Федеральное агентство по образованию. Технологический институт Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Технологический институт Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Южный федеральный университет»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

по математической статистике

Вариант 11

 

Выполнила

студент гр. Н-20

Меркулов В.И.

 

 

Таганрог 2012

Дана выборка объема n=100:

 

6,26	3,26	4,00	0,34	5,44	2,74	9,31	2,53	8,02	7,74
8,35	-2,56	-1,02	0,60	-3,26	4,74	0,56	6,29	3,25	7,68
-2,04	3,23	6,46	4,78	0,11	-0,99	1,59	4,61	1,43	1,11
1,20	-0,48	0,56	5,70	-6,04	5,43	-1,86	4,36	5,38	2,54
0,51	2,84	5,60	2,08	-0,48	6,82	0,10	2,08	9,23	1,63
6,48	0,13	0,69	1,01	1,16	3,09	-4,32	-0,09	1,21	0,88
4,46	5,14	2,03	0,20	11,51	-2,77	2,14	1,29	3,32	-2,90
3,89	4,71	-0,92	-2,15	2,26	3,04	0,46	7,48	3,58	5,64
7,39	4,67	5,29	3,46	0,76	5,53	2,66	2,68	9,18	4,32
4,59	1,58	1,76	4,22	7,34	6,20	2,83	0,09	7,26	7,14

 

Анализируем выборку:

 

1) Строим таблицу, в которой числа располагаются в порядке возрастания:

 

n
x	-6,04	-4,32	-3,26	-2,9	-2,77	-2,56	-2,15	-2,04	-1,86	-1,02
n
x	-0,99	-0,92	-0,48	-0,48	-0,09	-0,09	0,1	0,11	0,13	0,2
n
x	0,34	0,46	0,51	0,56	0,56	0,6	0,69	0,76	0,88	1,01
n
x	1,11	1,16	1,2	1,21	1,29	1,43	1,58	1,59	1,63	1,76
n
x	2,03	2,08	2,08	2,14	2,26	2,53	2,54	2,66	2,68	2,74
n
x	2,83	2,84	3,04	3,09	3,23	3,25	3,26	3,32	3,46	3,58
n
x	3,89		4,22	4,32	4,36	4,46	4,59	4,61	4,67	4,71
n
x	4,74	4,78	5,14	5,29	5,38	5,43	5,44	5,53	5,6	5,64
n
x	5,7	6,2	6,26	6,29	6,46	6,48	6,82	7,14	7,26	7,34
n
x	7,39	7,48	7,68	7,74	8,02	8,35	9,18	9,23	9,31	11,51

 

2) Из этой таблицы выбираем наибольшее и наименьшее значение:

 

=-6,04

=11,51

 

Примем: =-6

= 12

Найдем шаг выборки, разбивая ее на 10 интервалов:

 

Интервалы:

[-6;-4,2) [-4,2;-2,4) [-2,4;-0,6) [-0,6;1,2) [1,2;3) [3;4,8) [4,8;6,6) [6,6;8,4) [8,4;10,2) [10,2;12)

 

3) Заполняем таблицу 1:

 

	∆xi	[-6;-4,2)	[-4,2;- 2,4)	[-2,4;-0,6)	[-0,6;1,2)	[1,2;3)	[3;4,8)	[4,8;6,6)	[6,6;8,4)	[8,4;10,2)	[10,2;12)
	xi*	-5,1	-3,3	-1,5	0,3	2,1	3,9	5,7	7,5	9,3	11,1
	mi
		0,02	0,04	0,06	0,2	0,2	0,2	0,14	0,1	0,03	0,01
		0.04	0.12	0.3	0.51	0.69	0.84	0.88	0.9	0.91
		0,011	0,022	0,033	0,111	0,111	0,111	0,077	0,055	0,016	0,005

 

Комментарий к таблице 1:

1. - интервалы, на которые разбиваются элементы в таблице,

расположенные в порядке возрастания;

2. - это середины интервалов. Пусть

 

3. m_i - абсолютные частоты (количество чисел из выборки, попадающие в i-й интервал). Проверка: m_i= 100.

4. P_i^* - относительные частоты. . Проверка:

4/100=0.04...

5. F_i^* -эмпирическая (статистическая) функция распределения (функция
распределения выборки), определяющая для каждого значение

X относительную частоту события (X < х).

 

0, х < -6

0.04 -6< х < -4,2

0.12, 4,2<х<-2,4

0.3, -2,4<х<-0,6

Fi*=

0.51, -0,6<х<1,2

0.69, 1,2<х<3

0.84, 3<х<4,8

0.88, 4,8<х<6,6

0.9, 6,6<x<8,4

0,91, 8,4<х<10,2

1, 10,2<x<12

 

6. W_i^* - плотность относительных частот.

h =1,8. Предполагаем, что выборка распределена по нормальному закону.

 

4) Заполним таблицу 2:

 

	xi*	mi	xi* mi	xi*2	xi*2 mi	xi	ƒt(xi)	Ft(xi)
	-5,1		-10,2	26,01	52,02	-2,43	0,0062	0,0078
	-3,3		-13,3	10,89	43,56	-1,88	0,0204	0,0301
	-1,5		-9	2,25	13,5	-1,33	0,0494	0,0918
	0,3			0,09	1,8	-0,78	0,0882	0,2177
	2,1			4,41	88,2	-0,23	0,1165	0,409
	3,9			15,21	304,2	0,31	0,1140	0,6217
	5,7		79,8	32,49	454,86	0,86	0,0826	0,8051
	7,5			56,25	562,5	1,41	0,0442	0,9207
	9,3		27,9	86,49	256,47	1,56	0,0354	0,9406
	11,1		11,1	123,21	123,21	2,51	0,0051	0,9938
Σ			287,3		1900,32

 

Комментарий к таблице 2:

1. - это середина интервала (берем из таблицы 1)

2. - абсолютные частоты (берем из таблицы 1)

3. 4, 5 - эти колонки в таблице 2, рассчитываем по заданным формулам.

Найдем точечные оценки для неизвестных параметров распределения:

- выборочная средняя (математическое ожидание)

- выборочные дисперсия

- среднеквадратическое отклонение

Для того чтобы проверить гипотезу о том, что выборка получена из нормальной генеральной совокупности, подставим точечные оценки вместо неизвестных параметров плотности распределения вероятности:

ƒ_t(x)= ℮ = ℮ = ℮

Пусть

 

6. Находим x_i по формуле (*):

7. Тогда ƒ_t(x_i)=0,3·φ(x_i), где φ(x_i)= ℮

 

(Находим по таблице 1 «Приложения» значения функции Лапласа по значениям аргумента x_iи вычислим теоретическую плотность распределения вероятности), φ(x) - четная => φ(-x)=φ(x)

 

ƒ_t(x₁)=0,3·φ(-2,43)=0,3·φ(2,43)=0,3·0,0208=0,0062

ƒ_t(x₂)= 0,3·φ(-1,88)=0,3·φ(1,88)=0,3·0,0681=0,0204

ƒ_t(x₃)= 0,3·φ(-1,33)=0,3·φ(1,33)=0,3·0,1647=0,0494

ƒ_t(x₄)=0,3·φ(-0,78)=0,3·φ(0,78)=0,3·0,2943=0,0882

ƒ_t(x₅)=0,3·φ(-0,23)=0,3·j(0,23)=0,3*0,3885=0,1165

ƒ_t(x₆)=0,3·φ(0,31)= 0,3·0,3802=0,1140

ƒ_t(x₇)=0,3·φ(0,86)= 0,3·0,2756=0,0826

ƒ_t(x₈)=0,3·φ(1,41)= 0,3·0,1476=0,0442

ƒ_t(x₉)=0,3·φ(1,56)= 0,3·0,1182=0,0354

ƒ_t(x₁₀)=0,3·φ(2,51)= 0,3·0,0171=0,0051

 

 

8. Подсчитываем теоретическую функцию распределения:

где

 

Ф(-x)=1-(0,5+Ф(x))=0,5-Ф(x)

 

5) Построим график функции (1) - теоретической плотности распределения, т.е. f_t(x) и совместим ее с гистограммой, проверяя насколько согласованы две эти кривые.

 

Гистограмма - это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высотой, равной отношению P_i/h и называемой плотностью относительных частот W_i (эмпирическая плотность).

 

Строим гистограмму и проводим аппроксимацию, т.е. проводим кривую, придерживаясь середины гистограммы. На этом же чертеже строим график f_t(x), а по оси ОХ берем середины интервала.

 

6)Аналогично построим график теоретической функции распределения F_t(x) и сравним с эмпирической функцией распределения.

 

Сравнивая эти графики, видим, что они согласованы достаточно хорошо, => гипотеза о нормальном распределении данной генеральной совокупности правдоподобна.

 

 

7) Кроме точечных оценок неизвестных параметров используются еще и интервальные оценки, называемые доверительными интервалами.

 

Найдем доверительные интервалы для неизвестных математического ожидания и дисперсии с доверительной вероятностью надежности 1-2α в предположении, что выборка распределена по нормальному закону. Задана доверительная вероятность р=0.95.

 

1-2α=0.95 1-α=1-0.025=0.975

2α=0.05 n=100

α=0.025

 

а) найдем доверительный интервал для математического ожидания.

Доверительный интервал для математического ожидания m нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии о² определяется с помощью выражения:

 

где - выборочное среднее (математическое ожидание),

- среднеквадратическое отклонение

=8,401 S=2,1

 

- квантиль Стьюдента с n-1 степенями свободы.

 

t_1-α(n-1)=t_0.975(99)=U(0.975)=1.96

 

Подставим значения в нашу формулу:

 

 

 

Математическое ожидание принадлежит этому интервалу с вероятностью р=0.95.

 

б) найдем доверительный интервал для дисперсии:

 

Доверительный интервал для дисперсии нормальной случайной

величины определяется с помощью выражения:

 

 

-выборочная дисперсия

(см. комментарий к таблице 2)

- распределение по степеням свободы, которое отвечает квантилю для уравнений вероятности α, т.е.

 

 

Берем по таблице х² распределения, равные 30, так как число степеней свободы k<99, а по таблице k_max=30.

 

 

9,3312<σ²<26,1053

Дисперсия принадлежит этому интервалу с вероятностью р=0.95.

 

8) Проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона. Для этого в таблице 1 объединим те интервалы, в которых m_i 5.

 

И заполним таблицу 3:

 

	h	2,2	1,1	1,1	1,1	1,1	1,1	1,1	2,2
	∆xi	[3;5,2)	[5,2;6,3)	[6,3;7,4)	[7,4;8,5)	[8,5;9,6)	[9,6;10,7)	[10,7;11,8)	[11,8;14)
	xi*	4,1	5,75	6,85	7,95	9,05	10,15	11,25	12,9
	mi
		0,7	0,11	0,13	0,18	0,23	0,14	0,09	0,05
	ƒt(xi)	0,0154	0,0847	0,1436	0,1833	0,1792	0,1328	0,0753	0,0189
		0,0338	0,0931	0,1579	0,2016	0,1971	0,1460	0,0828	0,0415
		0,6662	0,0169	0,0279	0,0216	0,329	0,006	0,0072	0,0085
		00,131	0,0030	0,004	0,002	0,5491	0,0002	0,0006	0,0017	0,013

 

Комментарий к таблице 3:

1. - интервалы, взятые из таблицы 1, колонки с 1 по 2 и с 7 по 10 объединены;

2. - середины интервалов в 1 и 6 колонках пересчитаны по формуле

3. число элементов, попавших в интервал

4. - относительные частоты;

 

4. теоретическая плотность распределения ƒ_t(x_i)=0,47·φ(x_i) (см. п. 7, комментарий к таблице 2)

5.

 

ƒ_t(x₁)=0,47·φ(-2,0480)=0,47·φ(2,0480)=0,31*0,0498=0,0154

ƒ_t(x₆)=0,47·φ(2,1423)= 0,47·0,0404=0,0189

 

Изменяем f_t(x₆) в строке 5 только в колонке 1 и 6, остальные берем из таблицы 2;

6. теоретическая вероятность попадания случайной величины х в данный интервал. Соответствующие элементы строки 1 (h) умножаем на элементы строки 5;

7.

8. Находим отношение каждого элемента строки 7 к соответствующим элементам стороки 6:

Используя критерий Пирсона, вычислим

 

По таблице критических точек распределения по заданному уровню значимости а=0.025 и числу степеней свободы k=S-3, где S- число групп выборки. k=6-3=3, находим критическую точку, т.е. 9,4

 

Если , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

 

Вывод:

В результате выполнения работы мы проверяли гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью точечных оценок, с помощью критерия Пирсона. Эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо.