Коэффициент детерминации (R2) и его свойства

Одной из наиболее эффективных оценок значимости уравнения регрессии является коэффициент детерминации. Он характеризует степень выраженности связи между переменными. Определяется по формуле:

. (2.35)

Величина R² показывает, какая доля вариации зависящей переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной. Так как , то .

Свойства коэффициента детерминации:

1. При регрессия хорошо отражает эмпирические данные, наблюдения примыкают к линии регрессии.

2. При точки лежат на линии регрессии и между переменными существует линейная функциональная зависимость.

3. При вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели переменных и линия регрессии параллельна оси ОХ.

Если известен коэффициент детерминации R², то критерий значимости уравнения регрессии

(2.36)

В случае линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции.

Оценка статистической значимости коэффициентов парной линейной регрессии и корреляции.

В парной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: и .

Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

, (2.38)

где – остаточная дисперсия.

Величина стандартной ошибки совместно с -распределением Стьюдента при степенях свободы применяется для проверки существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительного интервала.

Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой. Определяется фактическое значение -критерия Стьюдента , которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы . Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как , этот процесс был описан в § 2.3.3.

Стандартная ошибка параметра определяется по формуле:

. (2.39)

Процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии. Вычисляется -критерий: , его величина сравнивается с табличным значением при степенях свободы.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции :

. (2.40)

Фактическое значение -критерия Стьюдента определяется как .

Существует связь между -критерием Стьюдента и -критерием Фишера:

.