Если f(x) - нечетная функция

Нечетная функция f(x), заданная на отрезке, симметричном относительно 0, разлагается в неполный ряд Фурье по синусам, т.е. в ряд вида

где

 

5) Ряд Фурье периодической функции с периодом 2l, заданной на отрезке имеет вид: где

 

6) Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:

Для нечетной функции:

 

7) Разложение в ряд Фурье функций на отрезках и

Пусть F(x) непериодическая функция, заданная на отрезке И пусть она на этом отрезке удовлетворяет условиям Дирихле. Требуется разложить ее на данном отрезке в ряд Фурье. Продолжим функцию f(x) произвольным образом в интервале с сохранением условий Дирихле. Получим новую функцию F(x), определенную на отрезке и отвечающих в точках отрезка условиям Дирихле. Разложим F(x) на отрезке в ряд Фурье. Если полученное разложение взять только на отрезке оно будет искомым разложением, заданной функции f(x).

Самым простым является использование разложения по косинусам или синусам. Поэтому продолжать функцию f(x) в целесообразно либо четным или нечетным образом. Все сказанное имеет место и для f(x) на отрезке

Теорема Дирихле:

Если функция f(x) на отрезке удовлетворяет условиям Дирихле, то ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке отрезка

1) во внутренних точках непрерывности функции ряд сходится к самой функции, т. к. здесь f(x)= s(x)

2) В каждой внутренней точке разрыва x_k функции f(x) ряд сходится к среднему арифметическому предельных значений функции в этой точке слева и справа, те S(x_k) =

3) В обеих граничных точках x = ряд сходится к среднему арифметическому предельных значений функции в этих точках, когда x стремится к ним изнутри т.е.

 

Разложить в ряд Фурье функции

1. , на интервале ; вне этого интервала функция периодически повторяется с периодом .

2. , на интервале ; вне этого интервала функция периодически повторяется с периодом .

3.

4. Разложить функцию в ряд по синусам.

5. Разложить в ряд Фурье функцию

6. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию, заданную на интервале : .

Тема 5:Теория функции комплексной переменной (ТФКП)

Литература:

1. Королева Н. Н. «Элементы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления»

2. Письменный Д. «Лекции по высшей математике», т 2

I. Комплексные числа (повторение)

Определение 1 Комплексным числом z будем называть упорядоченную пару действительных чисел x, y записанную в форме z = x + iy,

где i - мнимая единица, и i ² = -1.

x = Re z – действительная часть числа z

y = Im z – мнимая часть числа z