Тема 15. Методика обучения решению простых задач, раскрывающих смысл кратких отношений между числами

План темы

I. Методика работы над задачами на увеличение и уменьшение числа в несколько раз в прямой форме.

II. Методика работы над задачами на краткое сравнение.

III. Методика работы над задачами на увеличение и уменьшение числа в несколько раз в косвенной форме.

 

Основное содержание

I. Методика работы над задачами на увеличение и уменьшение числа в несколько раз в прямой форме.

Задачи на увеличение и уменьшение числа в несколько раз в прямой форме – это задачи. предметные области которых включают одно числовое данное, а второе указывает. во сколько раз искомое больше или меньше данного. Т.е. отношения «больше в несколько раз» или «меньше в несколько раз» входит в условие задачи.

Подготовку к введению задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз в прямой форме включает в себя усвоение понятия «больше в несколько раз» через понятие «несколько раз по столько же». Можно организовать предметную деятельность учащихся:

- положить в верхний ряд 3 кружка, в нижний – 2 раза по 3;

- учитель сообщает. что в нижнем ряду кружков в 2 раза больше, чем в верхнем, а в верхнем в 2 раза меньше, чем в нижнем;

- положить 2 квадратика, а кружков 3 раза по 2 и ответить на вопрос: «Что можно сказать о кружках, о квадратах (кружков в 3 раза больше, чем квадратов, а квадратов в 3 раз меньше, чем кружков)»;

- положить в верхний ряд 5 треугольников, а в нижний ряд в 2 раза больше прямоугольников и объяснить, как это выполнить. (Надо в нижний ряд положить 2 раза по 5 прямоугольников);

- каким действием можно записать, сколько прямоугольников в нижнем ряду? (5 ∙ 2 = 10).

Такая подготовительная работа приводит учащихся к выбору действия умножения при увеличении числа в несколько раз. Формируется вывод: чтобы увеличить число в несколько раз, надо его умножить на несколько раз.

В процессе подготовки к введению задач на уменьшение числа в несколько раз в прямой форме учащиеся повторяют решение задачи на деление на равные части, а также усваивают двоякий смысл отношения «больше в несколько раз»: если первое число больше второго в несколько раз, то второе меньше первого во столько же раз. Это усваивается в процессе работы над задачами на увеличение числа в несколько раз.

Подготовительная предметная область учащихся может быть организована по следующему плану:

- положить в верхний ряд 8 кружков, а в нижний - в 2 раза меньше кружков;

- что можно сказать о кружках верхнего ряда по отношению к кружках нижнего ряда? (В верхнем ряду кружков в 2 раза больше, чем в нижнем, т.е. из 2 раза по столько, сколько их должно быть в нижнем ряду);

- как узнать, сколько кружков должно быть в нижнем ряду? (Надо 8 разделить на 2 равные части, получится 4);

- выполняется операция разбиения 8 кружков на 2равые части и записывается действие: 8 2 =4. Выполнение аналогичных упражнений приводит учащихся к выводу: чтобы уменьшить число в несколько раз, надо его разделить на несколько раз.

Таким образом, подготовительный этап к введению задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз имеет практический характер, включающий выкладывание фигур, выполнение зарисовок, выбор арифметических действий.

Введение этих типов задач организуется с помощью предметной или схематической иллюстрации. При объяснения выбора действия для решения задачи применяются выводы, полученные на подготовительном этапе.

Формирование умений решать задачи выполняется аналогично соответствующему этапу работы над задачами, раскрывающими смысл разностных отношений.

II. Методика работы над задачами на краткое сравнение.

Подготовка к задачам на краткое сравнение включает повторение решения задач на деление по содержанию и повторение двоякого смысла отношений «больше в несколько раз», «меньше в несколько раз».

Введение задач можно начать с предметной деятельности по следующему плану:

- положить в верхний ряд 6 треугольников, в нижний – 2 треугольника;

- во сколько раз больше треугольников в верхнем ряду, чем в нижнем;

- надо узнать сколько раз по 2 треугольника содержится в верхнем ряду, для этого 6 треугольников разложим по 2 треугольника, получим 3 раза;

- значит в верхнем ряду в 3 раза больше треугольников, чем в нижнем, а в нижнем – в 3 раза меньше треугольников, чем в верхнем;

- это можно записать действием деления: 6: 2 = 3;

- вывод: чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо большее число разделить на меньшее.

Затем решаются задачи с различным текстовым содержанием, используются отношения: больше – меньше, выше – ниже, старше – моложе и др.

 

III. Методика работы над задачами на увеличение и уменьшение числа в несколько раз в косвенной форме.

Подготовка к введению задач данных типов включает решение задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз в прямой форме, логическую и практическую подготовительную работу по аналогии с подготовительной работе к наддачам на увеличении и уменьшение числа на несколько единиц в косвенной форме – игра «В концовки» без числовых данных и с числовыми данными, а также предметная деятельность учащихся.

Введение задач на этапе объяснения выбора действия сводится к переводу задач из косвенной формы в прямую и к применению объяснения, характерного для задач на увеличение и уменьшение числа в несколько раз в прямой форме.

Формирование умений решать задачи данных видов включает решение и сравнение двоек, четверок, шестерок задач с одинаковым сюжетом и числовыми данными, но различными отношениями – разностными и кратными, сравнение задач, их интерпретаций и решений, выполнение заданий на выполнение пропусков в текстах задач и другие методические приемы.

Таким образом, охарактеризована методика работы над задачами, раскрывающими понятия кратных отношений.

 

Тема 16. Общие вопросы методики обучения решению составных задач

План темы

I. Характеристика и классификация составных задач.

II. Методика подготовительной работы к введению первых составных задач.

III. Методика введения составных задач.

IV. Этапы работы над составными задачами.

V. Формирование умений решать текстовые задачи.

 

Основное содержание

I. Характеристика и классификация составных задач.

Составная задача – задача, для решения которой необходимо выполнить более одного арифметического действия.

Составная задача отличается от простой:

- количественно: количеством арифметических действий для решения;

- количественно: на вопрос задачи нельзя ответить сразу, так как надо найти недостающие числовые данные, т.е. решить простые задачи, входящие в составную;

- надо уметь сформулировать промежуточные вопросы.

Классификация составных задач:

- составные задачи, составленные из нескольких простых I, II, III групп простых задач;

- составные задачи с пропорциональными величинами: на нахождение 4-го пропорционального; на пропорциональное деление; на нахождение неизвестных по 2 разрядностям;

- составные задачи на одновременное движение: встречное из 2 разных точек; движение в противоположных направления из одной точки;

- составные задачи на совместную работу.

 

II. Методика подготовительной работы к введению первых составных задач включает в себя: решение простых задач; решение простых задач с недостающими и лишними данными; постановка вопросов к данному условию; составление условия к данному вопросу; постановка вопросов к данному условию и решению; решение простых задач с несколькими вопросами не связанными между собой, а также сформулированными в различной последовательности и ученики определяют, на какой вопрос модно ответить сначала, потом, далее и т.д.; решение пар простых задач, взаимосвязанных сюжетом и числами, в которой искомое первой задачи является данным второй, а также 2-я задача с недостающими числовыми данными; постановка с различными числовыми данными; постановка к различным числовым данным и неизвестным вопросам вида: «Зная … и …, что можно узнать? Что надо знать, чтобы ответить на …вопрос?».

III.Методика введения составных задач.

Введение составных задач можно организовать следующим образом: составить вместе с учениками новую задачу из двух простых задач, взаимосвязанным сюжетом и числами.

Например, «В корзине лежали 3 красных и 2 желтых яблока. Сколько всего яблок было в корзине?». В корзине было 5 яблок, взяли 4 яблока. Сколько яблок осталось в корзине?.

На доске последовательно записываются текстовые краткие записи задачи и из решения:

Красных – 3 ябл. Желтых – 2 ябл. Всего –? Было – 5 ябл. Взяли – 4 ябл. Осталось –?

3 + 2 = 5 (ябл.)     5 – 4 = 1 (ябл.)

Учитель планшетом закрывает 3-ю и 4-ю строки в кратких записях и предлагает ученикам по оставшимся строкам составить новую задачу: «В корзине было 3 красных яблока и 2 желтых яблока. Взяли 4 яблока. Сколько яблок осталось в корзине?»

Учитель сообщает, что из 2 задач ученики составили одну задачу, которая решается в 2 действия – получилась составная задача.

Объясняется, что решение составной задачи можно записать выражением: (3 + 2) – 4 = 1(ябл.).

Скобки использовали для того, чтобы показать, что сначала находится сумма чисел, а потом выполняется вычитание.

Значение записи решения составных задач с помощью выражения заключается в следующем: у учащихся формируется умение не угадывать действия, а предвидеть решение задачи на несколько шагов вперед; закрепляются умения применять скобки для составления выражений; формируются умения решать составные задачи; закрепляются знания о порядке выполнения действий в выражениях со скобками.

IV. Этапы работы над составными задачами.

1-й этап – усвоение содержания задачи: чтение задачи вслух, затем – про себя; пересказ задачи и представление сюжета с помощью словесного рисования, описание, иллюстрации; воспитательная беседа учителя по сюжету задачи; первое повторение задачи, которое с помощью чисел характеризует объекты предметной области задачи, т.е повторение от объектов к числам; одновременное моделирование задачи с помощью одного из видов интерпретации; второе повторение задачи по модели, ученики объясняют значение данных чисел и выполняют, что требуется найти в задаче.

Работа по усвоению содержания задачи зависит от навыка чтения, анализа текста, от того, какая это задача – нового или известного вида.

2-й этап – поиск решения задачи. Это беседа учителя с учениками или рассуждение учащихся, которые подводят из к выбору решения задачи.

Виды поиска решения задач:

аналитический, синтетический, аналитическо-синтетический.

Аналитический поиск – способ рассуждений от вопроса к числовым данным состоит из многократного использования анализа и позволяет расчленить задачу на ряд простых задач.

План беседы или рассуждения ученика следующий:

- что надо знать. чтобы ответить на вопрос задачи;

- что из этого нам известно?;

- что неизвестно? (в модели задачи появляется промежуточный вопрос)?

- что надо знать. чтобы найти неизвестное?

И т.д. до того момента, когда для нахождения очередного неизвестного есть все необходимые данные задачи. Ученики отвечают, что для ответа на очередной вопрос все известно.

Далее учитель продолжает беседу:

- что находи сначала;

- что находим потом;

- ответим на вопрос задачи? (Да).

Утвердительный ответ ученика свидетельствует о том, что поиск решения задачи завершен.

Одновременно с беседой на доске строится граф аналитического поиска:

 

Окошки графа заполняются данными задачи, а знаки «?» обозначают основные и промежуточные вопросы.

после полного аналитического поиска применяется сокрашенный поиск решения задачи:

- можем ли сразу ответить на вопрос задачи;

- почему; (в краткой записи появляется промежуточный вопрос) Беседа по такому плану продолжается до возможности ответа на промежуточный вопрос. Заканчивается беседа аналитического поиска: что находим сначала? потом?;

- ответим на вопрос задачи? (Да).

Синтетический поиск – метод рассуждений от числовых данных к вопросу задачи.

Структура беседа может быть следующей:

- зная … и …, что можно узнать? (Многоточия обозначают данные задачи);

- узнав … и зная…, что можно узнать? И так далее до получений ответа на вопрос задачи.

- ответим на вопрос задачи? (Да).

Граф синтетического поиска решения задачи может иметь вид:

 

 

 

Аналитико-синтетический поиск решения задачи предполагает рассуждения и от вопроса к числовым данным и от числовых данных к вопросу. План беседы может быть следующим:

- что надо знать, чтобы ответить на вопрос?

- что известно; что неизвестно?

- что можно найти из условия задачи?

- зная …и …, что можно узнать?

- ответим на вопрос задачи? (Да).

3-й этап работы над составной задачей – условное составление плана решения задачи.

План решения задачи – указание последовательности выполнения арифметических действий для решения задачи, название действий с конкретными числами или характеристиками результатов предыдущих действий и объяснение того, что узнаем после выполнения действия.

4-й этап – решение задачи. Это выполнение арифметических действий, которые определены планом решения задачи.

Обязательны устные или письменные объяснения к каждому действию.

Виды записей решения задачи: по действиям; выражениям; по действиям с вопросами.

5-й этап – ответ на вопрос задачи.

6-й этап – проверка решения задачи.

Способы проверки решения задачи:

прикидка; составление и решение обратной задачи; решение задачи другим способом; проверка ответов действий по их смыслу; установления соответствия между полученными результатами и данными задачи.

Введение задач нового вида предполагает выполнение всех 6 этапов работы над составной задачей.

V. Формирование умений решать текстовые задачи.

1. Работа с памяткой. Для памятки можно применить следующие задания:

- прочитай задачу и представь себе то, о чем в ней говорится;

- выполни краткую запись или простой чертеж;

- объясни, что значит каждое число и назови вопрос задачи;

- подумай, какое число получится в ответе – больше или меньше данных чисел;

- подумай, что надо знать, чтобы ответить на вопрос задачи;

- что можем найти сначала, что потом?

- составь план решения задачи;

- выполни решение;

- ответь на вопрос задачи;

- проверь правильность решения задачи.

2. Выполнение заданий творческого характера:

- составление и решение задач по их интерпретациям, по сюжетам, по числовым данным, по вопросам, по решениям, по ответам, по графам;

- составление и решение обратных задач;

- решение задач другим способом;

- расширение задач – дополнение их новыми условиями, вопросами;

- объяснение смысла выражений, составленных по задаче;

- выполнение всех этапов работы над уже решенной задачей;

- изменение задачи, условия или вопроса так, чтобы она решалась иначе, или другими действиями, или другим их количеством;

- составление аналогичных задач;

- выполнение задач на выбор условий, вопросов, решений, моделей из предложенных вариантов.

Таким образом, раскрыта общая методика работы, применяемая к задачам каждого вида.