Типовые примеры и методы их решения. Пример 3.2.1. В течение 4 лет на счет в банке ежедневно бу­дут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 10 тыс

Пример 3.2.1. В течение 4 лет на счет в банке ежедневно бу­дут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 10 тыс. руб. Определите сумму, накопленную к концу четвертого года при использовании процентной ставки 15% го­довых, если начисление сложных процентов осуществляется: а) ежегодно; б) ежемесячно.

Решение, а) Полагаем n = 4, m= 1, r = 15%. Поскольку пла­тежи поступают достаточно часто, будем считать, что они по­ступают непрерывным образом. Тогда можно воспользоваться формулой (134) при = 10 тыс. руб.:

53,592 тыс. руб.

Сравним этот результат со значением, полученным по фор­муле (122), полагая, что в году 360 дней и дан аннуитет постну-

мерандо. Так как р = 360,A = , получим:

= 53,581 тыс. руб.

Видим, что полученные величины отличаются незначитель­но (всего на 11 руб.). Кстати, считая, что имеем дело с аннуите­том пренумерандо, по формуле (126) находим:

=53,602 тыс.руб.

Эта величина также мало отличается от 53,592 тыс. руб. (на 10 руб.). Значения же FV , и FV незначительно отличаются друг от друга, поскольку при частом (в данном случае - ежедневном) поступлении денег разница между аннуитетами пост-иумерандо и пренумерандо начинает исчезать.

б) Так же как и в предыдущем случае, будем считать, что платежи поступают непрерывным образом. Поскольку при m = 12 (и поэтому = = 0,0125) табличным значением коэффициента наращения аннуитета воспользоваться нельзя, пе­ред вычислением преобразуем немного формулу (134):

Отсюда:

[(1 + 0.0125)^12*4 -1] = 54,696 тыс. руб.

Предполагая же, что в условии говорится о постоянном ан­нуитете постнумерандо или пренумерандо, соответственно по формулам (122) и (126) получим;

тыс. руб.

=54,708 тыс.руб.

 

Видим, что вычисленные значения мало отличаются от 54,696 тыс. руб.

Пример 3.2.2. Фирма намеревается выпускать некоторую продукцию в течение трех лет, получая ежегодно выручку в размере 30 млн руб. Предполагается! что продукция в течение года будет продаваться более или менее равномерно. Оцените ожидаемые денежные поступления, если применяется непре­рывная ставка 20% за год.

Решение. Поскольку в условии говорится о более или менее равномерном распределении продаж в течение года, то логично предполагать, что интенсивность потока выручки будет в какой-то мере постоянной величиной, равной 30 млн руб. в год. Счи­тая, что денежные поступления происходят непрерывно, вос­пользуемся формулами (137) и (138), определяющими соответ­ственно будущую и приведенную стоимости непрерывного ан­нуитета. Полагая = 30 млн руб., n = 3, = 0,2, получим:

= = 123,318 млн руб.;

= = 67,678 млн руб.

Конечно, при определении можно было воспользо­ваться уже найденным значением и формулой (78), из которой следует:

= =67,678 млн.руб.

Пример 3.2.3. Финансовая компания в течение пяти лет в соответствии со своими обязательствами должна выплачивать вкладчикам по 20 млн руб. ежегодно. Какой суммой должна располагать компания, чтобы иметь возможность выполнить обязательства, если норма доходности составляет 30% за год и выплаты происходят постоянно и достаточно равномерно?

Решение. Полагая, что выплаты происходят непрерывно с постоянной интенсивностью (т.е. моделируя ситуацию с помо­щью непрерывного аннуитета), для нахождения необходимой суммы воспользуемся формулой (135) определения приведенной стоимости аннуитета. Так как = 20 млн руб., n = 5, m = 1 и r = 30%, то:

= 55,700 млн руб.

Таким образом, обладая 55,7 млн руб., компания способна выполнить свои обязательства перед вкладчиками.

Пример 3.2.4. Имеется переменный аннуитет постнумеран-до (тыс. руб.): 20, 12, 8, 45, 30. Рассчитайте: а) будущую стои­мость аннуитета; б) приведенную стоимость аннуитета, если его период совпадает с базовым периодом начисления процентов по сложной процентной ставке 25% годовых, т.е. равен одному го­ду. Как изменятся полученные оценки, если исходный поток представляет собой аннуитет пренумерандо?

Решение, а) Обозначим (в тыс. руб.) C =20, C₂=12, С₃ = 8, С₄ = 45, С₅ = 30 и r = 0,25. Изобразим схематично усло­вие задачи на оси времени (одно деление равно одному году), помещая над осью члены аннуитета.

20 12 8 45 30

i I I I I I __________

о 1 2 3 4 5 t лет

 

 

Для определения будущей стоимости аннуитета можно вос­пользоваться формулой (116). Для наглядности представим ре­зультаты расчетов в табличном виде.

(тыс. руб.)

Год	Денежный поток	Множитель наращения при r =25%	Наращенный поток
		2.4414	48,828
		1,9531	23,4372
		1,5625	12,5
		1,25	56,25
			171,0152

Из таблицы видно, что на первое денежное поступление в размере 20 тыс. руб. начисляются сложные проценты за 4 года и оно в конце пятого года станет равным 20-2,4414 = 48,828 тыс. руб.; на второе денежное поступление в размере 12 тыс. руб. начисляются сложные проценты за 3 года и оно в конце пятого года станет равным 12-1,9531 = 23,4372 тыс. руб. и т.д. Будущая стоимость аннуитета равна сумме наращенных поступлений, т.е. =171,0152 тыс. руб.

б) Для определения приведенной стоимости аннуитета мож­но воспользоваться формулой (117). Как и в предыдущем слу­чае, для наглядности представим результаты расчетов в таблич­ном виде:

(тыс. руб.)

Год	Денежный поток	Дисконтный множитель при r = 25%	Приведенный поток
		0,8
		0,64	7,68
		0,512	4,096
		0,4096	18,432
		0,3277	9,831
			56,039

Таким образом, с позиции начала первого года приведенная стоимость 20 тыс. руб. составляет 200,8 =16 тыс. руб., приве­денная стоимость 12 тыс. руб. составляет 12*0,64 = 7,68 тыс. руб. и т.д. Суммируя приведенные стоимости всех денежных посту­плений, получим приведенную стоимость аннуитета PV = 56,039 тыс. руб.

Конечно, при рассмотрении этого случая можно было вос­пользоваться уже ранее найденной будущей стоимостью FV а именно:

= 171,0152*0,3277=56,0417тыс.руб.

Расхождение в 2 руб. 70 коп. (0,0027 тыс. руб.) является следствием погрешности вычислений.

Если же исходный поток является аннуитетом пренумеран-до, то схематично условие задачи выглядит таким образом:

20 12 8 45 30

i I I I I I __________

о 1 2 3 4 5 t лет

 

 

Для определения будущей и приведенной стоимости этого аннуитета пренумерандо можно воспользоваться полученными результатами и формулами (118) и (119):

(1 + 0,25) = 171,0152*1,25 =213,769 тыс. руб.;

(1 + 0,25) = 56,039 *1,25 = 70,0488 тыс. руб.

Пример 3.2.5. Согласно условиям финансового соглашения на счет в банке в течение 8 лет: а) в конце года; б) в начале года будут поступать денежные суммы, первая из которых равна 4 тыс. руб., а каждая следующая будет увеличиваться на 0,5 тыс. руб. Оцените этот аннуитет, если банк применяет процентную ставку 20% годовых и сложные проценты начисляются один раз в конце года. Как изменятся оценки аннуитета, если денежные суммы будут уменьшаться на 0,5 тыс. руб.?

Решение, а) Согласно условию имеем переменный аннуитет постнумерандо с постоянным абсолютным изменением его чле­нов и, следовательно, для оценки аннуитета воспользуемся фор­мулами (140) и (141). По условиям соглашения А = 4 тыс. руб., n = 8, r = 0,2, и если суммы возрастают, то z =0,5 тыс. руб.

Поэтому:

= 87,244 тыс. руб.;

 

=20,290 тыс.руб.

С целью проверки воспользуемся формулой (65):

FM2(20%,8) = 87,244*0,2326 = 20,293 тыс. руб.,

т.е. результаты вычислений совпадают с точностью до второго знака после запятой (отличие на 3 руб.).

Если суммы будут уменьшаться, то z = -0,5 и, следовательно,

44,749 тыс. руб.;

= 10,408 тыс. руб.

Заметим, что при z < 0 члены аннуитета убывают и число этих членов (равное числу периодов n) должно удовлетворять

неравенству n<1 - , иначе можно получить отрицательные

платежи, что лишено смысла, т.е. должно выполняться условие

n < 1 + = 9. Таким образом, в данной ситуации (при n = 8) все

платежи положительны.

б) Оценки аннуитета пренумерандо нетрудно получить, ис­пользуя соотношения (l+r), (1 + r). Если z = 0,5, то

FV =87,244*1,2 = 104,693 тыс. руб.;

PV =20,290*1,2=24,348 тыс. руб.;

Если же z = -0,5, то

FV = 44,749 *1,2= 53,699 тыс. руб.;

PV =10,408*1,2=12,490 тыс. руб.

Нетрудно получить формулы оценки аннуитета, аналогич­ные формулам (140), (141), и для других ситуаций. Однако эти формулы приобретают несколько громоздкий вид. Например, если в переменном аннуитете постнумерандо с постоянным аб­солютным изменением его членов начисление сложных процен­тов происходит т раз за период, то можно показать, что

Так, если в условиях примера начисление сложных процен­тов происходит в конце каждого квартала (m = 4), то = 0,05 и

для z = 0,5 получаем:

= 91,854 тыс. руб.

Пример 3,2.6. За 6 лет необходимо накопить 3,0 тыс. руб. Какой величины должен быть первый вклад, если прЬдпопагает-ся каждый год увеличивать величину денежного поступления на 800 руб. и процентная ставка равна 25% годовых? Денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляются в конце года. Определите, на какую величину необходимо уве­личивать каждый год денежное поступление, если первый вклад будет равен 2 тыс. руб.

Решение. Полагая в формуле (140) FV ,=30 тыс. руб., z = 0,8 тыс. руб., n = 6 и r = 0,25, получим уравнение:

30=(A+ )11,2588-

из которого находим размер первого вклада:

тыс. руб.;

Если же известна величина первого вклада А = 2 тыс. руб. и неизвестна величина z абсолютного изменения денежных по­ступлений, то по формуле (140) получим:

откуда:

тыс. руб.;

Пример 3.2.7. По условиям контракта на счет в банке посту­пают в течение 7 лет в конце года платежи. Первый платеж ра­вен 4 тыс. руб., а каждый следующий по отношению к преды­дущему увеличивается на 10%. Оцените этот аннуитет, если банк начисляет в конце каждого года сложные проценты из рас­чета 28% годовых.

Решение. Поскольку ежегодно платежи увеличиваются в 1,1 раза (на 10%), то денежный поток представляет собой пере­менный аннуитет постяумерандо с постоянным относительным изменением его членов. Поэтому для оценки аннуитета восполь­зуемся формулами (143) и (144). Полагая А = 4 тыс. руб., n = 7, r = 0,28 и q = 1,1, получим:

тыс. руб.;

тыс. руб.;

Пример 3.2.8. Компания за предьщущий год выплатила 2 тыс. руб. на акцию. Согласно прогнозам дивиденды по акциям этой компании будут расти на 100 руб. ежегодно в течение не­определенно долгого времени. Сделайте вывод о целесообраз­ности покупки акций компании по цене 12 тыс. руб., если можно поместить деньги на депозит под 24% годовых. Изменится ли ситуация, если дивиденды по акциям будут расти на 8% ежегод­но в течение неопределенно долгого времени?

Решение. Полагая А = 2 тыс. руб., z = 0,1 тыс. руб. и r = 0,24, по формуле (142) оценки бессрочного аннуитета найдем истин­ную стоимость акции:

= 10,069 тыс. руб.

Так как истинная стоимость акции меньше ее цены, то не имеет смысла приобретать акцию.

Пусть теперь дивиденды по акциям растут на 8% в год, т.е. увеличиваются ежегодно в 1,08 раза. В этом случае истинная стоимость акции по формуле (145) при q = 1,08 составит:

тыс. руб.

Таким образом, истинная стоимость акции больше ее цены, следовательно, имеет смысл ее приобретение.

Пример 3.2.9. Сдан участок в аренду на десять лет. Аренд­ная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнуме-рандо на следующих условиях: в первые семь лет- по 20 тыс, руб., в оставшиеся три года - по 12 тыс. руб. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 22%.

Решение. Естественно, приведенная стоимость денежного потока должна оцениваться с позиции начала первого времен­ного интервала. Решать данный пример можно различными спо­собами в зависимости от того, какие аннуитеты будут выделены аналитиком. Во-первых, можно воспользоваться общей форму­лой (117). Представим еще три варианта решения.

а) Исходный поток можно представить как сумму двух ан­нуитетов: первый имеет А = 12 тыс. руб. и продолжается десять лет; второй имеет А = 8 тыс. руб. и продолжается первые семь лет. По формуле (121) можно оценить приведенную стоимость каждого аннуитета, а сумма этих оценок даст значение приве­денной стоимости исходного денежного потока:

PV = 12 * FM4(22%;0) + 8 * FM4(22%,7) = 12*3,9232 + 8*3,4155 =74,402 тыс. руб.

б) Исходный поток можно представить как разность двух ан­нуитетов: первый имеет А = 20 тыс. руб. и продолжается десять лет, второй имеет А = 8 и, начавшись в восьмом году, заканчива­ется в десятом. По формуле (121) можно оценить приведенную стоимость каждого аннуитета. Однако второй аннуитет в этом слу­чае будет оценен с позиции начала восьмого года, поэтому полу­ченную сумму необходимо дисконтировать с помощью формулы (65) к началу первого года. В этом случае оценки двух аннуитетов будут приведены к одному моменту времени, а их сумма даст оценку приведенной стоимости исходного денежного потока.

PV =20 *FM4(22%Д0) - 8 * FW4(22%3) * FM 2(22%,7) = 20 * 3,9232 - 8 * 2,0422 * 02486 = 74,402 тыс. руб.

в) Исходный поток можно представить как сумму двух ан­нуитетов: первый имеет А = 20 тыс. руб. и продолжается семь лет; второй имеет А = 12 тыс. руб. и продолжается последние три года (т.е. является отсроченным аннуитетом). Поэтому по формулам (121) и (125) при h = 7,получим:

PV = 20 * FM4(12%,1) + 12* FM4(22%,3) * FM2(22%,7) = 20*3,4155 + 12*2,0422*0,2486 = 74,402 тыс. руб.

Задаче

3.2.1. В течение 7 лет на счет в банке ежедневно будут по­ступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 30 тыс. руб. Определите сумму, накопленную к концу седьмого года при использовании сложной процентной ставки 24% годо­вых, считая, что платежи поступают непрерывным образом.

3.2.2. В течение 3 лет на счет в банке ежедневно будут по­ступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 15 тыс. руб. Определите сумму, накопленную к концу третьего года при использовании процентной ставки 18% годовых, если начисление сложных процентов осуществляется: а) по полуго­диям; б) ежемесячно. Рассмотрите схемы постнумерандо и пренумерандо, полагая в году 360 дней. Можно ли в качестве приближения считать, что имеем дело с непрерывным аннуи­тетом?

3.2.3. Некоторое месторождение полезных ископаемых бу­дет разрабатываться в течение 8 лет, при этом ожидается, что доходы от эксплуатации месторождения составят в^: среднем 300 млн руб. в год. Определите капитализированную (приве­денную) стоимость ожидаемого дохода при использовании сложной процентной ставки 20% годовых и в предположении, что отгрузка и реализация продукции будут непрерывны и равномерны.

3.2.4. Финансовая компания в течение трех лет в соответст­вии со своими обязательствами должна выплачивать вкладчи­кам по 8 млн руб. ежегодно. Какой суммой должна располагать компания, чтобы иметь возможность выполнить обязательства, если норма доходности составляет 25% за год и выплаты проис­ходят постоянно и достаточно равномерно?

3.2.5. Фирма намеревается выпускать некоторую продукцию в течение четырех лет, получая ежегодно выручку в размере 40 млн руб. Предполагается, что продукция в течение года будет продаваться более или менее равномерно. Оцените ожидаемые денежные поступления, если применяется: а) сложная процент­ная ставка 22% годовых; б) непрерывная ставка 22% за год.

3.2.6. Определите приведенную стоимость непрерывного бессрочного аннуитета с суммарной величиной денежных по­ступлений, равной 50 тыс. руб. ежегодно, если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 30% годовых, причем сложные проценты начисляются: а) еже­квартально; б) непрерывно.

3.2.7. Имеется переменный аннуитет постнумерандо (тыс. руб.)- 14, 40, 25, 10. Рассчитайте: а) будущую стоимость аннуи­тета; б) приведенную стоимость аннуитета, если его период сов­падает с базовым периодом начисления процентов по сложной процентной ставке 30% годовых, т.е. равен одному году. Как изменятся полученные оценки, если исходный поток представ­ляет собой аннуитет пренумерандо?

3.2.8. Согласно условиям финансового соглашения на счет в банке в течение 7 лет: а) в конце года; б) в начале года будут поступать денежные суммы, первая из которых равна 6 тыс. руб., а каждая следующая будет увеличиваться на 0,3 тыс. руб. Оцените этот аннуитет, если банк применяет процентную ставку 22% годовых и сложные проценты начисляются один раз в кон­це года. Как изменятся оценки аннуитета, если денежные суммы будут уменьшаться на 0,3 тыс. руб.?

3.2.9. За 10 лет необходимо накопить 50 тыс. руб. Какой ве­личины должен быть первый вклад, если предполагается каж­дый год увеличивать величину денежного поступления на 400 руб. и процентная ставка равна 20% годовых? Денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляются в конце года. Определите, на какую величину необходимо уве­личивать каждый год денежное поступление, если первый вкла; будет равен 1,5 тыс. руб. 3.2.10. Компания за предыдущий год выплатила 3,2 тыс. руб. на акцию. Согласно прогнозам дивиденды по акциям этой ком­пании будут расти на 200 руб. ежегодно в течение неопределен­но долгого времени. Сделайте вывод о целесообразности покуп­ки акций компании по цене 15 тыс. руб., если можно поместить деньги на депозит под 25% годовых.

3.2.11. По условиям контракта на счет в банке поступают в течение 6 лет в конце года платежи. Первый платеж равен 5 тыс. руб., а каждый следующий по отношению к предыдущему уве­личивается на 12%. Оцените этот аннуитет, если банк начисляет в конце каждого года сложные проценты из расчета 20% годо­вых. Оцените аннуитет, если платежи поступают в начале года.

3.2.12. За 5 лет необходимо накопить 40 тыс. руб. Какой ве­личины должен быть первый вклад, если предполагается каж­дый год увеличивать величину денежного поступления на 15% и процентная ставка равна 24% годовых? Денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляются в конце года.

3.2.13. Компания за предыдущий год выплатила 1,5 тыс. руб. на акцию. Согласно прогнозам дивиденды по акциям этой ком­пании будут расти на 6% ежегодно в течение неопределенно долгого времени. Сделайте вывод о целесообразности покупки акций компании по цене 14 тыс. руб., если можно поместить деньги на депозит под 18% годовых.

3.2.14. Сдан участок в аренду на 15 лет. Арендная плата бу­дет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на сле­дующих условиях: в первые 10 лет - по 30 тыс. руб., в остав­шиеся 5 лет - по 24 тыс. руб. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используе­мая аналитиком, равна 20%. Приведите несколько вариантов решения.

3.2.15. Арендовано оборудование сроком на десять лет. Плата за эксплуатацию оборудования будет осуществляться еже­годно по схеме постнумерандо на следующих условиях: в первые 4 года - по 40 тыс. руб., в оставшиеся 6 лет - по 45 тыс. руб. Тре­буется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 23%, При­ведите несколько мриантов решения.