., n -ая - Х_n. Прямое произведение указанного семейства обозначается знакосочетанием X ₁´ Х ₂´... ´ Х_n, или, короче, . Если в семействе { Х_i } (1 ≤ i ≤ n) все множества одинаковы и равны, например, множеству М, то прямое произведение этого семейства называется n - й степенью множества М и обозначается через М ⁿ. По определению полагают M ¹ = M, M ⁰ = L.

Пример 3. Пусть, как и в примере 2, A = { m, n }, B = { p, q }, C = { s, t }. Тогда A ´ B ´ C = {á m, p, s ñ, á n, p, s ñ, á m, q, s ñ, á n, q, s ñ, á m, p, t ñ, á n, p, t ñ, á m, q, t ñ, á n, q, t ñ}, т.е. это множество кортежей длины 3. Естественно, что A ´ B ´ C ≠ (A ´ B)´ C и A ´ B ´ C ≠ A ´(B ´ C) ■

Пример 4. Пусть A = { a, b, c }, B = { p, q }, C = { a, q }. Найти (A × В)× С, A ×(В × С) и A × В × С.

По определению прямого произведения A × В = {á a, p ñ, á a, q ñ, á b, p ñ, á b, q ñ, á c, p ñ, á c, q ñ}, В × С =

{á p, a ñ, á p, q ñ, á q, a ñ, á q, q ñ}. Далее,

(A × В)× С = {áá a, p ñ, a ñ, áá a, p ñ, q ñ, áá a, q ñ, a ñ, áá a, q ñ, q ñ, áá b, p ñ, a ñ, áá b, p ñ, q ñ, áá b, q ñ, a ñ, áá b, q ñ, q ñ, áá c, p ñ, a ñ, áá c, p ñ, q ñ, áá c, q ñ, a ñ, áá c, q ñ, q ñ};

A ×(В × С) = {á a, á p, a ññ, á a, á p, q ññ, á a, á q, a ññ, á a, á q, q ññ, á b, á p, a ññ, á b, á p, q ññ, á b, á q, a ññ, á b, á q, q ññ, á c, á p, a ññ, á c, á p, q ññ, á c, á q, a ññ, á c, á q, q ññ};

A × В × С ñ = {á a, p, a ñ, á a, p, q ñ, á a, q, a ñ, á a, q, q ñ, á b, p, a ñ, á b, p, q ñ, á b, q, a ñ, á b, q, q ñ, á c, p, a ñ, á c, p, q ñ, á c, q, a ñ, á c, q, q ñ}.

Следует обратить внимание на то, что 1-ое и 2-ое множества являются множествами кортежей длины 2, в то время как 3-ье множество является множеством кортежей длины 3 ■

Операция проектирования

Используя введенные понятия, определим еще одну теоретико-множественную операцию - проектирование, применяемую только к множеству кортежей одинаковой длины. Поскольку проекция множества кортежей определяется через проекцию кортежа, начнем с её определения.

Пусть a = á a ₁, a ₂,..., a_s ñ-кортеж длины s > 0.

1) Проекцией кортежа a на i-ю ось называется и через ПР _ia обозначается i -я компонента кор-тежа a, т.е. a_i. Таким образом, ПР _ia = a_i (i = 1, …, s).

2) Пусть 2 ≤ q ≤ s и 1 ≤ i ₁< i ₂<... < i_{q -1}< i_q ≤ s. Проекцией кортежа a на оси с номерами i ₁, i ₂,..., i_q называется и через α обозначается кортеж á ñ. Таким образом, α = á ñ.

3) Проекцией кортежа a на пустое множество осей называется и через ПР_Æ a обозначается пустой кортеж L. Таким образом, ПР_Æ a = L.

4) Проекцией пустого кортежа L на пустое множество осей называется и через ПР_ÆL обоз-начается пустой кортеж L. Таким образом, ПР_ÆL = L.

Пример 5. Если α = á x, y ñ, то ПР₁ a = x, ПР₂ a = y. Если α = á{ x }, á y ññ, то ПР₁ a = { x }, ПР₂ a = á y ñ. Если α = áá x, á y ññ, x ñ, то 1-ой компонентой кортежа α является кортеж á x, á y ññ длины 2, а его 2-ой компонентой – элемент x, т.е. ПР₁ a = á x, á y ññ, ПР₂ a = x ■

Определим теперь понятие «проекция множества». Как уже было указано выше, это поня-тие будет определено только для того случая, когда проектируемое множество состоит из кор-тежей, причем все эти кортежи имеют одинаковую длину.

Пусть М - множество кортежей длины s > 0. Поскольку пустое множество Æ не является множеством кортежей длины s > 0, то множество М предполагается непустым.

1) Проекцией множества М на i-ю ось называется и через ПР _iМ обозначается множество проекций кортежей из М на i- ю ось (i = 1, …, s).

2) Пусть 2 ≤ q ≤ s и 1 ≤ i ₁< i ₂<... < i_{q -1}< i_q ≤ s. Проекцией множества М на оси с номерами i ₁, i ₂,

..., i_q называется и через M обозначается множество проекций кортежей из М на оси с

номерами i ₁, i ₂,..., i_{q -1}, i_q.

3) Проекцией множества М на пустое множество осей называется и через ПР_Æ М обознача-ется пустой кортеж L. Таким образом, ПР_Æ М = L.

Пример 6. Пусть М = {á a, p, q ñ, á a, q, q ñ, á b, p, q ñ, á b, q, a ñ, á b, q, q ñ, á c, p, a ñ, á c, p, q ñ, á c, q, q ñ}. Найдём проекцию ПР₂₃ заданного множества М кортежей на оси с номерами 2 и 3. По опре-делению проекции множества, ПР₂₃ М состоит из всех проекций всех кортежей из М на указан-ные оси. Из определения проекции кортежей, проекция отдельного кортежа a – это просто кор-теж, состоящий из компонент a с соответствующими номерами. Так, для 1-го по порядку корте-жа из М – á a, p, q ñ – его проекцией ПР₂₃ á a, p, q ñ на оси 2, 3 будет кортеж (длины 2) á p, q ñ. Далее, ПР₂₃á a, q, q ñ = á q, q ñ, и т.д. В результате получаем: ПР₂₃М = {á p, q ñ, á q, q ñ, á q, a ñ, á p, a ñ}. Здесь в проектируемом множестве М 8 кортежей, а в проекции – 4. Это происходит потому, что проек-ции различных кортежей из исходного множества совпадают. Например, ПР₂₃ á a, q, q ñ = ПР₂₃ á с, q, q ñ = á q, q ñ ■

Пример 7. Пусть A и В – два произвольных множества, М = A × В. По определению опера-ций прямого произведения и проектирования имеем ПР₁ М = A, ПР₂ М = В. Поэтому можно ска-зать, что операции прямого произведения и проектирования являются взаимно-обратными (не уточняя этого понятия) ■

Пример 8. Пусть М – множество точек á x, y ñ на плоскости, удовлетворяющих условию x ² + y ² = 1 (т.е. М – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат). Нетрудно видеть, что по определению проекции ПР₁ М = ПР₂ М = [–1, 1] (так обозначен отрезок с концами –1 и 1). Таким образом, для геометрических фигур на плоскости (подмножеств двумерного евклидова пространства E ²), состоящих из двумерных точек – кортежей длины 2, введённая здесь операция проектирования совпадает с хорошо известной операцией проектирования вдоль координатных осей в геометрии ■

Далее будут рассмотрены понятия, которые, в отличие от рассмотренных выше исходных понятий высказывания, множества и кортежа, будут формально определены – через эти, ранее введённые неопределяемые понятия.

 

Графики

Одним из важнейших понятий дискретной – и не только дискретной – математики явля-ется понятие графика. График - это множество пар, т.е. множество, элементами которого служат пары. Вспоминая (см. раздел 1), что пара – это кортеж длины 2, можно сказать, что гра-фиком называется любое множество кортежей длины 2. Как и рассмотренное в разделе 3 поня-тие проектирования, понятия графика также является обобщением хорошо известного «школь-ного» понятия графика функции.

Пример 9. Вспомним хорошо известный график функции y = sin x. По построению, такой график состоит из всех пар чисел á x, y ñ (точек), таких, что y = sin x. Поэтому, как и любое мно-жество точек на плоскости, график данной функции является графиком и в смысле введённого определения, т.е. он является множеством пар ■

Заметим, что множества точек на плоскости из примеров 8 и 9 являются бесконечными. Они задаются не перечислением, а условиями на принадлежащие им элементы – набором характеристических свойств, т.е. таким набором свойств, которым обладают только элементы рассматриваемого множества. Подробнее такой способ задания множеств будет рассмотрен далее, в разделе 4-2.1.

Областью определения графика G называется множество ПР₁ G, а областью значений графика G - множество ПР₂ G. Таким образом, нахождение областей определения и значений графика сводится к операции проектирования кортежей длины 2 на одну из двух осей. Эта опе-рация является частным случаем операции проектирования (проектирование на одну ось), рас-смотренной в разделе 3.

4.1.Операции над графиками. Рассмотрим две важные операции над графиками: одно-местную - инверсию, и двухместную - композицию. Инверсия графика определяется через ин-версию пары. Пара á с, d ñ называется инверсией пары á a, b ñ, eсли с = b, d = а. Другими словами, инверсией пары á a, b ñ является пара á b, a ñ. Инверсия пары a обозначается через a ^-1. Легко ви-деть, что (a ^-1)^-1 = a. Инверсией графика G называется множество инверсий всех пар из G. Ин-версия графика G обозначается через G ^-1. График называется симметрическим, если G = G ^-1. Для симметрических графиков истинны следующие два высказывания: a Î G D a Î G ^-1 и a Î G D a ^-1Î G (напомним, что знаком D обозначена определённая в разделе 1-2.1.5 операция «эквива-лентность» над истинностными значениями высказываний). Легко видеть также, что истин-ность любого из этих двух высказываний влечёт равенство G = G ^-1.

Пример 10. Пусть X – произвольное множество. Рассмотрим множество X^D всех пар вида á x, x ñ, где х Î X. Легко видеть, что X^D – симметрический график. Он называется диагональю множества X ².

Введём необходимые понятия. Пусть α = á p, q ñ, β = á s, t ñ – две пары. Композицией α○β пар α и β (в указанном порядке) называется пара γ, определяемая следующим образом:

γ = , (1)

где Λ – пустой кортеж (см. раздел 1.1).

Пример 11. Композицией пар α = á p, q ñ и β = á q, r ñ при любых p, q и r в соответствие с формулой (1) является пара γ = á p, r ñ. Композицией пар β = á q, r ñ и α = á p, q ñ при p = r является пара á q, q ñ. Композицией пар β = á q, r ñ и α = á p, q ñ при p ≠ r является пустой кортеж Λ. Компози-цией пар α = áá p, r ñ, q ñ и β = á q, r ñ является пара áá p, r ñ, r ñ. Действительно, формула (1) при q = s определяет пару á p, t ñ при произвольных p и t. В данном случае на первом месте (вместо p) сто-ит пара á p, r ñ, а на втором месте (вместо t) стоит элемент r. Ещё раз почеркнём, что компонен-тами кортежа могут быть любые объекты, включая множества и другие кортежи ■

Исходя из операции композиции двух пар, введём теперь операцию композицию двух графиков, т.е. множеств пар (см. определение графика). Композиция R = P ○ Q определяется как множество композиций всех пар из P со всеми парами из Q. Формально:

P Q = , (2)

где композиция двух пар α○β определена формулой (1).

Пример 12. Пусть график P = {á a, b ñ, á a, c ñ}, график Q = {á b, b ñ, á d, c ñ}. Найдём компози-цию графиков P ○ Q. Имеем в соответствии с формулой (2) P ○ Q = {á a, b ñ○á b, b ñ, á a, b ñ○á d, c ñ, á a, c ñ○á b, b ñ, á a, c ñ○á d, c ñ}. В соответствии с формулой (1) для композиций двух пар имеем

á a, b ñ○á b, b ñ = á a, b ñ, á a, b ñ○á d, c ñ = á a, c ñ○{á b, b ñ = á a, c ñ○á d, c ñ = Λ.

Поэтому P ○ Q = {á a, b ñ} (множество пар из P ○ Q состоит из одной пары á a, b ñ).

Найдём теперь композицию графиков Q ○ P при тех же самых Q и P. Имеем Q ○ P = {á b, b ñ○á a, b ñ, á b, b ñ○á a, c ñ, á d, c ñ○á a, b ñ, á d, c ñ○á a, c ñ} = Λ. В этом порядке композиция оказалась пустой ■

Для бесконечных графиков формула (2) остаётся в силе, однако непосредственное рас-смотрение всех пар из P и Q (как это делается в примере 12) невозможно. Однако для нахожде-ния композиции P ○ Q можно воспользоваться следующим простым соображением, справедли-вым для произвольных графиков.

Утверждение 1. Пара á x, y ñÎ P ○ Q тогда и только тогда, когда существует элемент z, такой, что á x, z ñÎ P и á z, y ñÎ Q ■

Пример 13. Рассмотрим композицию двух графиков P и Q: y = sin x и y = ln x. В соответст-вии с вышесказанным, пара чисел á x, y ñÎ P ○ Q тогда и только тогда, когда существует элемент z, такой, что z = sin x и y = ln z. В данном случае это означает, что ln(sin x) определён, что может быть при любом x, для которого sin x > 0. А для последнего необходимо и достаточно, чтобы вы-полнялось условие 2 kπ < x <(2 k +1) π для какого-нибудь целого числа k. Соответствующее значе-ние y из пары á x, y ñÎ P ○ Q определяется формулой y = ln(sin x) ■

Пример 13 показывает, что достаточно сложное – на первый взгляд – понятие композиции двух графиков является обобщением хорошо известного «школьного» понятия суперпозиции двух функций.

Если у нас имеется три графика: P, Q и R, то с помощью операции композиции двух гра-фиков из них можно определить два разных графика: (P ○ Q)○ R и (P ○(Q ○ R). Имеет место

Утверждение 2. Графики (P ○ Q)○ R и P ○(Q ○ R) совпадают, т.е. состоят из одних и тех же пар ■

Утверждение 2 выражает важное свойство операции композиции – её ассоциативность. Это означает, что в выражениях (P ○ Q)○ R и P ○(Q ○ R), как и в более сложных выражениях такого же типа, можно убрать скобки и рассматривать композицию не только двух, но и любого числа графиков: P ○ Q ○ R, P ○ Q ○ R ○ S, и т.д.

4.2. Свойства графиков. График называется функциональным (инъективным), если в нем нет пар с одинаковыми первыми (соответственно одинаковыми вторыми) компонентами.

Пример 14. График {á b, b ñ, á a, n ñ} является функциональным и инъективным, поскольку в обеих входящих в него парах и первые, и вторые компоненты являются разными: b ≠ a (первые компоненты) и b ≠ n (вторые компоненты). Заметим, что совпадение компонент в паре á b, b ñ ни-как не влияет на рассматриваемые свойства. График {á x, b ñ, á x, a ñ} не является функциональ-ным, но является инъективным (первые компоненты совпадают, а вторые – нет). График {á n, с ñ, á d, c ñ} является функциональным, но не является инъективным (вторые компоненты совпадают, а первые – нет). Наконец, график {á n, b ñ, á n, с ñ, á d, c ñ}, состоящий из трёх пар, не является ни функциональным (поскольку он содержит пары á n, b ñ и á n, с ñ с совпадающими первыми компонентами), ни инъективным (поскольку он содержит пары á n, с ñ и á d, c ñ с совпадающими вторыми компонентами) ■

Пример 15. Рассмотрим график, состоящий из всех точек á x, y ñ, удовлетворяющих уравне-нию окружности x ² + y ² = 1. Этот график не является ни функциональным (поскольку он содер-жит пары á0, 1ñ и á0, –1ñ с совпадающими первыми компонентами), ни инъективным (поскольку он содержит пары á1, 0ñ и á–1, 0ñ с совпадающими вторыми компонентами) ■

Пример 16. Рассмотрим график, состоящий из всех точек á x, y ñ, удовлетворяющих уравне-нию y = ln(x). Этот график является функциональным и инъективным, поскольку он является графиком строго возрастающей функции (т.е. (x ₁ ≠ x ₂) D (y ₁ ≠ y ₂)) ■

Соответствия и функции

Соответствием называется тройка, первая компонента которой есть подмножество пря-мого произведения множеств, являющихся ее второй и третьей компонентами. Обратим внима-ние на то, что все объекты, участвующие в этом определении – тройка, компонента, подмно-жество, прямое произведение, множество – ранее уже были введены и объяснены. В то же вре-мя приведённое определение не включает в себя понятий зависимой и независимой перемен-ной, закона, правила (по которым находится значение зависимой переменной, соответствующее данному значению независимой), и других нуждающихся в объяснении понятий.

Соответствия будут обозначаться прописными греческими буквами. Таким образом, если Г = á G, X, Y ñ – соответствие, то, в согласии с определением, X, Y – множества, a G X × Y. По построению, G является графиком, поскольку G – подмножество прямого произведения двух множеств, которое по определению является множеством пар (см. раздел 1.2). Множество G называется графиком соответствия Г. Множества X и Y носят название области отправле-ния и области прибытия соответствия Г. Множество ПР₁ G называется областью определе-ния соответствия Г _, a множество ПР₂ G – областью значений соответствия Г (определения проекции см. в разделе 1.3).

Если пара á x, y ñ G, тo говорят, что элемент у соответствует элементу x в (или при) соот-ветствии Г. Если x ПР₁ G, тoговорят, что соответствие Г определено на элементе x. Элемент у называется также образом элемента x в (или при) соответствии Г.

Инверсией соответствия Г = á G, X, Y ñ называется и через Г ⁻¹ обозначается соответствие á G ⁻¹, Y, X ñ, где G ⁻¹– инверсия графика G (см. начало раздела 4.1). Ясно, что (Г ⁻¹)⁻¹ = Г. Если Г = á G, X, Y ñ и Δ =á H, U, V ñ – соответствия, то соответствие Σ = á G ○ H, X, V ñ называется их ком-позицией и обозначается через Г ○ Δ. Из ассоциативности композиции графиков следует ассоци-ативность композиции соответствий.

Сужением соответствия Г = á G, X, Y ñ на множество А называется и через Г_А обозна­чается соответствие á G∩ (А ´ Y), X, Y ñ. Обратим внимание, что области отправления и прибытия соответствия не меняются. Соответствие Δ =á H, Z, U ñ называется продолжением соответст-вия Г = á G, X, Y ñ, если G Í H, X ÍZ, Y Í U.

Введём ещё одно понятие, связанное с графиками и соответствиями. Пусть G – произволь-ный график. Введём в рассмотрение соответствие графика G: Г_G = á G, ПР₁ G, ПР₂ G ñ (напом-ним, что через ПР₁ G и ПР₂ G обозначены проекции графика G). У соответствия Г_G область отправления совпадает с областью определения, а область прибытия – с областью значений. Бо-лее того, имеет место простое

Утверждение 3. Любое соответствие с графиком G является продолжением соответствия Г_G.

Соответствие называется функциональным, или функцией, если его график функциона-лен; инъективным, если его график инъективен; всюду определенным, если его область оп­ределения совпадает с областью отправления, и сюръективным, если его область прибытия совпадает с областью значений.

Соответствие, обладающее четырьмя перечисленными свойствами, называется взаимно-однозначным, или биективным, или биекцией.

Функция Г с областью отправления X и областью прибытия Y называется функцией типа X → Y. Напомним, что образом элемента x называется единственный (в силу фунциональности Г) элемент y, такой, что пара á x, y ñÎ G. Образ y элемента x при функции Г обозначается через Г (x). Это уже близко к привычному обозначению y = f (x). Для поного «возвращения» к школь-ным понятиям необходимо дать аккуратное описание термина «переменная». С этого и будет начинаться следующая глава.

 

Задания

Задание 1. См. примеры 2, 3, 4 для образца.

01. Пусть A = { a, b, c }, B = {á p ñ, q }, C = { a, q }. Найти (A × В)× С и A × В × С.

02. Пусть A = { a, b, c }, B = { p, q }, C = { a, q }. Найти A ×(В × С) и A × В × С.

03. Пусть A = {á p, q ñ, m }, B = { m, a }, C = { a, q }. Найти (A × В)× С и A × В × С.

04. Пусть A = {á p, q ñ, m }, B = { m, a }, C = { q, a }. Найти A ×(В × С) и A × В × С.

05. Пусть A = { p, á q, m ñ}, B = { m, a }, C = { a, q }. Найти (A × В)× С и A × В × С.

06. Пусть A = { a, c }, B = { b, p, q }, C = { a, q }. Найти A ×(В × С) и A × В × С.

07. Пусть A = { a, c }, B = { b, p, q }, C = { a, q }. Найти (A × В)× С и A × В × С.

08. Пусть A = { a, c }, B = { b, p, q }, C = { a, q }. Найти (A × В)× С и A ×(В × С).

09. Пусть A = { a, b, c }, B = { p, q }, C = { a, p, q }. Найти A ×(В × С) и A × В × С.

10. Пусть A = { a, b, c }, B = { p, q }, C = { a, p, q }. Найти A × В)× С и A × В × С.

11. Пусть A = { a, b, c }, B = { p, q }, C = { a, p, q }. Найти (A × В)× С и A ×(В × С).

12. Пусть A = { a, c }, B = { b, p, q }, C = { q }. Найти A ×(В × С) и A × В × С.

13. Пусть A = { a }, B = { b, p, q }, C = { a, q }. Найти (A × В)× С и A × В × С.

14. Пусть A = { a, c }, B = { b, p }, C = { a, q }. Найти (A × В)× С и A ×(В × С).

15. Пусть A = { b, c }, B = { b, q }, C = { a, p, q }. Найти A ×(В × С) и A × В × С.

16. Пусть A = { a, b }, B = { p, q }, C = { a, p, q }. Найти A × В)× С и A × В × С.

17. Пусть A = { a, b, c }, B = { b }, C = { b, q }. Найти (A × В)× С и A ×(В × С).

18. Пусть A = { a, b, m }, B = { m, q }, C = { p, q }. Найти A × В)× С и A × В × С.

19. Пусть A = { a, m }, B = { m, q }, C = { a, m, q }. Найти (A × В)× С и A ×(В × С).

20. Пусть A = { a, c }, B = { b, p, q }, C = { r, m }. Найти A ×(В × С) и A × В × С.

21. Пусть A = {á p, q ñ, m }, B = { m, a }, C = { a, q }. Найти (A × В)× С и A × В × С.

22. Пусть A = {á p, q ñ, m }, B = { m, a }, C = { q, a }. Найти A ×(В × С) и A × В × С ■

 

Задание 2. См. примеры 5, 6 для образца.

01. Пусть М = {á a, p, q ñ, á a, q, q ñ, á b, q, p ñ, á b, q, a ñ, á b, q, q ñ, á c, p, a ñ, á c, p, q ñ, á c, q, q ñ}. Найти проекцию ПР₁₃ заданного множества М кортежей на оси с номерами 1 и 3.

02. Пусть М = {á a, p, q ñ, á a, q, q ñ, á b, p, q ñ, á b, q, a ñ, á b, q, q ñ, á c, p, a ñ, á c, p, q ñ, á c, b, q ñ}. Найти проекцию ПР₁₂ заданного множества М кортежей на оси с номерами 1 и 2.

03. Пусть М = {á a, p, q ñ, á a, q, q ñ, á b, p, q ñ, á b, q, a ñ, á b, q, q ñ, á c, p, a ñ, á c, p, q ñ, á c, q, q ñ}. Найти проекцию ПР₂₃ заданного множества М кортежей на оси с номерами 2 и3.

04. Пусть М = {á a, p, q ñ, á a, q, q ñ, á b, q, a ñ, á b, q, q ñ, á c, p, a ñ, á c, p, q ñ, á c, q, q ñ}. Найти проекцию ПР₁₃ заданного множества М кортежей на оси с номерами 1 и 3.

05. Пусть М = {á a, p, q ñ, á a, q, q ñ, á b, p, q ñ, á b, q, a ñ, á b, q, q ñ, á c, p, a ñ, á c, q, q ñ}. Найти проекцию ПР₁₂ заданного множества М кортежей на оси с номерами 1 и 2.

06. Пусть М = {á a, p, q ñ, á b, p, q ñ, á b, q, a ñ, á b, q, q ñ, á c, p, a ñ, á c, p, q ñ, á c, q, q ñ}. Найти проекцию ПР₂₃ заданного множества М кортежей на оси с номерами 2 и3.

07. Пусть М = {á a, p, q ñ, á b, p, q ñ, á b, q, a ñ, á b, q, q ñ, á c, p, a ñ, á c, p, q ñ, á c, q, q ñ}. Найти проекцию

ПР₁₂ заданного множества М кортежей на оси с номерами 1 и 2.

08. Пусть М = {á a, p, q ñ, á a, q, q ñ, á b, b, q ñ, á b, q, a ñ, á b, q, q ñ, á c, p, a ñ, á q, p, q ñ, á c, q, q ñ}. Найти проекцию ПР₂₃ заданного множества М кортежей на оси с номерами 2 и3.

09. Пусть М = {á a, p, p ñ, á a, q, q ñ, á b, q, a ñ, á b, q, q ñ, á c, p, a ñ, á c, a, q ñ, á c, q, q ñ}. Найти проекцию ПР₁₃ заданного множества М кортежей на оси с номерами 1 и 2.

10. Пусть М = {á a, p, q ñ, á a, q, q ñ, á b, p, q ñ, á q, q, a ñ, á b, q, q ñ, á c, p, a ñ, á c, c, q ñ}. Найти проекцию ПР₁₂ заданного множества М кортежей на оси с номерами 1 и 3 ■

 

Задание 3. Найти области определения и значения следующих графиков.

01. y = sin x.

02. {á p, q ñ, á q, q ñ, á q, a ñ, á p, a ñ}.

03. y = arcsin x.

04. {á a, c ñ, á b, p ñ, á q, f ñ, á{ a }, á q ññ}.

05. y = tg x.

 

06. {á b, x ñ, á a, n ñ, á x, b ñ, á d, a ñ}.

07. y = arcctg x.

08. {á x, x ñ, á l, a ñ, á x, b ñ}.

09. y = ln(1 - x ²).

10. {á b, c ñ,á b, b ñ, á d, c ñ}■

Задание 4. Найти инверсии следующих графиков.

01. {á a, b ñ, á n, c ñ, á b, q ñ}.

02. {á a, d ñ, á b, c ñ, á b, b ñ}.

03. {á b, b ñ, á l, n ñ, á n, b ñ}.

04. {á x, z ñ, á a, l ñ, á x, yñ, á z, x ñ}.

05. {á b, n ñ, á r, p ñ, á m, b ñ, á p, b ñ} ■

 

Задание 5. Найти композицию пар в указанном и обратном порядке. См. пример 11 для образца:

01. á n, c ñ○á c, c ñ.

02. á a, d ñ○á b, b ñ.

03. á a, b ñ○á b, a ñ.

04. á b, a ñ○á a, b ñ.

05. á l, n ñ○á n, b ñ.

06. á n, b ñ○á l, n ñ.

07. á b, x ñ○á x, f ñ.

08. á b, x ñ○á x, á f ññ.

09. á{ b }, x ñ○á x, f ñ.

10. á b, x ñ○á y, f ñ■

 

Задание 6. Найти композицию пар в указанном и обратном порядке. См. пример 12 для образца:

01. P = {á a, b ñ, á n, c ñ}, Q = {á b, n ñ, á c, c ñ}.

02. P = {á a, d ñ, á b, c ñ}, Q = {á b, b ñ, á d, c ñ}.

03. P = {á a, x ñ, á x, x ñ}, Q = {á x, b ñ, á b, a ñ}.

04. P = {á y, d ñ, á y, c ñ}, Q = {á c, b ñ, á z, y ñ}.

05. P = {á a, b ñ, á a, c ñ}, Q = {á b, b ñ, á d, c ñ}.

06. P = {á b, n ñ, á l, n ñ}, Q = {á n, b ñ, á d, c ñ}.

07. P = {á n, b ñ, á c, n ñ}, Q = {á n, b ñ, á b, c ñ}.

08. P = {á a, b ñ, á a, c ñ}, Q = {á b, b ñ, á d, a ñ}.

09. P = {á a, b ñ, á n, c ñ}, Q = {á b, n ñ, á c, c ñ}.

10. P = {á b, b ñ, á l, n ñ}, Q = {á n, b ñ, á d, l ñ}.

11. P = {á a, a ñ, á a, c ñ}, Q = {á b, a ñ, á c, a ñ}.

12. P = {á b, x ñ, á a, n ñ}, Q = {á x, b ñ, á d, a ñ}.

13. P = {á x, x ñ, á l, a ñ}, Q = {á x, f ñ, á y, x ñ}.

14. P = {á b, b ñ, á a, l ñ}, Q = {á x, b ñ, á l, a ñ}.

15. P = {á r, n ñ, á r, r ñ}, Q = {á m, b ñ, á d, r ñ}.

16. P = {á b, x ñ, á a, n ñ}, Q = {á b, b ñ, á p, q ñ}.

17. P = {á x, x ñ, á a, l ñ}, Q = {á x, yñ, á y, x ñ}.

18. P = {á b, b ñ, á a, n ñ}, Q = {á x, y ñ, á b, a ñ}.

19. P = {á b, n ñ, á l, n ñ}, Q = {á x, b ñ, á n, a ñ}.

20. P = {á b, x ñ, á a, n ñ}, Q = {á n, b ñ, á d, c ñ}.

21. P = {á x, x ñ, á l, a ñ}, Q ={á x, b ñ, á l, b ñ}.

22. P = {á f, b ñ, á a, l ñ}, Q = {á x, f ñ, á y, x ñ}.

23. P = {á b, n ñ, á r, p ñ}, Q = {á m, b ñ, á p, b ñ}.

24. P = {á b, x ñ, á q, n ñ}, Q = {á d, r ñ, á p, q ñ}.

25. P = {á x, z ñ, á a, l ñ}, Q = {á x, yñ, á z, x ñ}.

26. P = {á b, b ñ, á a, n ñ}, Q = {á x, b ñ, á a, a ñ}.■

 

Задание 7. Для всех графиков из заданий 3, 4 и 6 проверить наличие (или отсутствие) свойств функциональности и инъективности (см. примеры 14 – 16) ■

Задание 8. Для всех графиков из задания 6 найти проекции ПР₁ G, ПР₂ G. См. примеры 6 – 8 для образца ■

 

Предметный указатель

 

График

инъективный

симметрический

функциональный

Графика,

инверсия

область определения

область значений

соответствие

Графиков

композиция

Кортеж

над множеством

Кортежа,

длина

компонента

проекция,

на i -ю ось

на оси с номерами i ₁, i ₂,..., i_q

на пустое множество осей

Множества диагональ

Множества кортежей,

проекция

на i -ю ось

на оси с номерами i ₁, i ₂,..., i_q

на пустое множество осей

Образ элемента в (при) соответствии

Операции над графиками

Пар, композиция

Пара

Пары инверсия

Проектирования операция

Прямое произведение,

двух множеств

семейства множеств

Соответствие

биективное

взаимно-однозначное

всюду определенное

инъективное

функциональное

Соответствия,

график

область значений

область определения

область отправления

область прибытия

Тройка

Функция

Функция типа X → Y