Доверительные границы для разности долей

Построение доверительных интервалов (ДИ) для индекса Юдена есть частный случай общей задачи построения ДИ для разности двух независимых долей.

Возможны два подхода: частотнический и бейзовский.

Частотнический подход

Поэтому введем общие обозначения: P ₁ и P ₂ – две независимые доли (вероятности); оценить надо 100(1-α)%-х ДИ для их разности:

Задача не имеет точного решения, поэтому для ее решения предложено множество различных приближенных процедур.

Один из приемлемых способов такой:

Точечными статистическими оценками вероятностей P ₁ и P ₂ являются наблюдаемые частоты:

и

А точечной статистической оценкой разности этих вероятностей является:

Для каждой из оцениваемых вероятностей P ₁ и P ₂ находят статистические оценки границ приближенных 100(1-α)%-х ДИ для каждой доли по отдельности:

Для первой доли:

Статистическая оценка нижней границы 100(1-α)%-го ДИ:

Статистическая оценка верхней границы 100(1-α)%-го ДИ:

Здесь

Для второй доли:

Статистическая оценка нижней границы 100(1-α)%-го ДИ:

Статистическая оценка верхней границы 100(1-α)%-го ДИ:

Здесь

Тогда статистическими оценками нижней границы 100(1-α)%-го ДИ для оцениваемой разности двух независимых вероятностей может служить:

Статистическая оценка нижней границы 100(1-α)%-го ДИ:

Статистическая оценка верхней границы 100(1-α)%-го ДИ:

Источники:

Agresti A., Caffo B. Simple and effective confidence intervals for proportions and differences of proportions result from adding two successes and two failures // The American Statistician, 2002. - Vol. 54. - No. 4. P. 280-288.

Newcombe R.G. Interval estimation for the difference between independent proportions: comparison of eleven methods // Statist. Med., 1998. – Vol. 17. – N 8. – P. 873—890.

Бейзовский подход

Границы бейзовского 100(1-α)%-го ДИ для разности двух независимых долей можно приближенно вычислить по формулам:

Для нижней границы:

Для верхней границы:

Источник:

Agresti A., Caffo B. Simple and effective confidence intervals for proportions and differences of proportions result from adding two successes and two failures // The American Statistician, 2002. - Vol. 54. - No. 4. P. 280-288.

Доверительный интервал для коэффициента каппа Коуэна

Для построения 100(1 – α)%-го ДИ для коэффициента каппа Коуэна вычисляют стандартную ошибку его точечной оценки по приближенной формуле (по Garner, 1991):

 

Тогда нижней границей 100(1 – α)%-го ДИ будет:

А верхней границей 100(1 – α)%-го ДИ будет:

Источник:

Blackman N.J.-M., Koval J.J. Interval estimation for Cohen' s kappa as a measure of agreement // Statist. Med., 2000. – Vol. 19. – N 5. - P. 723 – 741.