Простые и составные высказывания

Если у нас имеется несколько исходных высказываний, то из них при помощи логических союзов или частиц мы можем образовывать новые высказывания, истинностное значение которых зависит только от истинностных значений исходных высказываний и от конкретных союзов и частиц, которые участвуют в построении нового высказывания. Слова и выражения «и», «или», «не», «если..., то», «поэтому», «тогда и только тогда» являются примерами таких союзов. Исходные высказывания называются простыми, а построенные из них с помощью тех или иных логических союзов новые высказывания - составными. Разумеется, слово «простые» никак не связано с сутью или структурой исходных высказываний, которые сами могут быть весьма сложными. В данном контексте слово «простой» является синонимом слова «исход-ный». Важно то, что значения истинности простых высказываний предполагаются известными или заданными; в любом случае они никак не обсуждаются.

Хотя высказывание типа «Сегодня не четверг» не составлено из двух различных простых высказываний, для единообразия конструкции оно также рассматривается как составное, по-скольку его истинностное значение определяется истинностным значением другого высказыва-ния «Сегодня четверг»

Пример 2. Cледующие высказывания рассматриваются как составные:

Я читаю «Московский комсомолец» и я читаю «Коммерсант».

Если он сказал это, значит, это верно.

Солнце не является звездой.

Если будет солнечно и температура превысит 25⁰, я приеду поездом или автомобилем ■

Простые высказывания, входящие в составные, сами по себе могут быть совершенно про-извольными. В частности, они сами могут быть составными. Описываемые ниже базисные ти-пы составных высказываний определяются независимо от образующих их простых высказыва-ний.

2.1. Базисные типы составных высказываний. Рассмотрим основные способы построе-ния составных высказываний из простых, или основные операции над высказываниями. Они перечислены в таблице 1. Разумеется, указанные в левом столбце таблицы слова и выражения не являются исчерпывающим списком логических союзов, а представляют собой только их дос-таточно распространённые примеры.

Таблица 1. Основные операции над высказываниями

Логические союзы	Знак операции	Имя операции
не; нет	Ø	Отрицание
и	Ù	Конъюнкция
или	Ú	Дизъюнкция
если..., то; поэтому; значит; следовательно	→	Импликация
тогда и только тогда, когда		Эквивалентность
или... или	Å	Разделительная дизъюнкция

Упомянутая выше связь между истинностными значениями исходных простых высказы-ваний и истинностным значением построенных из них составных высказываний задаётся в так называемых таблицах истинности, в которых истинностное значение составного высказыва-ния даётся при всех комбинациях истинностных значений исходных простых высказываний. Эти таблицы рассматриваются отдельно для шести базисных операций из таблицы 1. В них, как и всюду в дальнейшем, истинностные значения высказываний (истина T и ложь F) обозначены прямыми буквами, чтобы отличать их от самих высказываний, обозначае-мых курсивом.

Нижеприводимые таблицы 2 – 7 дают формальное определение соответствующих опера-ций над истинностными значениями высказываний. В отличие от законов физики, они не явля-ются «Законами Природы», а просто постулируются. Тем не менее, они отражают многие важ-ные черты реальной жизни, повседневного общения и человеческих рассуждений. Именно по-этому понятия и методы исчисления высказываний оказались не только полезными, но и необ-ходимыми во многих современных приложениях – достаточно назвать хотя бы основанные на них компъютеры. Для истинностных значений высказываний, в отличие от самих высказыва-ний, используются строчные латинские буквы, обычно p, q, r, ….

2.1.1. Отрицание. Таблица 2 описывает первый тип составного высказывани – отрица-ние. Если А - высказывание, то высказывание, состоящее в отрицании А (например, образован-ное из А путем приписывания перед ним частицы «не» или значка «Ø», заменяющего эту части-цу), называется отрицанием А и обозначается через Ø А. Оно истинно, когда А ложно, и ложно в противном случае (когда А истинно). Из высказываний примера 1 истинными будут высказыва-ния Ø F и Ø G, а ложными - высказывания Ø D и Ø E.

Таблица 2. Таблица истинности для отрицания

p	Ø p
T	F
F	T

2.1.2. Конъюнкция. Таблица 3 описывает второй тип составного высказывания – конъюн-кцию. Конъюнкцией высказываний А, В называется составное высказывание, построенное из высказываний А и В при помощи союза «и», обозначаемого специальным знаком «Ù». Конъ-юнкция считается истинной, когда одновременно истинны оба высказывания А, В. Во всех ос-тальных случаях она считается ложной. Для высказываний, введённых в примере 1, высказыва-ние D Ù E - истинное, а высказывания D Ù F, E Ù F и F Ù G - ложны.

Таблица 3. Таблица истинности для конъюнкции

p	q	p Ù q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

2.1.3. Дизъюнкция. Таблица 4 описывает третий тип составного высказывания – дизъюн-кцию. Дизъюнкцией высказываний А, В называется составное высказывание, построенное из высказываний А и В при помощи союза «или», обозначаемого специальным знаком «Ú». Дизъ-юнкция считается истинной, когда истинно хотя бы одно из входящих в неё высказываний. Для высказываний, введённых в примере 1, высказывания D Ú E, D Ú F, E Ú F - истинны, а высказыва-ние F Ú G - ложно.

Таблица 4. Таблица истинности для дизъюнкции

p	q	p Ú q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

2.1.4. Импликация. Таблица 5 описывает четвёртый тип составного высказывания – им-пликацию. Импликацией высказываний А, В (в указанном порядке) называется составное вы-сказывание, построенное из высказываний А и В при помощи союза «если..., то...» (или других аналогичных выражений), обозначаемого специальным знаком «→». Если А → В - импликация, то высказывание А называется посылкой, или антецедентом импликации, а В - её заключени-ем, или консеквентом. Импликация считается ложной в том единственном случае, когда ее по-сылка истинна, а заключение - ложно.

На первый взгляд неясно, почему импликация считается истинной в случаях, когда её по-сылка ложна, а заключение - истинно, или когда оба они ложны. Конечно, можно просто ска-зать, что это - вопрос соглашения, и что именно так принято в математике. Однако возможна и более содержательная аргументация в защиту такого соглашения. Пусть перед выборами канди-дат Х обещает: «Если меня выберут, то через год пенсии будут увеличины на 50%». Его обеща-ние (и по форме, и по сути) является импликацией с посылкой «меня выберут» и заключением «через год пенсии будут увеличины на 50%». Естественно считать, что Х обманул избирателей только в одном случае - если его выбрали, а пенсии не были увеличины на 50%. В остальных трёх случаях

- если его не выбрали, и пенсии не были увеличины на 50%;

- если его не выбрали, и пенсии были увеличины на 50%;

- если его выбрали, и пенсии были увеличины на 50%

обмана со стороны Х нет.

Про импликацию с ложной посылкой, которая - по принятому определению - истинна при любом следствии, говорят, что она истинна «в силу ложности посылки». Такое соглашение действительно оказывается удобным во многих случаях. Рассмотрим такой пример. Утвержде-ние о том, что любой четырёхугольник, в котором диагонали в точке пересечения делятся попо-лам, есть параллелограмм, является импликацией (как и большинство других математических утверждений). Его можно записать в виде импликации с посылкой «диагонали в точке пересе-чения делятся пополам» и заключением «четырёхугольник является параллелограммом». Но что если диагонали четырёхугольника совсем не пересекаются (это возможно: приведите при-мер!). Однако и в этом случае с учётом нашего соглашения об импликации эта импликация ос-танется истинной «в силу ложности посылки»: ведь если диагонали не пересекаются, то посыл-ка заведомо является ложной. Без такого соглашения пришлось бы рассматривать отдельно (или хотя бы явно упоминать) этот случай. Многократное использование этого соглашения в данном пособии демонстрирует его полезность.

Для высказываний, введённых в примере 1, высказывания (импликации) D → D, D → E, F → D, G → F истинны, а высказывания (импликации) D → F, E → G - ложны.

Таблица 5. Таблица истинности для импликакции

p	q	p → q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

2.1.5. Эквивалентность. Таблица 6 описывает пятый тип составного высказывания – э к-вивалентность. Эквивалентностью высказываний А и В называется составное высказывание, построенное из высказываний А и В при помощи логического союза «,... тогда и только тогда, когда...» (или других аналогичных выражений), обозначаемого специальным знаком «». Экви-валентность считается истинной, если оба входящих в неё высказывания имеют одинаковое ло-гическое значение (то есть либо оба истинны, либо оба ложны), и ложна в остальных случаях. Для высказываний, введённых в примере 1, высказывания (эквивалентности) D E, G F истин-ны,а высказывания (эквивалентности) F D, G E - ложны.

Таблица 6. Таблица истинности для эквивалентности

p	q	p q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

2.1.6. Разделительная дизъюнкция. Таблица 7 описывает шестой тип составного выска-зывания – разделительную дизъюнкцию. Разделительной дизъюнкцией высказываний А, В на-зывается составное высказывание, построенное из высказываний А и В при помощи логическо-го союза «или... или» («или разделительное»), обозначаемого специальным знаком «Å». Оно считается истинным, когда высказывания А и В принимают разные истинностные значе-ния.

Для высказываний, введённых в примере 1, высказывания (разделительные дизъюнкции) F Å D, G Å E истинны, а высказывания (разделительные дизъюнкции) D Å E, G Å F - ложны.

Таблица 7. Таблица истинности для разделительной дизъюнкции

p	q	p Å q
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Если вместо символа T используется знак 1, а вместо символа F – знак 0, то таблица 7 превращается в таблицу 8а; при записи её строк в другом порядке получаем таблицу 8b. Табли-ца 8b описывает арифметическую операцию сложения в двоичной системе счисления, которая обычно называется «сложением по модулю 2». Она является одной из основных операций, реа-лизуемых в любом компьютере.

Таблица 8а p q p Å q

Таблица 8b p q p Å q

Таковы основные операции над высказываниями, представленные в таблицах истинности как операции над истинностными значениями высказываний.