Различные формы записи комплексных чисел

1) Алгебраическая форма z = x + iy

2) Тригонометрическая форма

Действительное число r = называется модулем комплексного числа

z = x + iy. Геометрически модуль числа z - длина радиуса вектора точки z;

Угол называется аргументом комплексного числа z и обозначается : , где φ = argz -главное значение аргумента комплексного числа;

3) Показательная форма комплексного числа

- уравнение окружности радиуса R с центром в точке z ₀.

 

Задания

1). Найдите действительную часть комплексного числа z = 4+2i; z = 6;

z = -7i; ;

Изобразите области

2). Где расположены точки , для которых; ; ; ; ?

3). ; 4). ; 5). ; 6). ;

 

Представить в тригонометрической и показательной формах число

7). ; 8). ; 9). ; 10). ; 11). .

II. Функция комплексного переменного

Определение: Комплексная переменная величина W называется функцией комплексной величины Z, если каждому значению, которое может принимать величина Z, соответствует определенное комплексное числовое значение W = u + iv, те w = f(z).

Различают однозначные функции и многозначные

Определение:

Если каждому z D соответствует одно значение w, то функция w = f(z) называется однозначной. Если каждому z D соответствует несколько значений w, то функция w = f(z) называется многозначной.

 

Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке являются непрерывность в этой точке частных производных 1-го порядка функций и по обеим переменным и выполнение равенств

,

Определение: Функция w = f(x), дифференцируемая в каждой точке некоторой области D, называется аналитической в этой области

 

Исследовать на аналитичность

12). ; 13). ; 14). ; 15). ;

Найти аналитическую функцию по заданной действительной или мнимой части

16). 17).

18). 19). и

20). 21).

 

III. Элементарные функции комплексного переменного

1. Степенная функция: , где .

а) натуральное число, тогда .

б) , где

, где

Функция многозначная (q – значная) Однозначная ветвь этой функции получается, если придать к определенное значение

в) , где несократимая дробь.

, где

 

2. Показательная функция:

, где определяется равенством

 

3. Логарифмическая функциия:

Lnz = ln ;

4. Тригонометрические функции:

 

, ,

5. Гиперболические функции:

, , , .

 

; - формулы связи между тригонометрическими и гиперболическими функциями

 

6. Обобщенная показательная функция w = и обобщенная степенная w = (а, z - произвольные комплексные числа, ) функции определяются соотношениями .

 

22). Вычислить а) ; б) ; 23). Решить уравнение .

24). Найти

а) z = , б) z = , в) z = , г) z = .

25). Вычислить а) Ln(4); б) Ln(-1); в) ; г) .

Найти действительную и мнимую часть выражения:

26). а) ; б) sin2i; в) cos(2 + i); г) tg(2-i);

27). Вычислить а) б ) в) г) .