Типовые примерыи методы их решении

Пример 3.1.1, Клиент в конце каждого года вкладывает 3 тыс. руб. в банк, выплачивающий сложные проценты по процентной ставке 25% годовых. Определите сумму, которая будет на счете клиента через 7 лет. Если эта сумма получается в результате од­нократного помещения денег в банк в начале первого года, то ка­кой величины должен быть взнос? Как изменятся найденные ве­личины, если деньги вкладываются в начале каждого года?

Решение. Первый вариант помещения денег является посто­янным аннуитетом постнумераидо, член которого равен 3 тыс. руб., срок - 7 лет, и период равен одному году. Изобразим схе­матично эту ситуацию на оси времени (одно деление равно рд-ному году), помещая над осью члены аннуитета.

3 3 3 3 3 3 3 3

i I I I I I I I __________

о 1 2 3 4 5 6 7 t лет

Для определения суммы на счете через 7 лет (т.е. будущей стоимости аннуитета) можно воспользоваться общей форму­лой (116), полагая r = 0,25, С = С₂ =... = С = 3. Однако удобнее пользоваться уже преобразованным вариантом этой формулы для постоянного аннуитета, а именно формулой (120), из кото­рой при А = 3 тыс. руб., n = 7 получим:

тыс. руб.

Значение коэффициента наращения аннуитета FM3(25%,7) можно либо взять из табл. 3 приложения 3, либо вычислить не­посредственно по формуле, определяющей этот коэффициент.

Для определения величины взноса (в начале первого года), который при наращении сложными процентами через 7 лет ста­нет равным 45,221 тыс. руб., можно воспользоваться формулой нахождения приведенной стоимости аннуитета. Применяя фор­мулу (121), находим:

тыс. руб.

Естественно, можно было воспользоваться уже ранее най­денной будущей стоимостью и формулой (65):

= 9,483 тыс.руб.

Если же деньги вкладываются в начале каждого года, то имеем дело с постоянным аннуитетом пренумерандо, который схематично выглядит таким образом:

3 3 3 3 3 3 3

i I I I I I I I __________

о 1 2 3 4 5 6 7 t лет

 

Для определения будущей и приведенной стоимости этого аннуитета пренумерандо можно воспользоваться полученными результатами и формулами (118) и (119) или соответственно формулами (126) и (127) при т = р =1:

тыс. руб.;

= 11,854 тыс. руб.

Пример 3.1.2. Вам предлагают сдать в аренду участок на шесть лет, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: а) 20 тыс. руб. - в конце каждого года; б) 240 тыс. руб. - в конце шестилетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 30% годовых по вкладам? При какой оплате в конце каждого года оба варианта практически эквивалентны?

Решение. Первый вариант оплаты представляет собой ан­нуитет постнумерандо при п = 6 и А =20 тыс. руб. Схематично этот вариант можно представить таким образом:

20 20 20 20 20 20

i I I I I I I __________

о 1 2 3 4 5 6 t лет

 

 

В этом случае имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестирования полученных сумм как ми­нимум на условиях 30% годовых (например, вложение в банк). К концу шестилетнего периода накопленная сумма может быть рассчитана в соответствии с формулой (120), где r = 30%:

тыс. руб

Таким образом, расчет показывает, что вариант (а) более вы­годен.

Конечно, оценку обоих вариантов можно было произвести и с позиции текущего момента. По формуле (121) находим приве­денную стоимость денежного потока, получаемого при первом варианте оплаты аренды:

= 20*FM4(30%,6) = 20-2,6427 = 52,854 тыс. руб.

По формуле (65) определяем приведенную стоимость F_n =240 тыс. руб.:

Р = 240 *FM2(30%,6) = 240 * 0,2072 = 49,728 тыс. руб.

Естественно, приходим к тому же выводу: вариант (а) более выгоден.

Для определения величины оплаты в конце каждого года, при которой оба варианта эквивалентны, воспользуемся равен­ством А * FM3(30%,6) = 240 тыс. руб., из которого находим:

тыс. руб

Такой же результат получим и из равенства

А * FM4(30%,6) = 49,728 тыс. руб.

Пример 3.1.3. Предприниматель в результате инвестирова­ния в некоторый проект будет в течение трех лет получать в конце каждого квартала 8 тыс. руб. Определите возможные суммы, которые может через три года получить предпринима­тель, если можно поместить деньги в банк под сложную про­центную ставку 24% годовых с начислением процентов: а) еже­годно; б) ежеквартально; в) ежемесячно.

Решение, а) В этой ситуации возможны два варианта. Если начисляются только сложные проценты, то по формуле (122) при А = % тыс. руб., n = 3, r = 24%, т. = 1, р - 4 получим:

тыс. руб

Так как, естественно, значения FМ3 (24%, ) в таблице нет, то его вычисляем непосредственно по формуле FM3(r,п) =

при n = , r = 0,24:

FM3(24%, )=

Если в течение года происходит начисление простых про­центов, то по формуле (129) получаем:

= 33,88* 3,7776 = 131,763 тыс. руб.

б) В данном случае можно воспользоваться формулой (120), считая базовым периодом начисления процентов квартал. Тогда n=3*4=12, r = = 6% и

S₂ =8*FM3(6%12) = 8*16,8699 = 134,959 тыс.руб.

в) В этом случае, пользуясь формулой (122) при A = 8 тыс. руб., n = 3, r = 24%, m = 12, р = 4, имеем:

тыс. руб

Таким образом, < S < S₃ и S < . Очевидно, что при решении этой задачи (в случае начисления только сложных процентов) можно было пользоваться только общей формулой (122), выбирая соответствующие значения параметров.

Заметим, что в ряде книг формулы оценки аннуитета имеют несколько отличный вид от соответствующих формул, приве­денных в пособии, поскольку в них вместо величины А каждого денежного поступления взята за основу суммарная величина денежных поступлений за базовый период начисления процен­тов (обычно за год). Таким образом, в формулах (122)-(12.4) и

им подобных вместо множителя А появляется множитель .

Пример 3.1,4. Предприниматель, заключив на пять лет кон­тракт с фирмой, будет получать от нее по 30 тыс. руб. в конце каждого полугодия. Эти платежи предприниматель будет поме­щать в банк на условиях начисления сложных процентов по го­довой номинальной процентной ставке 32%. Определите приве­денную стоимость суммы, которую получит предприниматель по данному контракту, если проценты начисляются: а) раз в полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно.

Решение. Воспользуемся во всех случаях только форму­лой (123), где.A = 30 тыс. руб., r = 32%, n = 5, р = 2.

а) В этом случае т=2 и, следовательно, mn=2*5 = 10,

Поэтому:

= 144,996 тыс. руб.

б) Так как теперь т = 4, то mn = 4 * 5 = 20, = 8%, = 2.

Следовательно,

тыс. руб.

в) Поскольку m = 12, то mn = 12*5 = 60, %,

= 6. Таблицами в этом случае воспользоваться нельзя,

поэтому применяем непосредственно расчетные формулы. Так

как FM4(r,n) = , то

= 139,182тыс.руб.

Как и следовало ожидать, приведенная стоимость с ростом числа начислений уменьшается.

Пример 3.1.5. Какую сумму необходимо поместить в банк под номинальную процентную ставку 36% годовых, чтобы в течение 6 лет иметь возможность в конце каждого года снимать со счета 8 тыс. руб., исчерпав счет полностью, если банком на­числяются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежемесячно; в) непрерывно?

Решение. Для ответа на поставленный вопрос во всех случа­ях необходимо определить приведенную стоимость аннуитета постнумерандо при А = 8 тыс. руб., п = 6.

а) Полагая г т 36%, по формуле (121) находим:

РV , =8 FM4(36%,6) = 8*2,3388 = 18,710 тыс.руб.

б) В этом случае, используя формулу (123) при m =12, р =1,получим:

тыс.руб.

 

Обратим внимание и на другой способ решения. Можно вначале найти эффективную годовую процентную ставку для r⁽¹²⁾ = 0,36 по формуле (63):

=(1+ )¹² -1 = 0,4258.

А затем применяем формулу (121) при r = 0,4256:

=16,552 тыс. руб.

С точностью до второго знака после запятой получили такой

же ответ.

в) Полагая в формуле (132) = 0,36, р = 1, находим:

тыс.руб.

Пример 3.1.6. Какую сумму необходимо поместить в банк под номинальную процентную ставку 30% годовых, чтобы в течение 8 лет иметь возможность ежегодно получать 12 тыс. руб., снимая деньги равными долями каждые 3 месяца, и в конце восьмого года исчерпать счет полностью, если банком начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) по полугодиям; в) непрерывно?

Решение. При нахождении искомой суммы во всех случаях необходимо определить приведенную стоимость р-срочного ан­нуитета постнумерандо при р=4, A = 12/4 = 3 тыс.руб.,, n = 8,

а) Полагая r = 30%, т = 1, по формуле (123) находим:

тыс.руб

б) В этом случае т = 2 и, следовательно,mn = 2*8=16,

Поэтому по формуле (123):

= 37,021 тыс. руб.

Естественно, получили меньшее значение, чем в предыду­щем случае, поскольку начисление сложных процентов проис­ходит чаще.

в) Так как начисление процентов происходит непрерывно, то полагаем = 0,3 и пользуемся формулой (132):

35,018 тыс. руб.

Пример 3.1.7. Банк предлагает ренту постнумерандо на 15 лет с полугодовой выплатой 10 тыс. руб. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается постоянной, и сложные проценты начисляются по полугодиям. По какой цене можно приобрести эту ренту, если выплаты начнут осуществляться: а) немедленно; б) через 3 года; в) через 4,5 года, а сложная про­центная ставка равна 4, 10 и 24% годовых?

Решение. Для ответа на вопрос примера определим приве­денную стоимость ренты во всех случаях, при этом будем счи­тать, что число периодов п = 15-2 = 30. Тогда ставка за период будет соответственно 2, 5 и 12%. Обозначим через Л число пе­риодов, через которое начинает поступать первый из потока платежей. Для наглядности условие задачи изобразим схема­тично (для всех трех ситуаций) на оси времени, когда одно де­ление равно полугодию (т.е. равно периоду начисления процен­тов), помещая над осью платежи (в тыс. руб.):

а) h = 0:

б) h = 3*2=6:

_В) h,=4,5*2=9:

В случае а) пользуемся формулой (121), определяя FM4(r,n) либо по таблице, либо непосредственно по расчетной формуле. Учитывая,что А = 10, например для r =2%, получаем:

PV = 10 * FM4(2%,30) = 10 *22,3965 = 223,965 тыс. руб. В случае

б) пользуемся формулой (125), полагая h = 6. По­скольку v = FM2(r,h), то, например, для r = 5% по формуле (125):

PV = 10 * FM2(5%,6)*FM4 = 10 *0,7462*15,3725 = 114,710 тыс. руб.

В случае в) также пользуемся формулой (125), полагая h = 9. В частности, для r = 12%:

PV , = 10 * FM2(12%,9) * FM4(12%,30) = 10 * 0,3606 * 8,0552 = 29,047 тыс. руб.

Аналогичным образом определяются все остальные значения. Результаты расчетов (в тыс. руб.) для наглядности предста ним в виде таблицы.

Из таблицы видно, что с ростом процентной ставки и срока, после которого начнутся выплаты, приведенная стоимость уменьшается. В частности, если выплаты начнутся через 4,5 го­да (т.е. через 9 полугодий) я процентная ставка составит 24% годовых, то ренту можно приобрести за 29,047 тыс. руб. (или, конечно, дешевле).

В заключение отметим, что в формуле (125) h ие обязатель­но должно быть целым числом. А вот если оно целое, как в ус­ловии примера, то формулу (125) можно привести к виду:

РV = A* FM4(r,n + h)- A* FM4(r,h),

т.е. приведенная стоимость отсроченного аннуитета представля­ет собой разность приведенных стоимостей аннуитетов с плате­жами, начиная с первого периода. Например, для h=9,r = 12% имеем:

РV = 10* FM4(12%,39)- 10* FM4(12%,9),= 82,330 - 53,282 = 29,048 тыс. руб.

Отличие на 1 руб. от значения, полученного по формуле (125) и равного 29,047 тыс. руб., объясняется погрешностью вычислений.

Очевидно, кстати, что при h= 0 из формулы (125) следует формула (121).

Пример 3.1.8. Некоторая фирма хочет создать фонд в разме­ре 350 тыс. руб. С этой целью в конце каждого года фирма предполагает вносить по 60 тыс. руб. в банк под 28% годовых. Найдите срок, необходимый для создания фонда, если банк на­числяет сложные проценты: а) ежегодно; б) по полугодиям; в) ежемесячно.

Решение, а) Поскольку имеем дело с аннуитетом постнуме-рандо, то при ответе на вопрос примера можно поступить двояко. Во-первых получить в общем принимающую вид:

и подставить в нее значения FV =350 тыс. руб., A=60 тыс. руб r = 0,28. Таким образом:

года.

Во-вторых, пользуясь непосредственной формулой для рас­чета FM3(r,n), можно в формулу (120) подставить все извест­ные значения и решить полученное уравнение относительно п. Так как формула (120) имеет вид:

то, подставляя вместо параметров их значения, получим:

откуда следует.Логарифмируя последнее равенство, находим:

Округлим срок до целого числа лет, т.е. пусть n = 4. Теперь, преобразуя формулу (120), определяем величину ежегодного взноса:

=58,183 тыс. руб.

Следовательно, внося ежегодно по 58,183 тыс. руб., можно за 4 года создать фонд в размере 350 тыс. руб. Конечно, можнобыло сразу внести сумму 350 * FM2(28%,4) = 130,385 тыс. руб., которая обеспечила бы через 4 года создание фонда необходи­мого размера. Однако одновременное изъятие из хозяйственного оборота 130,385 тыс. руб. менее целесообразно, чем ежегодные отчисления по 58,183 тыс. руб.

б) Найдем искомый срок, подставляя в формулу (122) значе­ния всех известных параметров и учитывая, что в этом случае р =1, т = 2. Получим равенство:

которое равносильно выражению (1,14)²ⁿ =2,748. Откуда получаем: п = = 3,857 года

в) В этом случае т =12, поэтому из формулы (122) следует:

откуда года.

Естественно, с увеличением числа начислений процентов искомый срок уменьшается.

Пример 3.1.9. Работник заключает с фирмой контракт, со­гласно которому в случае его постоянной работы на фирме до выхода на пенсию (в 65 лет) фирма обязуется перечислять в конце каждого года в течение 25 лет на счет работника в банке одинаковые суммы, которые обеспечат работнику после выхода на пенсию в конце каждого года дополнительные выплаты в размере 8000 руб. в течение 18 лет. Какую сумму ежегодно должна перечислять фирма, если работнику 40 лет и предпола­гается, что банк гарантирует годовую процентную ставку 20%?

Решение. Выплаты работнику после выхода на пенсию представляют собой аннуитет постнумерандо с членом,4 = 8000 руб. и длительностью n = 18 лет. Полагая r = 20%, по

формуле (121) найдем приведенную стоимость этого аннуитета на момент выхода работника на пенсию:

PV = 8000 * FM4(20%,18) = 8000 * 4,8122 = 38497,6 руб.

Полученная величина представляет собой необходимую бу­дущую стоимость ежегодных вкладов фирмы на счет работника. Поэтому размер каждого вклада можно найти из формулы (120), полагая FV =38497,6 руб.:

руб

Таким образом, каждый год фирме вполне достаточно пере­числять на счет работника 81 руб. 57 коп.

Пример 3.1.10, Предприниматель получил на 5 лет ссуду в размере 400 тыс. руб., причем ежегодно он должен выплачивать кредитору проценты по ставке 20%. Одновременно с получени­ем ссуды предприниматель (для ее погашения) создает страхо­вой фонд, в который в конце каждого года будет делать одина­ковые взносы, чтобы к моменту возврата долга накопить 400 тыс. руб. Определите суммарные ежегодные затраты предпри­нимателя, если на деньги, находящиеся в фонде, начисляются сложные проценты по ставке 24% годовых.

Решение. Обозначим через А ежегодный взнос в страховой фонд, через R - ежегодные суммарные затраты предпринимате­ля. Так как уплачиваемые на долг проценты составляют 400*0,2 = 80 тыс. руб., то R = А + 80. Величину А можно найти из формулы (120),полагая FV =400 тыс. руб., n = 5, r = 24%:

400 = А * FM3(24%,5), откуда А = = 49,699 тыс. руб.

Таким образом, R = 49,689 + 80 = 129,699 тыс. руб.

Пример 3,1.11. Предлагается инвестировать 200 тыс. руб. на 4 года при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 50 тыс. руб.). По истечении четырех лет выплачивается до­полнительное вознаграждение в размере 80 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно депонировать деньги в банк из расчета 18% годовых (сложных)?

Решение. Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две суммы. При депонировании денег в банк к концу четырехлетнего периода на счете будет сумма:

F₄ =P*FM1(18%,4)=200*1,9388=387,76 тыс.руб.

В отношении альтернативного варианта, предусматриваю­щего возмещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 50 тыс. руб. можно не­медленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. Денежный поток в этом случае можно представить двояко:

а) как срочный аннуитет постнумерандо с А = 50, n = 4, r = 18% и единовременное получение суммы в 80 тыс. руб.;

б) как срочный аннуитет пренумерандо с А = 50, п = 3, r = 18% и единовременное получение сумм в 50 и 80 тыс. руб.

В первом случае на основании формулы (120) имеем:

S = 50FM3(18%,4) + 80 = 50*5,2154 + 80 = 340,77 тыс. руб.

Во втором случае на основании формулы (126) имеем:

S=50FM3(18%,3)1,18+130=50*3,5724*1,18+130= 340,77 тыс. руб.

Естественно, что оба варианта привели к одинаковому ответу. Таким образом, общая сумма капитала к концу пятилетнего пе­риода будет складываться из доходов от депонирования денег в банке (210,77 тыс. руб.), возврата доли от участия в проекте за последний год (50 тыс. руб.) и единовременного вознаграждения (80 тыс. руб,). Общая сумма составит, следовательно, 340,77 тыс. руб. Предложение экономически нецелесообразно.

Пример 3.1.12. Компания гарантирует выплату дивидендов в размере 8 тыс. руб. на акцию в конце каждого года в течение неопределенно долгого времени. Имеет ли смысл покупать ак­ции этой компании по цене 37 тыс. руб., если можно поместить деньги на депозит под 20% годовых?

Решение. Полагая в формуле (124) А = 8 тыс. руб., r = 0,2, r=0,2 ир = m = 1, находим, что истинная стоимость акции составляет

= 40 тыс. руб. Следовательно, акции можно приобретать.

Пример 3.1.13. Фирма собирается учредить фонд для ежегод­ной (в конце года) выплаты пособии своим работникам. Опреде­лите сумму, которую фирма должна поместить на депозит в банк, чтобы обеспечить получений неограниченно долго в конце каж­дого года 12 тыс. руб., если банк начисляет: а) ежегодно сложные проценты по ставке 28%; б) ежеквартально сложные проценты по ставке 28%; в) непрерывные проценты с силой роста 28%.

Решение. Денежный поток во всех случаях является бес­срочным аннуитетом постнумерандо, причем A = 12 тыс. руб. Необходимо найти приведенную стоимость этого аннуитета.

а) Так как r = 0,28, то по формуле (124) при р = m = 1 полу­чим:

тыс. руб

б) Полагая в формуле (124) r = 0,28, т=4,p=1,находим;

= 38,611 тыс. руб.

в) Поскольку в этом случае р = 1, = 0,28, то из формулы (133) следует:

тыс. руб

Пример 3.1.14. Вы имеете возможность инвестировать оди­наковую сумму денег в один из двух проектов. Первый проект позволит получить бессрочную ренту постнумерандо с ежегод­ными выплатами в размере 20 тыс. руб. Второй проект в течение двух лет принесет соответственно 40 тыс. руб. и 100 тыс. руб. Какой из этих проектов лучше, если процентная ставка состав­ляет 25% годовых? Можно ли так изменять процентную ставку, тоет изменится на противоположный?

Решение. Для сравнения проектов определим приведенные стоимости потоков доходов, доставляемых проектами.

Полагая в формуле (124) r = 0,25 при р = т = 1, получим:

= 80 тыс. руб.

Для оценки второго проекта пользуемся формулой (117) при п = 2, C =40 тыс. руб., С₂ =100 тыс. руб. и r = 25%:

= 40* 0,8 + 100*0,64 = 96тыс.руб.

Следовательно, второй проект предпочтительнее.

Теперь выясним, существует ли такая годовая процентная ставка r, при которой первый проект предпочтительнее. Для этого надо решить неравенство:

Совершая равносильные преобразования неравенства, полу­чим r² +5r-1< 0, откуда находим, что -5,1926 < r <0,1926. Таким образом, процентная ставка должна быть меньше 19,26% годо­вых. С целью проверки полученного результата вычислим при­веденные стоимости доходов, например, при ставке 17%. По формулам (124) и (117) соответственно получим:

= тыс.ру6.,

=40* FM2(17%,1) +100 * FM2(17%,2) == 40 *0,8547+ 100*0,7305 =107,238 тыс. руб.

Следовательно, при использовании ставки 17% первый про­ект предпочтительнее.

Пример 3.1.15. В банке получена ссуда на шесть лет в сумме 800 тыс. руб. под 25% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно рав­ными суммами в конце каждого года. Требуется определить ве­личину годового платежа исоставить план погашения долга

Решение. Обозначим через А величину искомого годового платежа. Поток этих платежей представляет собой аннуитет постнумерандо, для которого =800000 руб., r = 25%, n = 6. Поэтому для нахождения величины А можно воспользо­ваться формулой (121), из которой следует:

= 271058 руб.

Составим план погашения долга. Поскольку в течение пер­вого года заемщик пользовался ссудой в размере 800000 руб., то платеж, который равен 271 058 руб. и будет сделан в конце это­го года, состоит из следующих двух частей: процентов за год в сумме 200 000 руб. (25% от 800 000 руб.) и погашаемой части долга в сумме 271 058 - 200 000 = 71 058 руб. В следующем году расчет будет повторен при условии, что размер кредита, которым пользуется заемщик, составит уже меньшую сумму по сравнению с первым годом, а именао: 800 000 - 71 058 - 728 942 руб. Таким образом, проценты за год'будут равны 182 236 руб. (25% от 728 942 руб.), а погашаемая часть долга будет равна 271 058 - 182 236 = 88 822 руб. И т.д. Отсюда видно, что с течением вре­мени сумма уплачиваемых процентов снижается, а доля платежа в счет погашения долга возрастает.

План погашения долга представим в виде таблицы:

Заметим, что данные в ходе вычислений округлялись, по­этому величина процентов в последней строке найдена балансо­вым методом, т.е. вначале записываем погашенную часть долга216 826 руб., а затем определяем величину процентов за год 271 058 - 216 826 = 54 232 руб. Если же непосредственно найти 25% от 216 826 руб., то получим 54 207 руб. Суммируя величины в пятом столбце, получим размер выданной ссуды: 800 000 руб.

Таблица позволяет ответить на целый ряд дополнительных вопросов, представляющих определенный интерес для прогно­зирования денежных потоков. В частности, можно рассчитать общую сумму процентных платежей, величину процентного платежа в k -м периоде, долю кредита, погашенную в первые к лет, ит.п.

Полезно также отметить, что можно вывести рекуррентные равенства, позволяющие сформулировать следующие правила заполнения таблицы:

а) каждый последующий элемент четвертого столбца (про­центы за год) получается путем умножения предыдущего эле­мента на (1 + r) и вычитания из полученного произведения Аг;

б) каждый последующий элемент пятого столбца (погашен­ная часть долга) получается путем умножения предыдущего элемента на (1 + r);

в) каждый последующий элемент шестого столбца (остаток ссуды на конек года) получается путем умножеаия предыду­щего элемента на (1 + r) и вычитания из полученного произве­дения А.

Например, для третьего элемента четвертого, пятого и шес­того столбцов таблицы соответственно имеем (учитывая при­ближенность вычислений):

182236(1 + 0,25)-2710580,25 = 160030;

88822 (1 + 0,25) = 111028;

640120 (1 + 0,25) - 271058 = 529092.

Пример 3.1.16. Предприниматель получил ссуду в сумме 300 тыс. руб. под 20% годовых, начисляемых по схеме сложных, процентов на непогашенный остаток, В соответствии с финан­совым соглашением предприниматель будет возвращать долг равными суммами по 102 тыс. руб. в конце каждого года. Со­ставьте план погашения долга.

Решение. Так как поток годовых платежей представляет со­бой аннуитет постнумераядо, то срок n погашения долга можно определить, преобразовав формулу (121):

Таким образом, при PV _pst =300 тыс. руб. A= 102 тыс. руб.r = 0,2, находим:

 

= 4,867 года.

Получили нецелое количество лет. Поэтому первые четыре года величина годового платежа будет 102 тыс. руб., а в послед­нем (пятом) неполном году величина платежа будет меньше: она будет равна сумме остатка долга на начало пятого года и начис­ленных на этот остаток процентов.

Представим план погашения долга в виде таблицы:

 

 

Величина платежа в пятом году (89453 руб.) получена сле­дующим образом. Поскольку остаток долга на начало пятого года равен 74544 руб., то начисленные проценты на него равны 14909 руб. (20% от 74544 руб.), и поэтому платеж составит

74544 + 14909 = 89453 руб.

Пример 3.1.17. Кредитор заключил контракт, согласно ко­торому должник обязуется выплатить 60 тыс. руб. за 5 лет рав­ными суммами в конце каждого года, причем на непогашенныйостаток будут по полугодиям начисляться сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 24%. По какой цене кредитор может продать этот контракт банку, который на ссу­женные деньги начисляет ежеквартально сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 28%?

Решение. Вначале определяем величину каждого платежа который должен делать должник в соответствии с контрактом. Эти пять платежей образуют постоянный аннуитет постнуме-рандо, приведенная стоимость которого составляет 60 тыс. руб. Полагая PV =60 тыс. руб., n = 5, m = 2, р = 1 и r = 24%, из формулы (123) находим величину

A=60 = 22,512 тыс. руб.

Таким образом, банку предлагается аннуитет сроком 5 лет и с членом А, равным 22,512 тыс. руб. Цена, по которой банк мо­жет приобрести этот аннуитет, определяется по формуле (123) при m = 4, r = 28%:

53,716 тыс. руб.

Задачи

3.1.1. Клиент в конце каждого года вкладывает 4 тыс. руб. в банк, выплачивающий сложные проценты по процентной ставке 30% годовых. Определите сумму, которая будет на счете клиен­та через: а) 3 года; б) 8 лет; в) 15 лет. Как изменятся найденные величины, если деньги вкладываются в начале каждого года?

3.1.2. Вам предлагают сдать в аренду участок на пять лет, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: а) 15 тыс. руб. -в конце каждого года; б) 130 тыс. руб. - в конце пятилетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк пред­лагает 24% годовых по вкладам? При какой оплате в конце каж­дого года оба варианта практически эквивалентны?

3.1.3. Предприниматель в результате инвестирования в неко­торый проект будет в течение четырех лет получать в конце ка­ждого полугодия 12 тыс. руб. Определите возможные суммы,

которые через четыре года получит предприниматель, если можно поместить деньги в банк под сложную процентную став­ку 24% годовых с начислением процентов: а) ежегодно; 6) каж­дые полгода; в) ежеквартально?

3.1.4. В течение 6 лет каждые полгода в банк вносится по 10 тыс. руб. по схеме: а) постнумерандо; б) пренумерандо. Банк начисляет сложные проценты каждые полгода из расчета 20% годовых. Какая сумма будет на счете в конце срока?

3.1.5. Анализируются два варианта накопления средств по схеме аннуитета постнумерандо: а) класть на депозит 30 тыс. руб. каждые полгода при условии, что банк начисляет 18% годовых с полугодовым начислением сложных процентов; б) делать еже­годный вклад в размере 63 тыс. руб. на условиях 19% годовых при ежегодном начислении сложных процентов. Какая сумма бу­дет на счете через 10 лет при реализации каждого плана? Какой план более предпочтителен? Изменится ли ваш выбор, если про­центная ставка во втором плане будет снижена до 18,5%?

3.1.6. Анализируются два варианта накопления средств по схеме аннуитета пренумерандо: а) класть на депозит сумму в размере 15 тыс. руб. каждый квартал при условии, что банк на­числяет 20% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов; б) делать ежегодный вклад в размере 52 тыс. руб. на условиях 22% годовых при ежегодном начислении сложных процентов. Какая сумма будет на счете через 8 лет при реали­зации каждого плана? Какой план более предпочтителен? Изме­нится ли Ваш выбор, если процентная ставка во втором плане будет увеличена до 23%?

3.1.7. Страховая компания заключила договор с предприятием на три года, установив годовой страховой взнос в 6 тыс. руб. Страховые взносы помещаются в банк под сложную процентную ставку 25% годовых. Определите сумму, которую получит стра­ховая компания по этому контракту, если взносы будут посту­пать: а) в конце каждого года; б) равными долями в конце каждо­го полугодия в размере 3 тыс. руб.; в) равными долями в конце каждого квартала в размере 1,5 тыс. руб. Учесть возможность ис­пользования и только сложных процентов, и смешанной схемы.

3.1.8. Страховая компания, заключив на 4 года договор с не­которой фирмой, получает от нее страховые взносы по 15 тыс. руб. в конце каждого квартала. Эти взносы компания помещает

та*в банк под годовую номинальную процентную ставку 36% го­довых. Найдите приведенную стоимость суммы, которую полу­чит страховая компания по данному контракту, если сложные проценты начисляются: а)ежеквартально; 6) ежемесячно; в) не­прерывно.

3.1.9. Для создания фонда фирма вкладывает ежегодно в банк по 24 тыс. руб. под годовую номинальную процентную ставку 32%. Определите сумму, которая будет накоплена в фонде через 8 лет, если: а) взносы делаются в конце года, а сложные проценты начисляются по полугодиям; 6) взносы делаются равными доля­ми в конце каждого месяца (т.е. по 2 тыс. руб.), а сложные про­центы начисляются ежеквартально; в) взносы делаются равными долями в конце каждого квартала (т.е. по 6 тыс. руб.) и начисля­ются непрерывные проценты.

3.1.10. Стоит ли покупать за 5500 руб. ценную бумагу, гене­рирующую ежегодный доход в размере 1000 руб. в течение два­дцати лет, если банк предлагает сложную процентную ставку 18% годовых?

3.1.11. Банк предлагает ренту постнумерандо на 10 лет с еже­квартальной выплатой 4 тыс. руб. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается постоянной, и сложные проценты начисляются ежеквартально. По какой цене можно приобрести эту ренту, если выплаты начнут осуществляться: а) немедленно; б) через 4 года; в) через 5,5 года, а сложная процентная ставка равна 32% годовых?

3.1.12. Клиент хочет накопить на своем счете 80 тыс. руб., осуществляя в конце каждого года равные вклады в банк под сложную процентную ставку 30% годовых. Какой величины должен быть каждый вклад, чтобы клиент мог накопить требуе­мую сумму за: а) 5 лет; б) 10 лет?

3.1.13. Предприниматель с целью покупки оборудования де­лает в конце каждого квартала равные вклады в банк под годо­вую номинальную процентную ставку 28%, причем сложные проценты начисляются по полугодиям. Какой величины должен быть каждый вклад, чтобы предприниматель мог накопить 250 тыс. руб. за: а) 3 года; б) 8 лет при использовании только схемы сложных процентов?

3.1.14. На взносы в банк по 15 тыс. руб. в начале каждого полугодия в течение 8 лет начисляются ежеквартально сложные проценты по ставке 20% годовых. Какая сумма будет на счете в конце срока?

3.1.15. Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 14 тыс. руб. Банк устанавливает годовую номи­нальную процентную ставку 36%. Какая сумма будет на счете по истечении шести лет, если начисление сложных процентов происходит: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно?

3.1.16. На ежеквартальные взносы в банк в размере 10 тыс. руб. по схеме пренумерандо банк начисляет сложные проценты по но­минальной процентной ставке 24% годовых: а) раз в год; б) раз в полгода. Какая сумма будет на счете через 3 года?

3.1.17. Предприятие намеревается создать за 5 лет фонд разви­тия в размере 300 тыс. руб. Какую сумму предприятие должно ежегодно ассигновать на эту цель при условии помещения денег в банк в конце каждого года под процентную ставку 24% годовых с начислением сложных процентов: а) ежегодно; б) ежемесячно?

3.1.18. Клиент в течение б лет делает ежегодные вклады в банк по 12 тыс. руб. под сложную процентную ставку 24% годо­вых. Определите величину накопленной к концу срока суммы, если применяется только схема сложных процентов и: а) вклады делаются в начале каждого года; б) вклады делаются равными долями в начале каждого квартала (т.е. по четверти ежегодного вклада); в) вклады делаются равными долями в начале каждого месяца (т.е. по одной двенадцатой части ежегодного вклада).

3.1.19. Для создания за 5 лет фонда в размере 200 тыс. руб. фирма делает ежегодные равные взносы в банк под годовую но­минальную процентную ставку 36%. Определите, какой величи­ны взнос должна ежегодно делать фирма, если: а) взносы дела­ются в конце года, а сложные проценты начисляются ежемесяч­но; б) взносы делаются равными долями в конце каждого полу­годия (т.е. по половине ежегодного взноса), а сложные процен­ты начисляются ежеквартально; в) взносы делаются равными долями в конце каждого квартала (т.е. по четверти ежегодного взноса) и начисляются непрерывные проценты.

3.1.20. Предприниматель получил на 6 лет ссуду в размере 500 тыс. руб., причем ежегодно он должен выплачивать креди­тору проценты по ставке 15%. Одновременно с получением ссу­ды предприниматель (для ее погашения) создает страховой фонд, в который в конце каждого года будет делать одинаковые взносы, чтобы к моменту возврата долга накопить 500 тыс. руб. Определите суммарные ежегодные затраты предпринимателя, "

если на деньги, находящиеся в фонде, начисляются ежеквар­тально сложные проценты по номинальной процентной ставке 20% годовых.

3.1.21. Некоторая фирма покупает нефтеносный участок, ко­торый, по оценке специалистов, будет в течение 15 лет прино­сить доход в 600 тыс. руб. ежегодно, после чего запасы нефти скорее всего истощатся. Ежегодно фирма желает получать про­центы на вложенную сумму по ставке 24%. Одновременно фир­ма создает страховой фонд, в который в конце каждого года бу­дет делать одинаковые взносы, чтобы к концу 15-го года нако­пить сумму, заплаченную за участок с запасами нефти. На день­ги, вложенные в фонд, начисляются сложные проценты по став­ке 20% годовых. За какую сумму фирма покупает участок?

3.1.22. Некоторая фирма хочет создать фонд в размере 400 тыс. руб. С этой целью в конце каждого года фирма предполагает вносить по 80 тыс. руб. в банк под 32% годовых. Найдите срок, необходимый для создания фонда, если банк начисляет сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) непрерывно.

3.1.23. Господин N с целью накопления на своем счете 180 тыс. руб. в начале каждого квартала будет вносить по 6 тыс. руб. в банк под номинальную процентную ставку 26% годовых. Оп­ределите необходимый для этого срок, если банк начисляет не­прерывные проценты.

3.1.24. Работница заключает с предприятием контракт, со- -гласно которому в случае ее постоянной работы на предприятии до выхода на пенсию (в 60 лет) предприятие обязуется перечис­лять в конце каждого года в течение 15 лет на счет работницы в банке одинаковые суммы, которые обеспечат ей после выхода на пенсию в конце каждого года дополнительные выплаты в 5000 руб. в течение 10 лет. Какую сумму ежегодно должно пе­речислять предприятие, если работнице 45 лет и предполагается, что банк гарантирует годовую процентную ставку 22%?

3.1.25. Предлагается инвестировать 300 тыс. руб. на 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 60 тыс. руб.). По истечении 5 лет выплачивается дополнительное возна­граждение в размере 120 тыс. руб. Принимать'ли это предложе­ние, если можно депонировать деньги в банк из расчета 20% го­довых (сложных)?

3.1.26. Предприниматель хочет открыть счет в банке, поло­жив такую сумму, чтобы его сын, являющийся студентом перво­го курса, мог снимать с этого счета в конце каждого года по

3600 руб., исчерпав весь вклад к концу пятилетнего срока обу­чения. Какой величины должна быть сумма, если банк начисля­ет сложные проценты по ставке 30% годовых?

3.1.27. Клиент положил в банк 20 тыс. руб., намереваясь снимать со счета в конце каждого года 5,5 тыс. руб. Как долго клиент сможет снимать деньги со счета, если банк начисляет сложные проценты по ставке 24% годовых: а) ежегодно; б) еже­квартально; в) непрерывно?

3.1.28. Какую сумму необходимо поместить в банк под номи­нальную процентную ставку 32% годовых, чтобы в течение 10 лет иметь возможность в конце каждого года снимать со счета 7 тыс. руб., исчерпав счет полностью, если банком начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) по полугодиям; в) непрерывно?

3.1.29. Какую сумму необходимо поместить в банк под номи­нальную процентную ставку 24% годовых, чтобы в течение 9 лет иметь возможность ежегодно получать по 12 тыс. руб., снимая деньги равными долями каждые 2 месяца, и в конце девятого года исчерпать счет полностью, если банком начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) непрерывно?

3.1.30. Участок сдан в аренду на 20 лет. Сумма годового пла­тежа (схема постнумерандо) составляет 30 тыс. руб., причем ка­ждые пять лет происходит индексация величины платежа на 10%. Рассчитайте текущую цену договора на момент его заклю­чения, если сложная банковская процентная ставка равна 25% годовых.

3.1.31. У молодого человека 24 лет появилась возможность окончить годичный курс обучения стоимостью 12 тыс, руб. и занять более высокую должность. Насколько выше должна быть заработная плата в новой должности, чтобы молодой человек счел обучение целесообразным, если в настоящее время его го­довая заработная плата составляет 21,6 тыс. руб. и он считает приемлемой для себя норму отдачи на вложения 16% годовых? В новой должности молодой человек собирается работать до выхода на пенсию, т.е. 40 лет. Как изменится ответ, если такую возможность обучения обдумывает мужчина 54 лет?

3.1.32. Перед выходом на пенсию господин N хочет обеспе­чить себе дополнительный ежегодный доход в сумме 6 тыс.-руб. неограниченно долго. Какую сумму он должен поместить в банк, начисляющий сложные проценты но ставке 28% годовых? 3.1.33. Имеется бессрочный аннуитет постнумерандо с еже­годными выплатами по 1 тыс. руб. Требуется определить приве­денную стоимость этого аннуитета при годовой процентной ставке: а) 5%; б) 10%; в) 100%. Как изменятся расчетные значе­ния для аннуитета преаумераядо с такими же выплатами?

3.1.34. Определите текущую (приведенную) стоимость бес­срочного аннуитета постнумерандо с ежегодным поступлением 4,2 тыс. руб., если предлагаемый государственным банком про­цент по срочным вкладам равен 24% годовых, причем сложные проценты начисляются по полугодиям.

ЗД-35. Компания гарантирует выплату дивидендов в размере 4 тыс. руб. на акцию в конце каждого года в течение неопреде­ленно долгого времени. Имеет ли смысл покупать акции этой компании по цене 18 тыс. руб., если можно поместить деньги на депозит под 21% годовых с начислением сложных процентов: а) ежегодно; б) ежеквартально?

3.1.36. Фермеру предлагают продать находящийся в его вла­дении участок земли, на котором он выращивает в среднем 600 т картофеля в год. Цена одного килограмма картофеля (в долла­рах) из года в год одна и та же и равна 0,3 долл. Банковский процент по валютным вкладам устойчиво держится на уровне 15% годовых. Ниже какой цены фермеру не имеет смысла про­давать землю, если затраты на выращивание, сбор и реализацию картофеля оцениваются в 60 тыс. долл. в год?

3.1.37. Если рационально использовать участок земли под сельскохозяйственные культуры, то он может приносить еже­годный доход (за вычетом всех издержек) до 190 тыс. руб. Од­нако на участке обнаружено месторождение нефти, разработка которого позволит в течение трех лет, начиная со следующего года, получать доход в размере соответственно 300, 700 и 500 тыс. руб. Для организации работ уже в этом году необходимы капиталовложения в размере 150 тыс. руб. После откачки нефти участок земли будет оцениваться в 40 тыс. руб. и станет непри­годным для сельского хозяйства. Применяя сложную процент­ную ставку 20% годовых, сделайте вывод, как выгоднее исполь­зовать этот участок земли.

3.1.38. Фирма собирается учредить фонд для ежегодной (в конце года) выплаты пособий своим работникам. Определите сумму, которую фирма должна поместить на депозит в банк, что­бы обеспечить получение неограниченно долго в конце каждого

года по 15 тыс. руб., если банк начисляет: а) ежегодно сложные проценты по ставке 30%; б) по полугодиям сложные проценты по ставке 30%; в) непрерывные проценты с силой роста 30%.

3.1.39. Какую сумму необходимо поместить в банк под номи­нальную процентную ставку 32% годовых, чтобы неограниченно долго иметь возможность ежегодно получать по 80 тыс. руб., снимая деньги равными долями каждые 3 месяца (т.е. по 20 тыс. руб.), если банком начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) непрерывно?

3.1.40. У вас есть возможность инвестировать одинаковую сумму денег в один из двух проектов. Первый проект позволит получить бессрочную ренту постнумерандо с ежегодными вы­платами 15 тыс. руб. Второй проект в течение двух лет принесет соответственно 30 и 80 тыс. руб. Какой из этих проектов лучше, если процентная ставка составляет 24% годовых? Можно ли так изменить процентную ставку, что ответ изменится на противо­положный?

3.1.41- В банке получена ссуда на пять лет в сумме 600 тыс. руб. под 24% годовых, начисляемых по схеме сложных процен­тов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными сум­мами в конце каждого года. Требуется определить величину го­дового платежа и составить план погашения долга.

3.1.42. Вы заняли на семь лет 36 тыс. руб. под 30%, начис­ляемых по схеме сложных процентов на непогашенный оста­ток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого го­да. Определите, какая часть основной суммы кредита будет погашена за первые два года.

3.1.43. Предприниматель занял на шесть лет 45 тыс. руб. под 20%, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашен­ный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каж­дого года. Определите величину процентов, которые будут уп­лачены предпринимателем в четвертом году.

3.1.44. Вы заняли на пять лет 80 тыс. руб. под 24%, начис­ляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Оп­ределите общую сумму процентов к выплате.

3.1.45. Предприятие приобрело здание за 840 тыс. руб. на сле­дующих условиях: а) 25% стоимости оплачиваются немедленно; б) оставшаяся часть погашается равными годовыми платежами втечение 10 лет с начислением 22% годовых на непогашенную часть кредита по схеме сложных процентов. Определите величи­ну годового платежа.

3.3.46. Предприниматель получил ссуду в сумме 400 тыс. руб. под 25% годовых, начисляемых по схеме сложных процен­тов на непогашенный остаток. В соответствии с финансовым соглашением предприниматель будет возвращать долг равными суммами по 150 тыс. руб. в конце каждого года. Составьте план погашения долга,

3.1.47. Предприниматель хочет приобрести оборудование стоимостью 240 тыс. руб. Долг можно возвратить в течение года равными суммами в конце каждого квартала, причем на непо­гашенный остаток начисляются сложные проценты из расчета 20% годовых. Определите величину квартального платежа и со­ставьте план погашения долга.

3.1.48. Выдан кредит в сумме 80 тыс. руб. под 24% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный оста­ток. Долг нужно возвращать ежемесячно в течение года равными суммами. Определите величину каждого платежа, если он проис­ходит: а) в конце каждого месяца; б) в начале каждого месяца.

3.1.49. Кредитор предоставил ссуду в сумме 120 тыс. руб. под 25% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на не­погашенный остаток. В соответствии с финансовым соглашением должник будет возвращать долг равными суммами по 20 тыс. руб. в конце каждого месяца. Составьте план погашения долга.

3.1.50. Фермер*приобрел в магазине трактор за 300 тыс. руб. в кредит. В соответствии с контрактом долг необходимо возвра­щать в течение года равными суммами в конце каждого месяца, причем на непогашенный остаток начисляются ежемесячно сложные проценты со годовой номинальной процентной ставке 24%. По какой цене контракт может быть приобретен банком, если он на ссуженные деньги начисляет ежемесячно сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 36%?

3.1.51. В банке получена ссуда на семь лет в сумме 600 тыс. руб. на условиях начисления сложных процентов на непогашен­ный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каж­дого года, причем при изменении процентной ставки меняется и размер годового платежа. Составить план погашения долга, если годовая процентная ставка в первые три года составляет 20%, в следующие два года - 25% и в последние два года - 30%.